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2. 某中学计划购买 A 型和 B 型课桌椅共 200 套,经招标,购买一套 A 型课桌椅比购买一套 B 型课桌椅少用 40 元,且购买 4 套 A 型和 5 套 B 型课桌椅共需 1 820 元.
(1)求购买一套 A 型课桌椅和一套 B 型课桌椅各需多少元.
(2)学校根据实际情况,要求购买这两种课桌椅总费用不能超过 40 880 元,求该校本次至少购买 A 型课桌椅多少套.
(1)求购买一套 A 型课桌椅和一套 B 型课桌椅各需多少元.
(2)学校根据实际情况,要求购买这两种课桌椅总费用不能超过 40 880 元,求该校本次至少购买 A 型课桌椅多少套.
答案
2. 解:(1)设购买一套 A 型课桌椅需$x$元. 由题意得$4x+5(x+40)=1\ 820$.
解得$x=180$.
$x+40=220$.
答:购买一套 A 型课桌椅需 180 元,购买一套 B 型课桌椅需 220 元.
(2)设购买 A 型课桌椅$a$套,则购买 B 型课桌椅$(200-a)$套.
由题意得$180a+220(200-a)≤40\ 880$.
解得$a≥78$.
答:该校本次至少购买 A 型课桌椅 78 套.
解得$x=180$.
$x+40=220$.
答:购买一套 A 型课桌椅需 180 元,购买一套 B 型课桌椅需 220 元.
(2)设购买 A 型课桌椅$a$套,则购买 B 型课桌椅$(200-a)$套.
由题意得$180a+220(200-a)≤40\ 880$.
解得$a≥78$.
答:该校本次至少购买 A 型课桌椅 78 套.
解析
【分析】
(1) 第一问已知两种课桌椅的单价差，以及购买固定数量两种课桌椅的总费用，属于一元一次方程应用问题。我们可以设A型课桌椅单价为未知数，用差价表示B型课桌椅单价，再根据总价的等量关系列方程求解即可。
(2) 第二问要求总费用不超过给定金额，求A型课桌椅的最少购买量，属于一元一次不等式应用问题。我们设A型课桌椅购买数量为未知数，用总套数表示B型课桌椅的购买数量，再根据“总费用≤40880元”的不等关系列不等式，求解后取最小正整数即为答案。
【解析】
(1) 设购买一套A型课桌椅需$x$元，则购买一套B型课桌椅需$(x+40)$元。
由题意得：
$4x+5(x+40)=1820$
展开计算得：$4x+5x+200=1820$
合并同类项得：$9x=1620$
解得：$x=180$
则B型课桌椅单价为$x+40=180+40=220$（元）。
(2) 设购买A型课桌椅$a$套，则购买B型课桌椅$(200-a)$套。
由总费用不超过40880元，列不等式：
$180a+220(200-a)≤40880$
展开计算得：$180a+44000-220a≤40880$
移项合并得：$-40a≤-3120$
不等号两边同时除以-40，不等号方向改变，得：$a≥78$。
【答案】
(1) 购买一套A型课桌椅需180元，购买一套B型课桌椅需220元；
(2) 该校本次至少购买A型课桌椅78套。
【知识点】
一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际采购场景命题，核心考查从题干中提取等量关系、不等关系的能力，计算难度较低，易错点为解不等式时未正确判断不等号方向，以及对“不超过”“至少”等限定词的理解偏差。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问已知两种课桌椅的单价差，以及购买固定数量两种课桌椅的总费用，属于一元一次方程应用问题。我们可以设A型课桌椅单价为未知数，用差价表示B型课桌椅单价，再根据总价的等量关系列方程求解即可。
(2) 第二问要求总费用不超过给定金额，求A型课桌椅的最少购买量，属于一元一次不等式应用问题。我们设A型课桌椅购买数量为未知数，用总套数表示B型课桌椅的购买数量，再根据“总费用≤40880元”的不等关系列不等式，求解后取最小正整数即为答案。
【解析】
(1) 设购买一套A型课桌椅需$x$元，则购买一套B型课桌椅需$(x+40)$元。
由题意得：
$4x+5(x+40)=1820$
展开计算得：$4x+5x+200=1820$
合并同类项得：$9x=1620$
解得：$x=180$
则B型课桌椅单价为$x+40=180+40=220$（元）。
(2) 设购买A型课桌椅$a$套，则购买B型课桌椅$(200-a)$套。
由总费用不超过40880元，列不等式：
$180a+220(200-a)≤40880$
展开计算得：$180a+44000-220a≤40880$
移项合并得：$-40a≤-3120$
不等号两边同时除以-40，不等号方向改变，得：$a≥78$。
【答案】
(1) 购买一套A型课桌椅需180元，购买一套B型课桌椅需220元；
(2) 该校本次至少购买A型课桌椅78套。
【知识点】
一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际采购场景命题，核心考查从题干中提取等量关系、不等关系的能力，计算难度较低，易错点为解不等式时未正确判断不等号方向，以及对“不超过”“至少”等限定词的理解偏差。
【难度系数】
0.8
四、趣味题
有一次,一只猫抓了20只老鼠,排成一列.猫宣布了它的决定:首先将站在奇数位上的老鼠吃掉,接着将剩下的老鼠重新按1,2,3,4,…编号,再吃掉所有站在奇数位上的老鼠.如此重复,最后剩下的一只老鼠将被放生.一只聪明的老鼠听了,马上选了一个位置,最后剩下的果然是它,猫将它放走了!你知道这只聪明的老鼠站的是第几个位置吗?
有一次,一只猫抓了20只老鼠,排成一列.猫宣布了它的决定:首先将站在奇数位上的老鼠吃掉,接着将剩下的老鼠重新按1,2,3,4,…编号,再吃掉所有站在奇数位上的老鼠.如此重复,最后剩下的一只老鼠将被放生.一只聪明的老鼠听了,马上选了一个位置,最后剩下的果然是它,猫将它放走了!你知道这只聪明的老鼠站的是第几个位置吗?
答案
四、第16个
解析
【分析】
我们可以通过逐步模拟猫吃老鼠的过程找规律：每次吃掉奇数位的老鼠后，剩余老鼠的原始编号都是2的倍数，第二次筛选后剩余的是4的倍数，第三次是8的倍数……以此类推，剩余的数始终是2的幂，我们只需要找到小于等于20的最大的2的幂，就是聪明老鼠站的位置。
【解析】
我们按步骤模拟筛选过程：
1. 第一次吃掉奇数位老鼠，剩余的老鼠编号为：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，均为2的倍数；
2. 将剩余老鼠重新编号后再次吃掉奇数位，剩余的老鼠原始编号为：4、8、12、16、20，均为$2^2=4$的倍数；
3. 再次重新编号吃掉奇数位，剩余的老鼠原始编号为：8、16，均为$2^3=8$的倍数；
4. 最后一次重新编号吃掉奇数位，剩余的老鼠原始编号为16，是$2^4=16$的倍数，且是不超过20的最大的2的幂。
【答案】
第16个
【知识点】
1. 规律探究 2. 2的幂的应用
【点评】
本题以趣味故事为载体，考查逻辑推理和规律归纳能力，通过逐步推演筛选过程就能发现剩余编号的特征，不需要复杂计算，趣味性较强，能很好地锻炼思维灵活性。
【难度系数】
0.7
我们可以通过逐步模拟猫吃老鼠的过程找规律：每次吃掉奇数位的老鼠后，剩余老鼠的原始编号都是2的倍数，第二次筛选后剩余的是4的倍数，第三次是8的倍数……以此类推，剩余的数始终是2的幂，我们只需要找到小于等于20的最大的2的幂，就是聪明老鼠站的位置。
【解析】
我们按步骤模拟筛选过程：
1. 第一次吃掉奇数位老鼠，剩余的老鼠编号为：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，均为2的倍数；
2. 将剩余老鼠重新编号后再次吃掉奇数位，剩余的老鼠原始编号为：4、8、12、16、20，均为$2^2=4$的倍数；
3. 再次重新编号吃掉奇数位，剩余的老鼠原始编号为：8、16，均为$2^3=8$的倍数；
4. 最后一次重新编号吃掉奇数位，剩余的老鼠原始编号为16，是$2^4=16$的倍数，且是不超过20的最大的2的幂。
【答案】
第16个
【知识点】
1. 规律探究 2. 2的幂的应用
【点评】
本题以趣味故事为载体，考查逻辑推理和规律归纳能力，通过逐步推演筛选过程就能发现剩余编号的特征，不需要复杂计算，趣味性较强，能很好地锻炼思维灵活性。
【难度系数】
0.7
