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一、选择题
1. 在$\dfrac{1}{x},\dfrac{x^2 - 1}{3},\dfrac{1}{4},\dfrac{2pq}{π},\dfrac{2}{m + n}$中，是分式的有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
1. 在$\dfrac{1}{x},\dfrac{x^2 - 1}{3},\dfrac{1}{4},\dfrac{2pq}{π},\dfrac{2}{m + n}$中，是分式的有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
根据分式的定义：形如$\frac{A}{B}$（$A$、$B$是整式，$B$中含有字母且$B≠0$）的式子叫做分式，逐个判断：
1. $\frac{1}{x}$：分母含字母$x$，是分式；
2. $\frac{x^2-1}{3}$：分母是常数3，属于整式，不是分式；
3. $\frac{1}{4}$：分母是常数4，属于整式，不是分式；
4. $\frac{2pq}{π}$：$π$是常数，分母不含字母，属于整式，不是分式；
5. $\frac{2}{m+n}$：分母含字母$m、n$，是分式。
综上，分式共有2个。
1. $\frac{1}{x}$：分母含字母$x$，是分式；
2. $\frac{x^2-1}{3}$：分母是常数3，属于整式，不是分式；
3. $\frac{1}{4}$：分母是常数4，属于整式，不是分式；
4. $\frac{2pq}{π}$：$π$是常数，分母不含字母，属于整式，不是分式；
5. $\frac{2}{m+n}$：分母含字母$m、n$，是分式。
综上，分式共有2个。
2. $\frac{3}{xy}, \frac{y}{2x^2}, \frac{1}{6xyz}$的最简公分母是 （）
A.$xy^2z$
B.$6x^2yz$
C.$2x^2y$
D.$6xyz$
A.$xy^2z$
B.$6x^2yz$
C.$2x^2y$
D.$6xyz$
答案
B
解析
确定最简公分母步骤如下：
1. 取各分母系数的最小公倍数：三个分母的系数分别为1、2、6，它们的最小公倍数是6；
2. 取各字母因式的最高次幂：字母x的最高次数为2，字母y的最高次数为1，字母z的最高次数为1；
3. 将上述结果相乘，得到最简公分母为$6x^2yz$。
1. 取各分母系数的最小公倍数：三个分母的系数分别为1、2、6，它们的最小公倍数是6；
2. 取各字母因式的最高次幂：字母x的最高次数为2，字母y的最高次数为1，字母z的最高次数为1；
3. 将上述结果相乘，得到最简公分母为$6x^2yz$。
3. 下列分式中，属于最简分式的是（）
A.$\dfrac{x - 1}{x^2 - 1}$
B.$\dfrac{x^2 - 1}{x + 1}$
C.$\dfrac{9}{3a}$
D.$\dfrac{2}{x - 1}$
A.$\dfrac{x - 1}{x^2 - 1}$
B.$\dfrac{x^2 - 1}{x + 1}$
C.$\dfrac{9}{3a}$
D.$\dfrac{2}{x - 1}$
答案
D
解析
根据最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式为最简分式，逐一分析选项：
1. 选项A：$\dfrac{x - 1}{x^2 - 1}=\dfrac{x-1}{(x+1)(x-1)}$，分子分母有公因式$x-1$，不是最简分式；
2. 选项B：$\dfrac{x^2 - 1}{x + 1}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x+1}$，分子分母有公因式$x+1$，不是最简分式；
3. 选项C：$\dfrac{9}{3a}=\dfrac{3}{a}$，分子分母有公因式3，不是最简分式；
4. 选项D：$\dfrac{2}{x - 1}$的分子2和分母$x-1$没有公因式，属于最简分式。
1. 选项A：$\dfrac{x - 1}{x^2 - 1}=\dfrac{x-1}{(x+1)(x-1)}$，分子分母有公因式$x-1$，不是最简分式；
2. 选项B：$\dfrac{x^2 - 1}{x + 1}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x+1}$，分子分母有公因式$x+1$，不是最简分式；
3. 选项C：$\dfrac{9}{3a}=\dfrac{3}{a}$，分子分母有公因式3，不是最简分式；
4. 选项D：$\dfrac{2}{x - 1}$的分子2和分母$x-1$没有公因式，属于最简分式。
4. 使分式$\frac{x-1}{x}$有意义的条件是 （）
A.$x=0$
B.$x≠0$
C.$x=1$
D.$x≠1$
A.$x=0$
B.$x≠0$
C.$x=1$
D.$x≠1$
答案
B
解析
分式有意义的条件是分母不为0，该分式$\frac{x-1}{x}$的分母为$x$，因此可得$x≠0$，即该分式有意义的条件是$x≠0$。
5. 下列说法中正确的是 （）
A.$a^2 +4a +4 = a(a+4)+4$ 是因式分解
B.若使分式$\frac{1}{2x -1}$有意义，则 $x≠2$
C.$(ab^{-2})^2$ 的计算结果为$\frac{a}{b^4}$
D.$\frac{a+1}{a^2 +1}$是最简分式
A.$a^2 +4a +4 = a(a+4)+4$ 是因式分解
B.若使分式$\frac{1}{2x -1}$有意义，则 $x≠2$
C.$(ab^{-2})^2$ 的计算结果为$\frac{a}{b^4}$
D.$\frac{a+1}{a^2 +1}$是最简分式
答案
D
解析
逐个分析选项：
1. 选项A：因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，等式右边$a(a+4)+4$不是整式乘积的形式，不属于因式分解，A错误。
2. 选项B：分式$\frac{1}{2x-1}$有意义的条件是分母不为0，即$2x-1≠0$，解得$x≠\frac{1}{2}$，不是$x≠2$，B错误。
3. 选项C：根据幂的运算法则，$(ab^{-2})^2=a^2·(b^{-2})^2=a^2b^{-4}=\frac{a^2}{b^4}$，不是$\frac{a}{b^4}$，C错误。
4. 选项D：分子$a+1$和分母$a^2+1$没有公因式，符合最简分式的定义，D正确。
1. 选项A：因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，等式右边$a(a+4)+4$不是整式乘积的形式，不属于因式分解，A错误。
2. 选项B：分式$\frac{1}{2x-1}$有意义的条件是分母不为0，即$2x-1≠0$，解得$x≠\frac{1}{2}$，不是$x≠2$，B错误。
3. 选项C：根据幂的运算法则，$(ab^{-2})^2=a^2·(b^{-2})^2=a^2b^{-4}=\frac{a^2}{b^4}$，不是$\frac{a}{b^4}$，C错误。
4. 选项D：分子$a+1$和分母$a^2+1$没有公因式，符合最简分式的定义，D正确。
6. 一艘轮船在静水中的最大航速为 35 km/h，它沿江以最大航速顺流航行 100 km所用的时间，与以最大航速逆流航行 65 km 所用的时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为 $ x $ km/h，则可列方程（）
A.$\frac{100}{35+x}=\frac{65}{35-x}$
B.$\frac{100}{x+35}=\frac{65}{x-35}$
C.$\frac{100}{35-x}=\frac{65}{35-x}$
D.$\frac{100}{x-35}=\frac{65}{x+35}$
A.$\frac{100}{35+x}=\frac{65}{35-x}$
B.$\frac{100}{x+35}=\frac{65}{x-35}$
C.$\frac{100}{35-x}=\frac{65}{35-x}$
D.$\frac{100}{x-35}=\frac{65}{x+35}$
答案
A
解析
由题意得，顺流航行的速度为$(35+x)\ \mathrm{km/h}$，则顺流航行100km的时间为$\frac{100}{35+x}$小时；逆流航行的速度为$(35-x)\ \mathrm{km/h}$，则逆流航行65km的时间为$\frac{65}{35-x}$小时。根据两段航行所用时间相等，可列方程$\frac{100}{35+x}=\frac{65}{35-x}$。
