6. 解方程：$\frac{1}{7}(x + 4) = \frac{1}{4}(x + 20)$。
解：去分母，得。
去括号，得。
移项，得。
合并同类项，得。
方程的两边都除以$-3$，得。

6. $ 4(x + 4) = 7(x + 20) $ $ 4x + 16 = 7x + 140 $
$ 4x - 7x = 140 - 16 $ $ -3x = 124 $ $ x = -\frac{124}{3} $

【分析】
解一元一次方程需遵循“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的标准步骤。本题中，先通过去分母消去分数，再依次完成去括号、移项、合并同类项，最后将x的系数化为1得到解，每一步需注意运算规则（如去分母时乘最小公倍数、移项要变号等）。
【解析】
去分母：方程两边同乘7和4的最小公倍数28，得 $4(x + 4) = 7(x + 20)$；
去括号：利用乘法分配律展开，得 $4x + 16 = 7x + 140$；
移项：将含x的项移到左边、常数项移到右边，移项需变号，得 $4x - 7x = 140 - 16$；
合并同类项：计算得 $-3x = 124$；
系数化为1：方程两边同除以-3，得 $x = -\frac{124}{3}$。
【答案】
$4(x + 4) = 7(x + 20)$；$4x + 16 = 7x + 140$；$4x - 7x = 140 - 16$；$-3x = 124$；$x = -\frac{124}{3}$
【知识点】
一元一次方程的解法
【点评】
本题为基础一元一次方程求解题，核心考察解一元一次方程的基本步骤，需注意去分母、去括号、移项的运算规则，是学生必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8

7. 解方程：$\frac{x + 3}{2} - \frac{x - 8}{6} = \frac{2x + 1}{3} - 1$。

7. $ x = \frac{21}{2} $。

解：去分母，得$3(x + 3) - (x - 8) = 2(2x + 1) - 6$
去括号，得$3x + 9 - x + 8 = 4x + 2 - 6$
移项，得$3x - x - 4x = 2 - 6 - 9 - 8$
合并同类项，得$-2x = -21$
系数化为$1$，得$x = \frac{21}{2}$

8. 试用简便方法解下列方程：
$\frac{1}{2}(x - 8) - 3 = 1 - \frac{1}{2}(x - 8)$。

8. 解:移项,得 $ \frac{1}{2}(x - 8) + \frac{1}{2}(x - 8) = 1 + 3 $。
合并同类项,得 $ x - 8 = 4 $。
方程的两边都加 8,得 $ x = 12 $。

【分析】这道方程中含有相同的整体项$(x - 8)$，解题时可将$(x - 8)$看作一个整体，通过移项将含该整体的项集中到方程左边，常数项集中到右边，再合并同类项求解，这样比先去括号更简便，能减少计算量。
【解析】移项，得 $\frac{1}{2}(x - 8) + \frac{1}{2}(x - 8) = 1 + 3$。
合并同类项，得 $x - 8 = 4$。
方程两边同时加8，得 $x = 12$。
【答案】$x = 12$
【知识点】一元一次方程的解法、整体思想
【点评】本题考查一元一次方程的简便求解，核心是运用整体思想简化计算，避免了去括号的繁琐步骤，解题时需观察式子结构，找到相同的整体项，提升解题效率，属于基础题型。
【难度系数】0.8

9. 已知代数式$\frac{3x - 1}{2}$的值比$\frac{2x + 2}{3}$的值小$1$，求$x$的值。

9. 解:根据题意,得 $ \frac{2x + 2}{3} - \frac{3x - 1}{2} = 1 $。
去分母,得 $ 2(2x + 2) - 3(3x - 1) = 6 $。
去括号,得 $ 4x + 4 - 9x + 3 = 6 $。
移项,得 $ 4x - 9x = 6 - 4 - 3 $。
合并同类项,得 $ -5x = -1 $。
方程的两边都除以 $ -5 $,得 $ x = \frac{1}{5} $。

【分析】要解决这个问题，首先根据题目中两个代数式的大小关系列出对应的一元一次方程，再按照解一元一次方程的标准步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）逐步计算，就能求出x的值。
【解析】根据题意，得 $\frac{2x + 2}{3} - \frac{3x - 1}{2} = 1$。
去分母，得 $2(2x + 2) - 3(3x - 1) = 6$。
去括号，得 $4x + 4 - 9x + 3 = 6$。
移项，得 $4x - 9x = 6 - 4 - 3$。
合并同类项，得 $-5x = -1$。
方程两边都除以 $-5$，得 $x = \frac{1}{5}$。
【答案】$x = \frac{1}{5}$
【知识点】一元一次方程、列一元一次方程
【点评】本题是基础的一元一次方程应用，关键在于根据题意准确列出方程，再按规范步骤解方程，属于初中数学的基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】0.7

10. 已知关于$x$的方程$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + a}{3} - 1$。小明在去分母时，没有将方程右边的“$-1$”乘$3$，求得方程的解为$x = 2$，试求$a$的值，并求出原方程正确的解。

10. 解:根据题意,得 $ 2x - 1 = x + a - 1 $。
把 $ x = 2 $ 代入上面的方程,得
$ 2×2 - 1 = 2 + a - 1 $。所以 $ a = 2 $。
所以原方程为 $ \frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 2}{3} - 1 $。
去分母,得 $ 2x - 1 = x + 2 - 3 $。
移项,得 $ 2x - x = 2 - 3 + 1 $。
合并同类项,得 $ x = 0 $。

【分析】
要解决这个问题，首先需根据小明错误的去分母操作得到对应的方程，将已知的错误解$x=2$代入该方程求出$a$的值；再将$a$代入原方程，按照正确的去分母（方程两边每一项都乘分母的最小公倍数）、移项、合并同类项等步骤求解原方程的正确解。
【解析】
1. 求$a$的值：
小明去分母时未将方程右边的“$-1$”乘$3$，因此他错误去分母后的方程为：$2x - 1 = x + a - 1$。
将$x=2$代入上述错误方程，得：$2×2 - 1 = 2 + a - 1$，
计算得：$3 = 1 + a$，解得$a=2$。
2. 求原方程的正确解：
将$a=2$代入原方程，得：$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 2}{3} - 1$。
正确去分母（两边同乘$3$），得：$2x - 1 = x + 2 - 3$，
移项，得：$2x - x = 2 - 3 + 1$，
合并同类项，得：$x = 0$。
【答案】
$a$的值为$2$，原方程正确的解为$x=0$。
【知识点】
一元一次方程的解法；去分母的注意事项
【点评】
本题考查一元一次方程的解法，核心是掌握去分母的规则：方程两边的每一项都要乘分母的最小公倍数，避免漏乘常数项，这是学生易出错的点，需重点关注。
【难度系数】
0.6