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12. 甲、乙、丙、丁四名学生的竞赛成绩(单位:分)如下:15,18,15,24. 按照组内离差平方和最小的分法,将竞赛成绩分成两组.
答案
12.解:将4个数据按从小到大排列:15,15,18,24.
把4个数据分成2组,共3种情况:
分组1:{15}和{15,18,24},平均数分别为15,$\frac{15+18+24}{3}=19$.
离差平方和:0,$(15-19)^2+(18-19)^2+(24-19)^2=16+1+25=42$.
组内离差平方和:$0+42=42$.
分组2:{15,15}和{18,24},平均数分别为$\frac{15+15}{2}=15$,$\frac{18+24}{2}=21$.
离差平方和:0,$(18-21)^2+(24-21)^2=9+9=18$.
组内离差平方和:$0+18=18$.
分组3:{15,15,18}和{24},平均数分别为$\frac{15+15+18}{3}=16,24$.
离差平方和:$(15-16)^2+(15-16)^2+(18-16)^2=1+1+4=6,0$.
组内离差平方和:$6+0=6$.
$\because 6＜18＜42$,$\therefore$将竞赛成绩分成的两组是$\{15,15,18\}$和$\{24\}$.
把4个数据分成2组,共3种情况:
分组1:{15}和{15,18,24},平均数分别为15,$\frac{15+18+24}{3}=19$.
离差平方和:0,$(15-19)^2+(18-19)^2+(24-19)^2=16+1+25=42$.
组内离差平方和:$0+42=42$.
分组2:{15,15}和{18,24},平均数分别为$\frac{15+15}{2}=15$,$\frac{18+24}{2}=21$.
离差平方和:0,$(18-21)^2+(24-21)^2=9+9=18$.
组内离差平方和:$0+18=18$.
分组3:{15,15,18}和{24},平均数分别为$\frac{15+15+18}{3}=16,24$.
离差平方和:$(15-16)^2+(15-16)^2+(18-16)^2=1+1+4=6,0$.
组内离差平方和:$6+0=6$.
$\because 6＜18＜42$,$\therefore$将竞赛成绩分成的两组是$\{15,15,18\}$和$\{24\}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要找到组内离差平方和之和最小的分组方式，解题思路如下：第一步先将数据从小到大排序，方便后续枚举分组；第二步枚举4个数据分成2组的所有不重复情况，共3种：1个数据为一组+剩余3个为一组的2种情况、2个数据为一组+剩余2个为一组的1种情况；第三步对每种分组，先分别计算每组的平均数，再计算每组的离差平方和（即组内每个数据与本组平均数的差的平方之和），相加得到该分组的总组内离差平方和；第四步比较3种分组的总离差平方和，数值最小的对应分组就是所求分法。
【解析】
解：先将4个竞赛成绩按从小到大排序：15，15，18，24。
4个数据分成2组，不考虑组的顺序共有3种分法，分别计算每种分法的总组内离差平方和：
1. 分组1：$\{15\}$和$\{15,18,24\}$
两组平均数分别为$\bar{x}_1=15$，$\bar{x}_2=\frac{15+18+24}{3}=19$
两组离差平方和分别为：$(15-15)^2=0$，$(15-19)^2+(18-19)^2+(24-19)^2=16+1+25=42$
总组内离差平方和：$0+42=42$
2. 分组2：$\{15,15\}$和$\{18,24\}$
两组平均数分别为$\bar{x}_1=\frac{15+15}{2}=15$，$\bar{x}_2=\frac{18+24}{2}=21$
两组离差平方和分别为：$(15-15)^2+(15-15)^2=0$，$(18-21)^2+(24-21)^2=9+9=18$
总组内离差平方和：$0+18=18$
3. 分组3：$\{15,15,18\}$和$\{24\}$
两组平均数分别为$\bar{x}_1=\frac{15+15+18}{3}=16$，$\bar{x}_2=24$
两组离差平方和分别为：$(15-16)^2+(15-16)^2+(18-16)^2=1+1+4=6$，$(24-24)^2=0$
总组内离差平方和：$6+0=6$
对比得$6＜18＜42$，因此总组内离差平方和最小的分组是$\{15,15,18\}$和$\{24\}$。
【答案】
两组分别为$\{15,15,18\}$和$\{24\}$
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算，分类讨论
【点评】
本题重点考察对离差平方和概念的理解，通过枚举所有分组情况逐一计算比较即可得到结果，解题时要注意不要遗漏分组，计算平方和时需细心避免运算错误。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要找到组内离差平方和之和最小的分组方式，解题思路如下：第一步先将数据从小到大排序，方便后续枚举分组；第二步枚举4个数据分成2组的所有不重复情况，共3种：1个数据为一组+剩余3个为一组的2种情况、2个数据为一组+剩余2个为一组的1种情况；第三步对每种分组，先分别计算每组的平均数，再计算每组的离差平方和（即组内每个数据与本组平均数的差的平方之和），相加得到该分组的总组内离差平方和；第四步比较3种分组的总离差平方和，数值最小的对应分组就是所求分法。
【解析】
解：先将4个竞赛成绩按从小到大排序：15，15，18，24。
4个数据分成2组，不考虑组的顺序共有3种分法，分别计算每种分法的总组内离差平方和：
1. 分组1：$\{15\}$和$\{15,18,24\}$
两组平均数分别为$\bar{x}_1=15$，$\bar{x}_2=\frac{15+18+24}{3}=19$
两组离差平方和分别为：$(15-15)^2=0$，$(15-19)^2+(18-19)^2+(24-19)^2=16+1+25=42$
总组内离差平方和：$0+42=42$
2. 分组2：$\{15,15\}$和$\{18,24\}$
两组平均数分别为$\bar{x}_1=\frac{15+15}{2}=15$，$\bar{x}_2=\frac{18+24}{2}=21$
两组离差平方和分别为：$(15-15)^2+(15-15)^2=0$，$(18-21)^2+(24-21)^2=9+9=18$
总组内离差平方和：$0+18=18$
3. 分组3：$\{15,15,18\}$和$\{24\}$
两组平均数分别为$\bar{x}_1=\frac{15+15+18}{3}=16$，$\bar{x}_2=24$
两组离差平方和分别为：$(15-16)^2+(15-16)^2+(18-16)^2=1+1+4=6$，$(24-24)^2=0$
总组内离差平方和：$6+0=6$
对比得$6＜18＜42$，因此总组内离差平方和最小的分组是$\{15,15,18\}$和$\{24\}$。
【答案】
两组分别为$\{15,15,18\}$和$\{24\}$
【知识点】
平均数计算，离差平方和计算，分类讨论
【点评】
本题重点考察对离差平方和概念的理解，通过枚举所有分组情况逐一计算比较即可得到结果，解题时要注意不要遗漏分组，计算平方和时需细心避免运算错误。
【难度系数】
0.7
13.一组被墨水污染的数据:4,17,7,14,★,★,★,16,10,4,4,11,其箱线图如图所示.
下列说法不正确的是 （
A.这组数据的下四分位数是 4
B.这组数据的中位数是 10
C.这组数据的上四分位数是 15
D.被墨水污染的数据中,一个数是 3,一个数是 18
下列说法不正确的是 （
B
）A.这组数据的下四分位数是 4
B.这组数据的中位数是 10
C.这组数据的上四分位数是 15
D.被墨水污染的数据中,一个数是 3,一个数是 18
答案
13.B
解析
【分析】
解题思路分三步：1.先统计数据总个数为12，结合箱线图的两端刻度确定数据的最小值为3、最大值为18，由此确定被污染的数据包含3和18；2.回忆偶数个数据的中位数、四分位数计算规则：n=12时，下四分位数是第3、4个数的平均数，中位数是第6、7个数的平均数，上四分位数是第9、10个数的平均数；3.将已知数据排序，结合未知数据不影响对应位置数值的规律，逐一验证选项即可。
【解析】
首先数得该组数据共12个，观察箱线图可知数据最小值为3，最大值为18，因此三个被污染的数中一定有3和18，D选项说法正确。
将已知数据加上3、18后排序，剩余1个未知数据不影响前4位、后4位的顺序，排序后为：3,4,4,4,7,?,11,14,16,17,18。
1. 计算下四分位数：$12×25\%=3$，即下四分位数为第3个和第4个数的平均数，第3、4个数均为4，因此下四分位数为$\frac{4+4}{2}=4$，A选项说法正确。
2. 计算上四分位数：$12×75\%=9$，即上四分位数为第9个和第10个数的平均数，第9、10个数为14和16，因此上四分位数为$\frac{14+16}{2}=15$，C选项说法正确。
3. 计算中位数：12个数据的中位数为第6个和第7个数的平均数，排序后第6、7个数为10和11，因此中位数为$\frac{10+11}{2}=10.5≠10$，B选项说法错误。
【答案】
B
【知识点】
箱线图；中位数；四分位数
【点评】
本题考查统计图表与统计量的计算，核心是掌握箱线图对应的五数特征（最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值），以及偶数个数据时各分位数的计算规则，注意未知数据不影响对应位置数值时可直接推导结果。
【难度系数】
0.65
解题思路分三步：1.先统计数据总个数为12，结合箱线图的两端刻度确定数据的最小值为3、最大值为18，由此确定被污染的数据包含3和18；2.回忆偶数个数据的中位数、四分位数计算规则：n=12时，下四分位数是第3、4个数的平均数，中位数是第6、7个数的平均数，上四分位数是第9、10个数的平均数；3.将已知数据排序，结合未知数据不影响对应位置数值的规律，逐一验证选项即可。
【解析】
首先数得该组数据共12个，观察箱线图可知数据最小值为3，最大值为18，因此三个被污染的数中一定有3和18，D选项说法正确。
将已知数据加上3、18后排序，剩余1个未知数据不影响前4位、后4位的顺序，排序后为：3,4,4,4,7,?,11,14,16,17,18。
1. 计算下四分位数：$12×25\%=3$，即下四分位数为第3个和第4个数的平均数，第3、4个数均为4，因此下四分位数为$\frac{4+4}{2}=4$，A选项说法正确。
2. 计算上四分位数：$12×75\%=9$，即上四分位数为第9个和第10个数的平均数，第9、10个数为14和16，因此上四分位数为$\frac{14+16}{2}=15$，C选项说法正确。
3. 计算中位数：12个数据的中位数为第6个和第7个数的平均数，排序后第6、7个数为10和11，因此中位数为$\frac{10+11}{2}=10.5≠10$，B选项说法错误。
【答案】
B
【知识点】
箱线图；中位数；四分位数
【点评】
本题考查统计图表与统计量的计算，核心是掌握箱线图对应的五数特征（最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值），以及偶数个数据时各分位数的计算规则，注意未知数据不影响对应位置数值时可直接推导结果。
【难度系数】
0.65
14.某小组8名学生的数学考试成绩(单位:分)分别为88,98,87,92,92,90,91,96.老师决定将这些成绩分为两组,以便更好地分析学生的成绩分布.若按如下方法分组:第一组{87,88,90,91,92,92},第二组{96,98},则组内离差平方和为
24
.答案
14.24
解析
【分析】
要计算组内离差平方和，需分三步思考：第一步先分别计算每组数据的平均数，第二步分别计算每组中每个数据与本组平均数的差的平方和（即单组的离差平方和），第三步将两组的离差平方和相加，即可得到最终的组内离差平方和。
【解析】
1. 计算第一组的离差平方和：
第一组数据：87,88,90,91,92,92
第一组平均数：$\bar{x}_1=\frac{87+88+90+91+92+92}{6}=\frac{540}{6}=90$
第一组离差平方和：
$\begin{aligned}S_1&=(87-90)^2+(88-90)^2+(90-90)^2+(91-90)^2+(92-90)^2+(92-90)^2\\&=9+4+0+1+4+4=22\end{aligned}$
2. 计算第二组的离差平方和：
第二组数据：96,98
第二组平均数：$\bar{x}_2=\frac{96+98}{2}=97$
第二组离差平方和：
$\begin{aligned}S_2&=(96-97)^2+(98-97)^2\\&=1+1=2\end{aligned}$
3. 计算总的组内离差平方和：
$S=S_1+S_2=22+2=24$
【答案】
24
【知识点】
平均数计算、离差平方和计算
【点评】
本题核心是理解组内离差平方和的含义，计算过程难度不高，需要注意计算平均数和平方时要细心，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
要计算组内离差平方和，需分三步思考：第一步先分别计算每组数据的平均数，第二步分别计算每组中每个数据与本组平均数的差的平方和（即单组的离差平方和），第三步将两组的离差平方和相加，即可得到最终的组内离差平方和。
【解析】
1. 计算第一组的离差平方和：
第一组数据：87,88,90,91,92,92
第一组平均数：$\bar{x}_1=\frac{87+88+90+91+92+92}{6}=\frac{540}{6}=90$
第一组离差平方和：
$\begin{aligned}S_1&=(87-90)^2+(88-90)^2+(90-90)^2+(91-90)^2+(92-90)^2+(92-90)^2\\&=9+4+0+1+4+4=22\end{aligned}$
2. 计算第二组的离差平方和：
第二组数据：96,98
第二组平均数：$\bar{x}_2=\frac{96+98}{2}=97$
第二组离差平方和：
$\begin{aligned}S_2&=(96-97)^2+(98-97)^2\\&=1+1=2\end{aligned}$
3. 计算总的组内离差平方和：
$S=S_1+S_2=22+2=24$
【答案】
24
【知识点】
平均数计算、离差平方和计算
【点评】
本题核心是理解组内离差平方和的含义，计算过程难度不高，需要注意计算平均数和平方时要细心，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.7
15.某校选拔14名学生参加市运动会,测量其心率的统计结果如下表所示.
则这组数据的下四分位数为
则这组数据的下四分位数为
68
.答案
15.68
解析
【分析】
求解本题首先要明确下四分位数（第25百分位数）的计算步骤：①先确定数据的总个数；②计算位置值i=总个数×25%；③若i为整数，则下四分位数是第i个和第i+1个数据的平均数，若i不是整数，将i向上取整，对应位置的数据就是下四分位数。本题已经给出了不同心率对应的人数，心率本身按从小到大排列，只需结合人数确定对应位置的数据即可。
【解析】
第一步：计算数据总个数：总人数为$2+3+4+4+1=14$，即共有14个数据，且数据已按从小到大的顺序对应排列。
第二步：计算下四分位数的位置：$i=14×25\%=3.5$。
第三步：判断位置：3.5不是整数，向上取整为4，即下四分位数是从小到大排列的第4个数据。
第四步：结合频数确定对应数据：心率为60的共2个，对应第1~2个数据；心率为68的共3个，对应第3~5个数据，因此第4个数据为68。
【答案】
68
【知识点】
下四分位数计算，频数分布表应用，百分位数概念
【点评】
本题属于统计基础题，重点考查下四分位数的求解方法，解题的关键是牢记百分位数的计算规则，能结合频数分布表快速定位对应位置的数据，只要掌握计算规则就能顺利得分。
【难度系数】
0.7
求解本题首先要明确下四分位数（第25百分位数）的计算步骤：①先确定数据的总个数；②计算位置值i=总个数×25%；③若i为整数，则下四分位数是第i个和第i+1个数据的平均数，若i不是整数，将i向上取整，对应位置的数据就是下四分位数。本题已经给出了不同心率对应的人数，心率本身按从小到大排列，只需结合人数确定对应位置的数据即可。
【解析】
第一步：计算数据总个数：总人数为$2+3+4+4+1=14$，即共有14个数据，且数据已按从小到大的顺序对应排列。
第二步：计算下四分位数的位置：$i=14×25\%=3.5$。
第三步：判断位置：3.5不是整数，向上取整为4，即下四分位数是从小到大排列的第4个数据。
第四步：结合频数确定对应数据：心率为60的共2个，对应第1~2个数据；心率为68的共3个，对应第3~5个数据，因此第4个数据为68。
【答案】
68
【知识点】
下四分位数计算，频数分布表应用，百分位数概念
【点评】
本题属于统计基础题，重点考查下四分位数的求解方法，解题的关键是牢记百分位数的计算规则，能结合频数分布表快速定位对应位置的数据，只要掌握计算规则就能顺利得分。
【难度系数】
0.7
16.某银行有 A 和 B 两个理财产品经营团队，2025 年上半年这两个团队分别负责经营12 项理财产品，收益率(单位：%)如下：
A 4.77 3.98 4.88 4.89 2.15 3.85 3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10
B 3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60 4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91
某同学想要利用四分位数分析 A,B 两个团队的经营水平，下表是其计算的两个团队理财产品收益率的四分位数.
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中$a=$
(2)该同学基于四分位数绘制了团队 A 理财产品收益率的箱线图，如图所示.请你根据团队 A 的箱线图，在图中补全团队 B 的箱线图，并结合箱线图从总体经营效益、稳健度方面，对 A,B 两个团队的经营水平作出评价.
A 4.77 3.98 4.88 4.89 2.15 3.85 3.64 3.21 3.18 2.02 4.11 4.10
B 3.18 3.84 3.99 3.67 3.40 3.60 4.10 4.21 4.15 4.44 3.87 3.91
某同学想要利用四分位数分析 A,B 两个团队的经营水平，下表是其计算的两个团队理财产品收益率的四分位数.
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中$a=$
3.635
，$b=$4.125
.(2)该同学基于四分位数绘制了团队 A 理财产品收益率的箱线图，如图所示.请你根据团队 A 的箱线图，在图中补全团队 B 的箱线图，并结合箱线图从总体经营效益、稳健度方面，对 A,B 两个团队的经营水平作出评价.
答案
16.(1)3.635 4.125
(2)解:如图所示.
通过箱线图,可知团队 A 产品收益率的中位数与团队 B 的几乎相等,
故两个团队的经营效益基本一样.
但团队 A 的产品收益率明显比团队 B 产品收益率的波动大,
即团队 B 的经营水平更稳健,故对于稳健型的投资者,
选择团队 B 的理财产品更合适.
解析
【分析】
本题考查四分位数的计算与箱线图的应用。解题思路：
(1) 计算四分位数首先要把对应团队的收益率数据从小到大排序，当数据个数n=12时，下四分位数是排序后第3个和第4个数据的平均数，上四分位数是排序后第9个和第10个数据的平均数，代入计算即可得到a、b的值。
(2) 补全箱线图需要先确定团队B收益率的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，再对应标注即可；评价经营效益看中位数大小，稳健度看数据波动范围，波动越小越稳健。
【解析】
(1) 先将团队B的12项理财产品收益率从小到大排序：
3.18，3.40，3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44。
因为12×25%=3，所以下四分位数a为第3个和第4个数据的平均数：
$a=(3.60+3.67)÷2=3.635$
因为12×75%=9，所以上四分位数b为第9个和第10个数据的平均数：
$b=(4.10+4.15)÷2=4.125$
(2) 先确定团队B收益率的五个特征值：最小值3.18%，下四分位数3.635%，中位数3.89%，上四分位数4.125%，最大值4.44%，按照数值对应补全箱线图即可。
评价时首先对比中位数判断经营效益，再对比数据波动范围判断稳健度即可。
【答案】
(1) $\boxed{3.635}$；$\boxed{4.125}$
(2) 如图所示.
通过箱线图,可知团队 A 产品收益率的中位数与团队 B 的几乎相等,
故两个团队的经营效益基本一样.
但团队 A 的产品收益率明显比团队 B 产品收益率的波动大,
即团队 B 的经营水平更稳健,故对于稳健型的投资者,
选择团队 B 的理财产品更合适.
【知识点】
四分位数计算；箱线图应用；统计数据分析
【点评】
本题结合理财经营的实际场景，考查统计中四分位数的计算方法和箱线图的实际应用，能够帮助学生掌握用统计工具分析实际问题的方法，提升数据分析能力。
【难度系数】
0.7
本题考查四分位数的计算与箱线图的应用。解题思路：
(1) 计算四分位数首先要把对应团队的收益率数据从小到大排序，当数据个数n=12时，下四分位数是排序后第3个和第4个数据的平均数，上四分位数是排序后第9个和第10个数据的平均数，代入计算即可得到a、b的值。
(2) 补全箱线图需要先确定团队B收益率的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，再对应标注即可；评价经营效益看中位数大小，稳健度看数据波动范围，波动越小越稳健。
【解析】
(1) 先将团队B的12项理财产品收益率从小到大排序：
3.18，3.40，3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44。
因为12×25%=3，所以下四分位数a为第3个和第4个数据的平均数：
$a=(3.60+3.67)÷2=3.635$
因为12×75%=9，所以上四分位数b为第9个和第10个数据的平均数：
$b=(4.10+4.15)÷2=4.125$
(2) 先确定团队B收益率的五个特征值：最小值3.18%，下四分位数3.635%，中位数3.89%，上四分位数4.125%，最大值4.44%，按照数值对应补全箱线图即可。
评价时首先对比中位数判断经营效益，再对比数据波动范围判断稳健度即可。
【答案】
(1) $\boxed{3.635}$；$\boxed{4.125}$
(2) 如图所示.
通过箱线图,可知团队 A 产品收益率的中位数与团队 B 的几乎相等,
故两个团队的经营效益基本一样.
但团队 A 的产品收益率明显比团队 B 产品收益率的波动大,
即团队 B 的经营水平更稳健,故对于稳健型的投资者,
选择团队 B 的理财产品更合适.
【知识点】
四分位数计算；箱线图应用；统计数据分析
【点评】
本题结合理财经营的实际场景，考查统计中四分位数的计算方法和箱线图的实际应用，能够帮助学生掌握用统计工具分析实际问题的方法，提升数据分析能力。
【难度系数】
0.7
