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1. 下列二次根式中,一定有意义的是 (
A.$\sqrt{(a-1)^2}$
B.$\sqrt{-4}$
C.$\sqrt{a^2 - 1}$
D.$\sqrt{a + b^2}$
A
)A.$\sqrt{(a-1)^2}$
B.$\sqrt{-4}$
C.$\sqrt{a^2 - 1}$
D.$\sqrt{a + b^2}$
答案
1.A
解析
【分析】
要判断二次根式是否一定有意义，核心依据是二次根式的有意义条件：被开方数必须为非负数（即大于等于0）。“一定有意义”即无论式中字母取任意实数值，被开方数都恒满足非负的要求，我们只需逐一验证每个选项的被开方数是否恒大于等于0即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：被开方数为$(a-1)^2$，根据平方的非负性，任意实数的平方都大于等于0，因此无论$a$取何值，$(a-1)^2≥0$恒成立，该二次根式一定有意义。
B选项：被开方数为$-4$，$-4＜0$，不符合二次根式被开方数非负的要求，该二次根式无意义。
C选项：被开方数为$a^2-1$，当$a$取0时，$a^2-1=-1＜0$，此时该二次根式无意义，因此不是一定有意义。
D选项：被开方数为$a+b^2$，虽然$b^2≥0$，但当$a$取足够小的负数时，比如$a=-3$、$b=1$，此时$a+b^2=-3+1=-2＜0$，二次根式无意义，因此不是一定有意义。
综上，只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；平方的非负性
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题的关键是明确二次根式的成立条件，结合平方的非负性逐一排查选项即可，注意“一定有意义”要求对所有可能的字母取值都成立。
【难度系数】
0.8
要判断二次根式是否一定有意义，核心依据是二次根式的有意义条件：被开方数必须为非负数（即大于等于0）。“一定有意义”即无论式中字母取任意实数值，被开方数都恒满足非负的要求，我们只需逐一验证每个选项的被开方数是否恒大于等于0即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：被开方数为$(a-1)^2$，根据平方的非负性，任意实数的平方都大于等于0，因此无论$a$取何值，$(a-1)^2≥0$恒成立，该二次根式一定有意义。
B选项：被开方数为$-4$，$-4＜0$，不符合二次根式被开方数非负的要求，该二次根式无意义。
C选项：被开方数为$a^2-1$，当$a$取0时，$a^2-1=-1＜0$，此时该二次根式无意义，因此不是一定有意义。
D选项：被开方数为$a+b^2$，虽然$b^2≥0$，但当$a$取足够小的负数时，比如$a=-3$、$b=1$，此时$a+b^2=-3+1=-2＜0$，二次根式无意义，因此不是一定有意义。
综上，只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件；平方的非负性
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题的关键是明确二次根式的成立条件，结合平方的非负性逐一排查选项即可，注意“一定有意义”要求对所有可能的字母取值都成立。
【难度系数】
0.8
2. 下列各式中,化简后能与$\sqrt{2}$合并的是 （
A.$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
D.$\sqrt{0.2}$
B
）A.$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
D.$\sqrt{0.2}$
答案
2.B
解析
【分析】
要判断哪个式子化简后能与$\sqrt{2}$合并，首先明确判断规则：只有同类二次根式可以合并，同类二次根式是指化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。因此解题步骤为：先将每个选项的二次根式化为最简形式，再检查其被开方数是否为2，符合的即为正确选项。
【解析】
我们逐一化简各选项：
A. $\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，最简后被开方数是3，与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能合并；
B. $\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，最简后被开方数是2，与$\sqrt{2}$是同类二次根式，可以合并；
C. $\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{2×3}{3×3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，最简后被开方数是6，与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能合并；
D. $\sqrt{0.2}=\sqrt{\dfrac{1}{5}}=\sqrt{\dfrac{1×5}{5×5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，最简后被开方数是5，与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能合并。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1.同类二次根式 2.二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式部分的基础题型，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法，牢记判断同类二次根式的前提是先将二次根式化为最简形式，再比较被开方数是否相同，避免直接观察原式误判。
【难度系数】
0.8
要判断哪个式子化简后能与$\sqrt{2}$合并，首先明确判断规则：只有同类二次根式可以合并，同类二次根式是指化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。因此解题步骤为：先将每个选项的二次根式化为最简形式，再检查其被开方数是否为2，符合的即为正确选项。
【解析】
我们逐一化简各选项：
A. $\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，最简后被开方数是3，与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能合并；
B. $\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，最简后被开方数是2，与$\sqrt{2}$是同类二次根式，可以合并；
C. $\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{2×3}{3×3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，最简后被开方数是6，与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能合并；
D. $\sqrt{0.2}=\sqrt{\dfrac{1}{5}}=\sqrt{\dfrac{1×5}{5×5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，最简后被开方数是5，与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能合并。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1.同类二次根式 2.二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式部分的基础题型，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法，牢记判断同类二次根式的前提是先将二次根式化为最简形式，再比较被开方数是否相同，避免直接观察原式误判。
【难度系数】
0.8
3. 已知$a,b$为实数,且$b=\sqrt{a-8}-\sqrt{8-a}+25$,则$\sqrt[3]{a}+\sqrt{b}$的值为（
A.10
B.9
C.8
D.7
D
）A.10
B.9
C.8
D.7
答案
3.D
解析
【分析】
要计算$\sqrt[3]{a}+\sqrt{b}$的值，需要先求出$a$、$b$的取值。观察$b$的表达式，里面含有两个二次根式$\sqrt{a-8}$和$\sqrt{8-a}$，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，因此可以先列出关于$a$的不等式组，求出$a$的取值，再代入计算$b$的值，最后代入待求式计算即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得：
$\begin{cases}a-8≥0 \\8-a≥0\end{cases}$
解不等式$a-8≥0$得$a≥8$，解不等式$8-a≥0$得$a≤8$，因此$a=8$。
将$a=8$代入$b=\sqrt{a-8}-\sqrt{8-a}+25$，得：
$b=\sqrt{0}-\sqrt{0}+25=25$
将$a=8$、$b=25$代入$\sqrt[3]{a}+\sqrt{b}$得：
$\sqrt[3]{8}+\sqrt{25}=2+5=7$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件、立方根运算、算术平方根运算
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，解题核心是挖掘二次根式中被开方数非负的隐含条件，先确定未知数的取值再代入计算，整体解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
要计算$\sqrt[3]{a}+\sqrt{b}$的值，需要先求出$a$、$b$的取值。观察$b$的表达式，里面含有两个二次根式$\sqrt{a-8}$和$\sqrt{8-a}$，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，因此可以先列出关于$a$的不等式组，求出$a$的取值，再代入计算$b$的值，最后代入待求式计算即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得：
$\begin{cases}a-8≥0 \\8-a≥0\end{cases}$
解不等式$a-8≥0$得$a≥8$，解不等式$8-a≥0$得$a≤8$，因此$a=8$。
将$a=8$代入$b=\sqrt{a-8}-\sqrt{8-a}+25$，得：
$b=\sqrt{0}-\sqrt{0}+25=25$
将$a=8$、$b=25$代入$\sqrt[3]{a}+\sqrt{b}$得：
$\sqrt[3]{8}+\sqrt{25}=2+5=7$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件、立方根运算、算术平方根运算
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，解题核心是挖掘二次根式中被开方数非负的隐含条件，先确定未知数的取值再代入计算，整体解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
4. 如果$ab＞0,a+b＜0$，那么下列各式：①$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$，②$\sqrt{\dfrac{a}{b}}·\sqrt{\dfrac{b}{a}}=1$，③$\sqrt{ab}÷\sqrt{\dfrac{a}{b}}=-b$，其中正确的是 （
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
B
）A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
答案
4.B
解析
【分析】首先根据已知条件$ab＞0$、$a+b＜0$判断$a$、$b$的符号：两数相乘为正说明同号，两数相加为负说明均为负数，即$a＜0$，$b＜0$。再结合二次根式有意义的条件（被开方数非负）和二次根式的运算性质，逐一判断三个式子的正误即可。
【解析】
第一步：确定$a$、$b$的符号
$\because ab＞0$，$\therefore a$、$b$同号，
又$\because a+b＜0$，$\therefore a＜0$，$b＜0$。
第二步：逐一判断各式正误
①$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$：
二次根式$\sqrt{x}$有意义的前提是$x≥0$，此处$a＜0$、$b＜0$，$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$的被开方数为负，无意义，故①错误。
②$\sqrt{\dfrac{a}{b}}·\sqrt{\dfrac{b}{a}}=1$：
$\because a$、$b$同号，$\therefore \dfrac{a}{b}＞0$，$\dfrac{b}{a}＞0$，两个根式均有意义，
根据二次根式乘法法则：$\sqrt{m}·\sqrt{n}=\sqrt{m·n}$（$m≥0$，$n≥0$），
$\therefore$原式$=\sqrt{\dfrac{a}{b}·\dfrac{b}{a}}=\sqrt{1}=1$，故②正确。
③$\sqrt{ab}÷\sqrt{\dfrac{a}{b}}=-b$：
$\because a＜0$，$b＜0$，$\therefore ab＞0$，$\dfrac{a}{b}＞0$，两个根式均有意义，
根据二次根式除法法则：$\sqrt{m}÷\sqrt{n}=\sqrt{m÷ n}$（$m≥0$，$n＞0$），
$\therefore$原式$=\sqrt{ab÷\dfrac{a}{b}}=\sqrt{ab·\dfrac{b}{a}}=\sqrt{b^2}$，
又$\because \sqrt{x^2}=|x|$，且$b＜0$，$\therefore \sqrt{b^2}=|b|=-b$，故③正确。
综上，②③正确。
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的乘除运算；二次根式的性质
【点评】本题考查二次根式的相关性质和运算，解题关键是先根据已知条件确定字母的符号，再结合二次根式的性质判断运算是否成立，注意不要忽略被开方数非负的限制条件。
【难度系数】0.7
【解析】
第一步：确定$a$、$b$的符号
$\because ab＞0$，$\therefore a$、$b$同号，
又$\because a+b＜0$，$\therefore a＜0$，$b＜0$。
第二步：逐一判断各式正误
①$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$：
二次根式$\sqrt{x}$有意义的前提是$x≥0$，此处$a＜0$、$b＜0$，$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$的被开方数为负，无意义，故①错误。
②$\sqrt{\dfrac{a}{b}}·\sqrt{\dfrac{b}{a}}=1$：
$\because a$、$b$同号，$\therefore \dfrac{a}{b}＞0$，$\dfrac{b}{a}＞0$，两个根式均有意义，
根据二次根式乘法法则：$\sqrt{m}·\sqrt{n}=\sqrt{m·n}$（$m≥0$，$n≥0$），
$\therefore$原式$=\sqrt{\dfrac{a}{b}·\dfrac{b}{a}}=\sqrt{1}=1$，故②正确。
③$\sqrt{ab}÷\sqrt{\dfrac{a}{b}}=-b$：
$\because a＜0$，$b＜0$，$\therefore ab＞0$，$\dfrac{a}{b}＞0$，两个根式均有意义，
根据二次根式除法法则：$\sqrt{m}÷\sqrt{n}=\sqrt{m÷ n}$（$m≥0$，$n＞0$），
$\therefore$原式$=\sqrt{ab÷\dfrac{a}{b}}=\sqrt{ab·\dfrac{b}{a}}=\sqrt{b^2}$，
又$\because \sqrt{x^2}=|x|$，且$b＜0$，$\therefore \sqrt{b^2}=|b|=-b$，故③正确。
综上，②③正确。
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的乘除运算；二次根式的性质
【点评】本题考查二次根式的相关性质和运算，解题关键是先根据已知条件确定字母的符号，再结合二次根式的性质判断运算是否成立，注意不要忽略被开方数非负的限制条件。
【难度系数】0.7
5. 用三张边长不同的正方形纸片甲、乙、丙和一张面积为$2\sqrt{2}$的矩形纸片丁拼成一个大矩形，如图所示.已知一张丙纸片的面积为2，则一张甲纸片的边长为
（
A.$2\sqrt{2}$
B.$2+2\sqrt{2}$
C.$3$
D.$4+2\sqrt{2}$
（
B
）A.$2\sqrt{2}$
B.$2+2\sqrt{2}$
C.$3$
D.$4+2\sqrt{2}$
答案
5.B
解析
【分析】
解题时先从已知面积的正方形丙入手，先计算出丙的边长；再结合矩形丁的面积，算出丁的另一条边长；接着观察图形得出正方形乙的边长和丁、丙边长的关系，算出乙的边长；最后根据甲的边长与乙、丁边长的等量关系，即可求出甲的边长。
【解析】
1. 求丙的边长：
已知丙是正方形，面积为2，设丙的边长为$c$，根据正方形面积公式$S=\mathrm{边长}^2$，可得$c^2=2$，因为边长为正数，所以$c=\sqrt{2}$。
2. 求丁的另一条边长：
观察图形可知，丁的一条边与丙的边长相等，长度为$\sqrt{2}$，已知丁的面积为$2\sqrt{2}$，设丁的另一条边长为$m$，根据矩形面积公式$S=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得$\sqrt{2}· m=2\sqrt{2}$，解得$m=2$。
3. 求乙的边长：
观察图形可知，正方形乙的边长等于丁的长$m$与丙的边长$c$之和，即乙的边长$b=m+c=2+\sqrt{2}$。
4. 求甲的边长：
观察图形可知，正方形甲的边长等于乙的边长$b$与丁的短边$c$之和，即甲的边长$a=b+c=(2+\sqrt{2})+\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}$。
由分析可知，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，矩形面积计算，二次根式运算
【点评】
本题属于几何图形拼接类的计算题，解题核心是准确观察拼接图形的边长关系，结合正方形、矩形的面积公式逐步推导计算，能锻炼学生的图形观察能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.65
解题时先从已知面积的正方形丙入手，先计算出丙的边长；再结合矩形丁的面积，算出丁的另一条边长；接着观察图形得出正方形乙的边长和丁、丙边长的关系，算出乙的边长；最后根据甲的边长与乙、丁边长的等量关系，即可求出甲的边长。
【解析】
1. 求丙的边长：
已知丙是正方形，面积为2，设丙的边长为$c$，根据正方形面积公式$S=\mathrm{边长}^2$，可得$c^2=2$，因为边长为正数，所以$c=\sqrt{2}$。
2. 求丁的另一条边长：
观察图形可知，丁的一条边与丙的边长相等，长度为$\sqrt{2}$，已知丁的面积为$2\sqrt{2}$，设丁的另一条边长为$m$，根据矩形面积公式$S=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得$\sqrt{2}· m=2\sqrt{2}$，解得$m=2$。
3. 求乙的边长：
观察图形可知，正方形乙的边长等于丁的长$m$与丙的边长$c$之和，即乙的边长$b=m+c=2+\sqrt{2}$。
4. 求甲的边长：
观察图形可知，正方形甲的边长等于乙的边长$b$与丁的短边$c$之和，即甲的边长$a=b+c=(2+\sqrt{2})+\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}$。
由分析可知，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质，矩形面积计算，二次根式运算
【点评】
本题属于几何图形拼接类的计算题，解题核心是准确观察拼接图形的边长关系，结合正方形、矩形的面积公式逐步推导计算，能锻炼学生的图形观察能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.65
6. 已知$ a = \sqrt{7} + 2, b = \frac{3}{\sqrt{7} - 2} $，则$ a $与$ b $的关系为（
A.$ ab = 1 $
B.$ ab = -1 $
C.$ a = b $
D.$ a = -b $
C
）A.$ ab = 1 $
B.$ ab = -1 $
C.$ a = b $
D.$ a = -b $
答案
6.C
解析
【分析】
要判断a和b的关系，观察发现b的表达式分母含有二次根式，我们可以先对b进行分母有理化化简，再将化简结果和a的表达式对比即可得到二者关系。解题时首先找到分母$\sqrt{7}-2$的有理化因式$\sqrt{7}+2$，给b的分子分母同时乘这个有理化因式，利用平方差公式消去分母的根号，再化简计算即可。
【解析】
对b进行分母有理化：
$\begin{aligned}b&=\frac{3}{\sqrt{7}-2}\\&=\frac{3×(\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)}\end{aligned}$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，计算分母得：
$(\sqrt{7})^2-2^2=7-4=3$
因此：
$\begin{aligned}b&=\frac{3(\sqrt{7}+2)}{3}\\&=\sqrt{7}+2\end{aligned}$
已知$a=\sqrt{7}+2$，可得$a=b$。
【答案】
C
【知识点】
分母有理化；平方差公式；二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式相关的基础题型，解题核心是熟练掌握分母有理化的操作方法，将含根号的分母转化为有理数后，即可快速对比两个式子的关系，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
要判断a和b的关系，观察发现b的表达式分母含有二次根式，我们可以先对b进行分母有理化化简，再将化简结果和a的表达式对比即可得到二者关系。解题时首先找到分母$\sqrt{7}-2$的有理化因式$\sqrt{7}+2$，给b的分子分母同时乘这个有理化因式，利用平方差公式消去分母的根号，再化简计算即可。
【解析】
对b进行分母有理化：
$\begin{aligned}b&=\frac{3}{\sqrt{7}-2}\\&=\frac{3×(\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)}\end{aligned}$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，计算分母得：
$(\sqrt{7})^2-2^2=7-4=3$
因此：
$\begin{aligned}b&=\frac{3(\sqrt{7}+2)}{3}\\&=\sqrt{7}+2\end{aligned}$
已知$a=\sqrt{7}+2$，可得$a=b$。
【答案】
C
【知识点】
分母有理化；平方差公式；二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式相关的基础题型，解题核心是熟练掌握分母有理化的操作方法，将含根号的分母转化为有理数后，即可快速对比两个式子的关系，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
7. 已知$\sqrt{x+1}$为最简二次根式，且能够与$\sqrt{12}$合并，则$x$的值是________.
答案
7.2
解析
【分析】
解题需先明确两个核心知识点：一是能合并的二次根式是同类二次根式，即化成最简二次根式后被开方数相同；二是最简二次根式的被开方数不含能开得尽方的因数。解题思路为：首先将$\sqrt{12}$化为最简二次根式，再结合$\sqrt{x+1}$是最简二次根式的条件，让两者的被开方数相等，列方程即可求出x的值。
【解析】
1. 化简$\sqrt{12}$：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
2. 分析同类二次根式的性质：
因为$\sqrt{x+1}$是最简二次根式，且能和$\sqrt{12}$合并，说明二者是同类二次根式，最简状态下被开方数相同，因此可得等式：
$x+1=3$
3. 解方程：
$x=3-1=2$
【答案】
2
【知识点】
最简二次根式；同类二次根式；二次根式化简
【点评】
本题主要考查二次根式相关概念的应用，解题关键是先将非最简的二次根式化为最简形式，再结合同类二次根式的性质列等式计算，注意不要忽略题干给出的“最简二次根式”的限制条件，避免出现误算$x+1=12$的错误。
【难度系数】
0.7
解题需先明确两个核心知识点：一是能合并的二次根式是同类二次根式，即化成最简二次根式后被开方数相同；二是最简二次根式的被开方数不含能开得尽方的因数。解题思路为：首先将$\sqrt{12}$化为最简二次根式，再结合$\sqrt{x+1}$是最简二次根式的条件，让两者的被开方数相等，列方程即可求出x的值。
【解析】
1. 化简$\sqrt{12}$：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
2. 分析同类二次根式的性质：
因为$\sqrt{x+1}$是最简二次根式，且能和$\sqrt{12}$合并，说明二者是同类二次根式，最简状态下被开方数相同，因此可得等式：
$x+1=3$
3. 解方程：
$x=3-1=2$
【答案】
2
【知识点】
最简二次根式；同类二次根式；二次根式化简
【点评】
本题主要考查二次根式相关概念的应用，解题关键是先将非最简的二次根式化为最简形式，再结合同类二次根式的性质列等式计算，注意不要忽略题干给出的“最简二次根式”的限制条件，避免出现误算$x+1=12$的错误。
【难度系数】
0.7
8. 已知点 $ P(x,y) $ 在第二象限,化简:$ \sqrt{x^2 y} = \_\_\_\_\_\_ $.
答案
8.$-x\sqrt{y}$
解析
【分析】
解题时先明确两个核心依据：一是第二象限内点的坐标符号特征，横坐标为负、纵坐标为正；二是二次根式的化简规则，$\sqrt{a^2}=|a|$，且被开方数必须非负。我们先根据点P所在象限确定$x$、$y$的正负性，再拆分二次根式，结合绝对值的化简规则去掉绝对值符号，即可得到化简结果。
【解析】
$\because$ 点$P(x,y)$在第二象限，
$\therefore x＜0$，$y＞0$，
根据二次根式的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}（a≥0,b≥0）$、$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{x^2 y}=\sqrt{x^2}·\sqrt{y}=|x|·\sqrt{y}$，
又$\because x＜0$，$\therefore |x|=-x$，
代入得原式$=-x\sqrt{y}$。
【答案】
$-x\sqrt{y}$
【知识点】
1. 象限点的坐标特征
2. 二次根式的性质
3. 绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式与平面直角坐标系结合的基础题，易错点是忽略$x$的正负性，直接将$\sqrt{x^2}$化简为$x$导致符号错误，解题时要注意二次根式的化简结果必须为非负数。
【难度系数】
0.7
解题时先明确两个核心依据：一是第二象限内点的坐标符号特征，横坐标为负、纵坐标为正；二是二次根式的化简规则，$\sqrt{a^2}=|a|$，且被开方数必须非负。我们先根据点P所在象限确定$x$、$y$的正负性，再拆分二次根式，结合绝对值的化简规则去掉绝对值符号，即可得到化简结果。
【解析】
$\because$ 点$P(x,y)$在第二象限，
$\therefore x＜0$，$y＞0$，
根据二次根式的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}（a≥0,b≥0）$、$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{x^2 y}=\sqrt{x^2}·\sqrt{y}=|x|·\sqrt{y}$，
又$\because x＜0$，$\therefore |x|=-x$，
代入得原式$=-x\sqrt{y}$。
【答案】
$-x\sqrt{y}$
【知识点】
1. 象限点的坐标特征
2. 二次根式的性质
3. 绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式与平面直角坐标系结合的基础题，易错点是忽略$x$的正负性，直接将$\sqrt{x^2}$化简为$x$导致符号错误，解题时要注意二次根式的化简结果必须为非负数。
【难度系数】
0.7
9. 当$x=\sqrt{3}$时，二次根式$\sqrt{x^2 - 4x + 4}$的值为________.
答案
9.$2-\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先观察二次根式的被开方数，是一个二次三项式，可先利用完全平方公式将其因式分解，再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$将原式化简为绝对值形式，最后代入$x$的值，判断绝对值内式子的正负，去绝对值后即可求出结果。
【解析】
先对二次根式进行化简：
$\sqrt{x^2 - 4x + 4} = \sqrt{(x-2)^2} = |x-2|$
将$x=\sqrt{3}$代入，因为$\sqrt{3}\approx1.732＜2$，所以$x-2＜0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，可得：
$|x-2|=2 - x = 2 - \sqrt{3}$
【答案】
$2-\sqrt{3}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 二次根式的性质
3. 绝对值的化简
【点评】
本题属于二次根式化简求值的基础题型，易错点是化简二次根式时忽略算术平方根的非负性，直接将$\sqrt{(x-2)^2}$化简为$x-2$导致符号错误，解题时需先判断绝对值内代数式的正负，再正确去绝对值计算。
【难度系数】
0.7
解题时先观察二次根式的被开方数，是一个二次三项式，可先利用完全平方公式将其因式分解，再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$将原式化简为绝对值形式，最后代入$x$的值，判断绝对值内式子的正负，去绝对值后即可求出结果。
【解析】
先对二次根式进行化简：
$\sqrt{x^2 - 4x + 4} = \sqrt{(x-2)^2} = |x-2|$
将$x=\sqrt{3}$代入，因为$\sqrt{3}\approx1.732＜2$，所以$x-2＜0$，根据负数的绝对值等于它的相反数，可得：
$|x-2|=2 - x = 2 - \sqrt{3}$
【答案】
$2-\sqrt{3}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 二次根式的性质
3. 绝对值的化简
【点评】
本题属于二次根式化简求值的基础题型，易错点是化简二次根式时忽略算术平方根的非负性，直接将$\sqrt{(x-2)^2}$化简为$x-2$导致符号错误，解题时需先判断绝对值内代数式的正负，再正确去绝对值计算。
【难度系数】
0.7
10. 比较大小：$2 - \sqrt{3}$ ______（选填“＞”“＜”或“=”）$\dfrac{1}{2 + \sqrt{3}}$.
答案
10.=
解析
【分析】
要比较两个含二次根式的式子的大小，观察到右侧是分母带二次根式的分式，我们可以先对右侧式子做分母有理化处理：利用平方差公式，给分式的分子、分母同时乘分母的有理化因式$2-\sqrt{3}$，消去分母中的根号，再把化简后的结果和左侧的式子对比，就能得出大小关系。
【解析】
对$\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}$进行分母有理化：
给分子、分母同时乘$2-\sqrt{3}$，可得：
$\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{1×(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，计算分母：
$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$
因此$\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{1}=2-\sqrt{3}$，和左侧的式子相等。
【答案】
=
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式比较大小的基础题型，解题核心是掌握分母有理化的操作方法，通过化简将含根号的分式转化为最简形式后再比较，比直接计算近似值的方法更便捷准确。
【难度系数】
0.8
要比较两个含二次根式的式子的大小，观察到右侧是分母带二次根式的分式，我们可以先对右侧式子做分母有理化处理：利用平方差公式，给分式的分子、分母同时乘分母的有理化因式$2-\sqrt{3}$，消去分母中的根号，再把化简后的结果和左侧的式子对比，就能得出大小关系。
【解析】
对$\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}$进行分母有理化：
给分子、分母同时乘$2-\sqrt{3}$，可得：
$\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{1×(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，计算分母：
$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$
因此$\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{1}=2-\sqrt{3}$，和左侧的式子相等。
【答案】
=
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式比较大小的基础题型，解题核心是掌握分母有理化的操作方法，通过化简将含根号的分式转化为最简形式后再比较，比直接计算近似值的方法更便捷准确。
【难度系数】
0.8
