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三、能力提升
23. “小小停车位，关乎大民生”.某数学兴趣小组关注到本校教师每天进校的车辆数超过学校原有的停车位数，有部分车辆不能规范停放，对校园安全存在一定隐患，于是打算向学校提供一个增设停车位的方案.
素材1：该兴趣小组对学校的一片空地进行了实地测量，测得空地长32米，宽14米.
素材2：
| 停车位布置方式 | 垂直停车位 | 倾斜停车位 |
| --- | --- | --- |
| 示意图 |
| |
| 车位标准尺寸 | 长6米，宽2.5米 | 倾斜线长6米，倾斜线之间的距离为2.5米 |
| 通道 | μlticolumn{2}{c}{通道宽度不小于3.5米} |
任务1：兴趣小组根据素材2分别设计了垂直停车位和倾斜停车位.垂直停车位如图①，$AB ⊥ AD$，$CD ⊥ AD$，$AB=CD$；倾斜停车位如图②，$EG=FH$，$∠ G=120°$，$∠ H=60°$.请分别判断所设计的两种停车位的形状，并选择一种说明理由.
任务2：为了排除校园安全隐患，根据素材2提供的信息，若采用上述设计的两种停车位，并尽可能多地设置停车位数量，学校该空地应选择哪种停车位布置方式？最多可以设置多少个停车位？（参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.73$）
23. “小小停车位，关乎大民生”.某数学兴趣小组关注到本校教师每天进校的车辆数超过学校原有的停车位数，有部分车辆不能规范停放，对校园安全存在一定隐患，于是打算向学校提供一个增设停车位的方案.
素材1：该兴趣小组对学校的一片空地进行了实地测量，测得空地长32米，宽14米.
素材2：
| 停车位布置方式 | 垂直停车位 | 倾斜停车位 |
| --- | --- | --- |
| 示意图 |
| || 车位标准尺寸 | 长6米，宽2.5米 | 倾斜线长6米，倾斜线之间的距离为2.5米 |
| 通道 | μlticolumn{2}{c}{通道宽度不小于3.5米} |
任务1：兴趣小组根据素材2分别设计了垂直停车位和倾斜停车位.垂直停车位如图①，$AB ⊥ AD$，$CD ⊥ AD$，$AB=CD$；倾斜停车位如图②，$EG=FH$，$∠ G=120°$，$∠ H=60°$.请分别判断所设计的两种停车位的形状，并选择一种说明理由.
任务2：为了排除校园安全隐患，根据素材2提供的信息，若采用上述设计的两种停车位，并尽可能多地设置停车位数量，学校该空地应选择哪种停车位布置方式？最多可以设置多少个停车位？（参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.73$）
答案
任务1：垂直停车位是矩形，倾斜停车位是平行四边形；任务2：选择垂直停车位布置方式，最多可设置20个停车位。
解析
【分析】
任务1需结合平行四边形、矩形的判定定理分析：垂直停车位中，已知两条边都垂直于同一条边，可得这两条边平行，再结合两条边长度相等，可先判定为平行四边形，再由直角条件判定为矩形；倾斜停车位中，由两个同旁内角互补可得一组对边平行，结合对边相等，即可判定为平行四边形。任务2需先预留符合要求的通道，再分别计算两种布置方式下最多可设置的停车位数量，比较后选择更优方案，计算时注意取整规则（不能超出空地范围，需舍去小数部分取整数）。
【解析】
任务1：垂直停车位是矩形，倾斜停车位是平行四边形。
选择垂直停车位说明理由：
∵AB⊥AD，CD⊥AD，
∴∠A=∠D=90°，AB//CD，
又
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又
∵∠A=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），即垂直停车位为矩形。
（若选倾斜停车位说明：
∵∠G=120°，∠H=60°，
∴∠G+∠H=180°，
∴EG//FH，又
∵EG=FH，
∴四边形EFHG是平行四边形，即倾斜停车位为平行四边形。）
任务2：分别计算两种布置方式的最大停车位数量：
①垂直停车位布置：
空地长32m，宽14m，先预留宽度≥3.5m的通道，沿长32m的方向设置1条3.5m宽的通道，剩余可停车的长度为32-3.5=28.5m。
垂直停车位长6m，宽2.5m，沿剩余28.5m的方向可布置的列数：28.5÷6≈4.75，取整数4列（剩余长度不足6m，无法再布置1列）。
沿宽14m的方向每列可布置的车位数：14÷2.5=5.6，取整数5个（剩余宽度不足2.5m，无法再布置1个）。
总车位数为4×5=20个。
②倾斜停车位布置：
倾斜停车位倾斜角为60°，经计算，停车位垂直高度为$6×\sin60°=3\sqrt{3}\approx5.19\mathrm{m}$，预留3.5m通道后最多可布置2排，沿32m长边方向每排最多可布置约9个车位，总车位数约18个，小于20。
经比较，应选择垂直停车位布置方式。
【答案】
任务1：垂直停车位是矩形，倾斜停车位是平行四边形；任务2：选择垂直停车位布置方式，最多可设置20个停车位。
【知识点】
特殊四边形判定，解直角三角形应用，方案优化
【点评】
本题以民生相关的停车位设置为背景，将几何判定与实际计算结合，既考查了基础几何知识的掌握，又要求学生结合实际约束分析问题，能有效提升数学应用意识。
【难度系数】
0.6
任务1需结合平行四边形、矩形的判定定理分析：垂直停车位中，已知两条边都垂直于同一条边，可得这两条边平行，再结合两条边长度相等，可先判定为平行四边形，再由直角条件判定为矩形；倾斜停车位中，由两个同旁内角互补可得一组对边平行，结合对边相等，即可判定为平行四边形。任务2需先预留符合要求的通道，再分别计算两种布置方式下最多可设置的停车位数量，比较后选择更优方案，计算时注意取整规则（不能超出空地范围，需舍去小数部分取整数）。
【解析】
任务1：垂直停车位是矩形，倾斜停车位是平行四边形。
选择垂直停车位说明理由：
∵AB⊥AD，CD⊥AD，
∴∠A=∠D=90°，AB//CD，
又
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又
∵∠A=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），即垂直停车位为矩形。
（若选倾斜停车位说明：
∵∠G=120°，∠H=60°，
∴∠G+∠H=180°，
∴EG//FH，又
∵EG=FH，
∴四边形EFHG是平行四边形，即倾斜停车位为平行四边形。）
任务2：分别计算两种布置方式的最大停车位数量：
①垂直停车位布置：
空地长32m，宽14m，先预留宽度≥3.5m的通道，沿长32m的方向设置1条3.5m宽的通道，剩余可停车的长度为32-3.5=28.5m。
垂直停车位长6m，宽2.5m，沿剩余28.5m的方向可布置的列数：28.5÷6≈4.75，取整数4列（剩余长度不足6m，无法再布置1列）。
沿宽14m的方向每列可布置的车位数：14÷2.5=5.6，取整数5个（剩余宽度不足2.5m，无法再布置1个）。
总车位数为4×5=20个。
②倾斜停车位布置：
倾斜停车位倾斜角为60°，经计算，停车位垂直高度为$6×\sin60°=3\sqrt{3}\approx5.19\mathrm{m}$，预留3.5m通道后最多可布置2排，沿32m长边方向每排最多可布置约9个车位，总车位数约18个，小于20。
经比较，应选择垂直停车位布置方式。
【答案】
任务1：垂直停车位是矩形，倾斜停车位是平行四边形；任务2：选择垂直停车位布置方式，最多可设置20个停车位。
【知识点】
特殊四边形判定，解直角三角形应用，方案优化
【点评】
本题以民生相关的停车位设置为背景，将几何判定与实际计算结合，既考查了基础几何知识的掌握，又要求学生结合实际约束分析问题，能有效提升数学应用意识。
【难度系数】
0.6
