13. 在有理数范围内定义一种新运算,规定$F(x,y)=x^2 - xy$.
(1) 求$F(1,-2)$;
(2) 求$F(m+2,m-2)$;
(3) 设$M=F(a,2),N=F(a+1,-1)-5a$,试比较$M,N$的大小并说明理由.

(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{4m+8}$；(3) $\boldsymbol{M＜N}$，理由如上。

(1) 根据新运算的定义$F(x,y)=x^2 - xy$，将$x=1$，$y=-2$代入公式计算：
$F(1,-2)=1^2 - 1×(-2)=1+2=3$。
(2) 将$x=m+2$，$y=m-2$代入新运算公式，结合完全平方公式、平方差公式展开化简：
$\begin{aligned}F(m+2,m-2)&=(m+2)^2 - (m+2)(m-2)\\&=m^2+4m+4-(m^2-4)\\&=m^2+4m+4-m^2+4\\&=4m+8\end{aligned}$
(3) 先根据新运算定义分别求出$M$、$N$的代数式，再通过作差法比较二者大小：
计算$M$：$M=F(a,2)=a^2 - a·2=a^2-2a$
计算$N$：
$\begin{aligned}N&=F(a+1,-1)-5a\\&=[(a+1)^2 - (a+1)×(-1)]-5a\\&=a^2+2a+1+a+1-5a\\&=a^2-2a+2\end{aligned}$
作差得$M-N=(a^2-2a)-(a^2-2a+2)=-2＜0$，因此$M＜N$。

若实数 $ a $ 可以表示成两个连续自然数的倒数差，例如，$\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}$，所以$\frac{1}{2}$是第1个“1阶倒差数”，$\frac{1}{6}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，所以$\frac{1}{6}$是第2个“1阶倒差数”，$\frac{1}{12}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，所以$\frac{1}{12}$是第3个“1阶倒差数”……，即 $ a=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} $，那么我们称 $ a $ 是第 $ n $ 个“1阶倒差数”；同理，$ b=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2} $ 那么我们称 $ b $ 为第 $ n $ 个“2阶倒差数”。
（1）判断$\frac{1}{56}$（填“是”或“不是”）“1阶倒差数”；
（2）第3个“2阶倒差数”是；
（3）若 $ x,y $ 均是由两连续奇数组成的“2阶倒差数”，且$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=14$，求 $ x,y $ 的值。

（1）是；（2）$\frac{2}{15}$；（3）$x=\frac{2}{63},y=\frac{2}{35}$

（1）根据“1阶倒差数”的定义，若$a$是1阶倒差数，则$a=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$。由于$56=7×8$，可得$\frac{1}{56}=\frac{1}{7}-\frac{1}{8}$，符合1阶倒差数的形式，因此$\frac{1}{56}$是“1阶倒差数”。
（2）根据“2阶倒差数”的定义，第$n$个2阶倒差数$b=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，当$n=3$时，$b=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5-3}{15}=\frac{2}{15}$，即第3个“2阶倒差数”是$\frac{2}{15}$。
（3）由题意，$x,y$均是由两个连续奇数组成的2阶倒差数，设$x$是第$n$个2阶倒差数，$y$是第$m$个2阶倒差数（$n,m$均为正奇数，且$n＞m$）：
先化简2阶倒差数：$b=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}=\frac{2}{n(n+2)}$，因此$\frac{1}{x}=\frac{n(n+2)}{2}$，$\frac{1}{y}=\frac{m(m+2)}{2}$。
代入$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=14$得：
$\frac{n(n+2)}{2}-\frac{m(m+2)}{2}=14$
两边同乘2得：$n^2+2n -m^2-2m=28$
配方变形得：$(n+1)^2-(m+1)^2=28$
由平方差公式展开：$(n-m)(n+m+2)=28$
因为$n,m$是正奇数，所以$n-m$、$n+m+2$都是正偶数，满足乘积为28的正偶因数对只有$\begin{cases}n-m=2\\n+m+2=14\end{cases}$，解得$\begin{cases}n=7\\m=5\end{cases}$。
代入计算得$x=\frac{2}{7×9}=\frac{2}{63}$，$y=\frac{2}{5×7}=\frac{2}{35}$。