登录
19.阅读下列材料,解决问题:
【问题背景】小明在学习完不等式的基本性质之后,思考:
如何利用不等式的基本性质1和2证明不等式的基本性质3呢?
在老师的启发下,小明首先把问题转化为以下的形式:
①已知:$a＞b,c＜0$,求证:$ac＜bc.$
②已知:$a＞b,c＜0$,求证:$\frac{a}{c}＜\frac{b}{c}.$
【问题探究】(1)针对①,小明给出如下推理过程,请认真阅读,并填写依据:
$\because c＜0$,即$c$是一个负数,$\therefore c$的相反数是正数,即$-c＞0.$
$\because a＞b,\therefore a· (-c)＞b· (-c)$(依据:$\underline{\hspace{10cm}}$),即$-ac＞-bc$,
不等式的两端同时加$ac+bc$,得
$-ac+(ac+bc)＞-bc+(ac+bc)$(依据:$\underline{\hspace{10cm}}$),
合并同类项,得$bc＞ac$,即$ac＜bc$得证.
(2)参考(1)的方法,完成②的证明.
【问题背景】小明在学习完不等式的基本性质之后,思考:
如何利用不等式的基本性质1和2证明不等式的基本性质3呢?
在老师的启发下,小明首先把问题转化为以下的形式:
①已知:$a＞b,c＜0$,求证:$ac＜bc.$
②已知:$a＞b,c＜0$,求证:$\frac{a}{c}＜\frac{b}{c}.$
【问题探究】(1)针对①,小明给出如下推理过程,请认真阅读,并填写依据:
$\because c＜0$,即$c$是一个负数,$\therefore c$的相反数是正数,即$-c＞0.$
$\because a＞b,\therefore a· (-c)＞b· (-c)$(依据:$\underline{\hspace{10cm}}$),即$-ac＞-bc$,
不等式的两端同时加$ac+bc$,得
$-ac+(ac+bc)＞-bc+(ac+bc)$(依据:$\underline{\hspace{10cm}}$),
合并同类项,得$bc＞ac$,即$ac＜bc$得证.
(2)参考(1)的方法,完成②的证明.
答案
19.(1)不等式的基本性质2 不等式的基本性质1
(2)证明:$\because c＜0$,即 $c$ 是一个负数,$\therefore c$ 的相反数是正数,即$-c＞0$.
$\because a＞b$,$\therefore \dfrac{a}{-c}＞\dfrac{b}{-c}$(依据:不等式的基本性质2),
即 $-\dfrac{a}{c}＞-\dfrac{b}{c}$,
不等式的两端同时加 $\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}$,得
$-\dfrac{a}{c}+(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c})＞-\dfrac{b}{c}+(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c})$(依据:不等式的基本性质1),
合并同类项,得$\dfrac{b}{c}＞\dfrac{a}{c}$,即$\dfrac{a}{c}＜\dfrac{b}{c}$得证.
(2)证明:$\because c＜0$,即 $c$ 是一个负数,$\therefore c$ 的相反数是正数,即$-c＞0$.
$\because a＞b$,$\therefore \dfrac{a}{-c}＞\dfrac{b}{-c}$(依据:不等式的基本性质2),
即 $-\dfrac{a}{c}＞-\dfrac{b}{c}$,
不等式的两端同时加 $\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}$,得
$-\dfrac{a}{c}+(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c})＞-\dfrac{b}{c}+(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c})$(依据:不等式的基本性质1),
合并同类项,得$\dfrac{b}{c}＞\dfrac{a}{c}$,即$\dfrac{a}{c}＜\dfrac{b}{c}$得证.
解析
【分析】
这道题围绕不等式基本性质的证明展开，解题思路如下：解决第(1)问时，先观察第一步变形：已知$a＞b$，两边同时乘正数$(-c)$，不等号方向不变，对应不等式的基本性质2；第二步变形是不等式两边同时加同一个整式$ac+bc$，不等号方向不变，对应不等式的基本性质1。解决第(2)问时，类比第(1)问的推导逻辑，先将负数$c$转化为它的相反数正数$(-c)$，先利用不等式基本性质2对$a＞b$两边同时除以正数$(-c)$，再利用不等式基本性质1两边同时加同一个整式，整理后即可得到要证明的结论。
【解析】
(1) 第一步变形中，不等式两边乘的$(-c)$是正数，不等号方向不变，依据为不等式的基本性质2；第二步变形中，不等式两边同时加同一个整式$ac+bc$，不等号方向不变，依据为不等式的基本性质1。
(2) 证明过程：
$\because c＜0$,即 $c$ 是一个负数,$\therefore c$ 的相反数是正数,即$-c＞0$.
$\because a＞b$,$\therefore \dfrac{a}{-c}＞\dfrac{b}{-c}$(依据:不等式的基本性质2),
即 $-\dfrac{a}{c}＞-\dfrac{b}{c}$,
不等式的两端同时加 $\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}$,得
$-\dfrac{a}{c}+(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c})＞-\dfrac{b}{c}+(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c})$(依据:不等式的基本性质1),
合并同类项,得$\dfrac{b}{c}＞\dfrac{a}{c}$,即$\dfrac{a}{c}＜\dfrac{b}{c}$得证。
【答案】
(1) 不等式的基本性质2；不等式的基本性质1
(2) 证明:$\because c＜0$,即 $c$ 是一个负数,$\therefore c$ 的相反数是正数,即$-c＞0$.$\because a＞b$,$\therefore \dfrac{a}{-c}＞\dfrac{b}{-c}$(依据:不等式的基本性质2),即 $-\dfrac{a}{c}＞-\dfrac{b}{c}$,不等式的两端同时加 $\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}$,得$-\dfrac{a}{c}+(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c})＞-\dfrac{b}{c}+(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c})$(依据:不等式的基本性质1),合并同类项,得$\dfrac{b}{c}＞\dfrac{a}{c}$,即$\dfrac{a}{c}＜\dfrac{b}{c}$得证。
【知识点】
不等式的基本性质；类比推理；不等式证明
【点评】
本题侧重考查对不等式基本性质的理解与迁移应用能力，通过模仿推导的形式，帮助学生加深对不等式两边乘除负数时不等号方向改变这一性质的理解，夯实不等式变形的基础，整体逻辑清晰，符合探究类题目的设计思路。
【难度系数】
0.8
这道题围绕不等式基本性质的证明展开，解题思路如下：解决第(1)问时，先观察第一步变形：已知$a＞b$，两边同时乘正数$(-c)$，不等号方向不变，对应不等式的基本性质2；第二步变形是不等式两边同时加同一个整式$ac+bc$，不等号方向不变，对应不等式的基本性质1。解决第(2)问时，类比第(1)问的推导逻辑，先将负数$c$转化为它的相反数正数$(-c)$，先利用不等式基本性质2对$a＞b$两边同时除以正数$(-c)$，再利用不等式基本性质1两边同时加同一个整式，整理后即可得到要证明的结论。
【解析】
(1) 第一步变形中，不等式两边乘的$(-c)$是正数，不等号方向不变，依据为不等式的基本性质2；第二步变形中，不等式两边同时加同一个整式$ac+bc$，不等号方向不变，依据为不等式的基本性质1。
(2) 证明过程：
$\because c＜0$,即 $c$ 是一个负数,$\therefore c$ 的相反数是正数,即$-c＞0$.
$\because a＞b$,$\therefore \dfrac{a}{-c}＞\dfrac{b}{-c}$(依据:不等式的基本性质2),
即 $-\dfrac{a}{c}＞-\dfrac{b}{c}$,
不等式的两端同时加 $\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}$,得
$-\dfrac{a}{c}+(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c})＞-\dfrac{b}{c}+(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c})$(依据:不等式的基本性质1),
合并同类项,得$\dfrac{b}{c}＞\dfrac{a}{c}$,即$\dfrac{a}{c}＜\dfrac{b}{c}$得证。
【答案】
(1) 不等式的基本性质2；不等式的基本性质1
(2) 证明:$\because c＜0$,即 $c$ 是一个负数,$\therefore c$ 的相反数是正数,即$-c＞0$.$\because a＞b$,$\therefore \dfrac{a}{-c}＞\dfrac{b}{-c}$(依据:不等式的基本性质2),即 $-\dfrac{a}{c}＞-\dfrac{b}{c}$,不等式的两端同时加 $\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}$,得$-\dfrac{a}{c}+(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c})＞-\dfrac{b}{c}+(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c})$(依据:不等式的基本性质1),合并同类项,得$\dfrac{b}{c}＞\dfrac{a}{c}$,即$\dfrac{a}{c}＜\dfrac{b}{c}$得证。
【知识点】
不等式的基本性质；类比推理；不等式证明
【点评】
本题侧重考查对不等式基本性质的理解与迁移应用能力，通过模仿推导的形式，帮助学生加深对不等式两边乘除负数时不等号方向改变这一性质的理解，夯实不等式变形的基础，整体逻辑清晰，符合探究类题目的设计思路。
【难度系数】
0.8
