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1. 下列四组数中,是勾股数的是 (
A.2.5,6,5
B.3,4,6
C.5,12,13
D.1,2,$\sqrt{5}$
C
)A.2.5,6,5
B.3,4,6
C.5,12,13
D.1,2,$\sqrt{5}$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断四组数中哪组是勾股数，首先明确勾股数的两个核心判定条件：①三个数都必须是正整数；②满足较小两个数的平方和等于最大数的平方。解题时可以先筛除包含非正整数的选项，再对剩余选项验证平方和关系，即可快速得出答案。
【解析】
勾股数的定义为：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数，称为勾股数。我们逐个分析选项：
A. 2.5是小数，不属于正整数，不符合勾股数的要求，排除；
B. 计算得$3^2+4^2=9+16=25$，$6^2=36$，$25≠36$，不满足平方和关系，排除；
C. 5、12、13都是正整数，且$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，符合勾股数的定义，当选；
D. $\sqrt{5}$是无理数，不属于正整数，不符合勾股数的要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
勾股数的定义、勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题时要注意勾股数的两个判定条件缺一不可，切勿忽略“正整数”这个前提，只验证平方和关系导致错选。
【难度系数】
0.8
要判断四组数中哪组是勾股数，首先明确勾股数的两个核心判定条件：①三个数都必须是正整数；②满足较小两个数的平方和等于最大数的平方。解题时可以先筛除包含非正整数的选项，再对剩余选项验证平方和关系，即可快速得出答案。
【解析】
勾股数的定义为：满足$a^2+b^2=c^2$的三个正整数，称为勾股数。我们逐个分析选项：
A. 2.5是小数，不属于正整数，不符合勾股数的要求，排除；
B. 计算得$3^2+4^2=9+16=25$，$6^2=36$，$25≠36$，不满足平方和关系，排除；
C. 5、12、13都是正整数，且$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，符合勾股数的定义，当选；
D. $\sqrt{5}$是无理数，不属于正整数，不符合勾股数的要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
勾股数的定义、勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题时要注意勾股数的两个判定条件缺一不可，切勿忽略“正整数”这个前提，只验证平方和关系导致错选。
【难度系数】
0.8
2. 若直角三角形的周长为24，斜边长为10，则该直角三角形的面积为 （
A.12
B.24
C.36
D.48
B
）A.12
B.24
C.36
D.48
答案
2.B
解析
【分析】
我们可以先设直角三角形的两条直角边长度分别为a、b，解题思路如下：第一步，根据周长和斜边长先求出两条直角边的和；第二步，结合勾股定理得到两条直角边的平方和；第三步，直角三角形的面积是两条直角边乘积的一半，因此我们不需要单独求出a、b的具体值，利用完全平方公式将两直角边的和、平方和结合，就能整体求出两直角边的乘积，进而算出面积。
【解析】
设该直角三角形的两条直角边长分别为$a$、$b$。
1. 根据周长条件列等式：
已知直角三角形周长为24，斜边长为10，因此$a + b + 10 = 24$，化简得$a + b = 14$。
2. 根据勾股定理列等式：
直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，因此$a^2 + b^2 = 10^2 = 100$。
3. 利用完全平方公式计算$ab$的值：
对$a + b =14$两边同时平方，可得$(a + b)^2 = 14^2$，展开完全平方得$a^2 + 2ab + b^2 = 196$。
将$a^2 + b^2 =100$代入上式，得$100 + 2ab = 196$，解得$2ab = 96$，即$ab = 48$。
4. 计算直角三角形面积：
直角三角形面积$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 48 = 24$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，直角三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，解题时无需单独求解两条直角边的长度，通过整体代换的方法计算两直角边的乘积，可有效简化运算步骤，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.7
我们可以先设直角三角形的两条直角边长度分别为a、b，解题思路如下：第一步，根据周长和斜边长先求出两条直角边的和；第二步，结合勾股定理得到两条直角边的平方和；第三步，直角三角形的面积是两条直角边乘积的一半，因此我们不需要单独求出a、b的具体值，利用完全平方公式将两直角边的和、平方和结合，就能整体求出两直角边的乘积，进而算出面积。
【解析】
设该直角三角形的两条直角边长分别为$a$、$b$。
1. 根据周长条件列等式：
已知直角三角形周长为24，斜边长为10，因此$a + b + 10 = 24$，化简得$a + b = 14$。
2. 根据勾股定理列等式：
直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，因此$a^2 + b^2 = 10^2 = 100$。
3. 利用完全平方公式计算$ab$的值：
对$a + b =14$两边同时平方，可得$(a + b)^2 = 14^2$，展开完全平方得$a^2 + 2ab + b^2 = 196$。
将$a^2 + b^2 =100$代入上式，得$100 + 2ab = 196$，解得$2ab = 96$，即$ab = 48$。
4. 计算直角三角形面积：
直角三角形面积$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 48 = 24$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，直角三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，解题时无需单独求解两条直角边的长度，通过整体代换的方法计算两直角边的乘积，可有效简化运算步骤，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在每个小正方形的边长均为1的$4×4$网格中,将连接任意两个格点的线段称作“格点线”,则“格点线”的长度不可能等于 (
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{7}$
D.$2\sqrt{2}$
C
)A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{7}$
D.$2\sqrt{2}$
答案
3.C
解析
【分析】
要判断格点线的长度不可能是哪个选项，首先根据勾股定理可知：两个格点的横向距离为a、纵向距离为b（a、b均为0~4的整数）时，格点线长度为$\sqrt{a^2+b^2}$，因此只需判断各选项的被开方数是否能表示为两个非负整数的平方和即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $\sqrt{2}$的被开方数为2，$2=1^2+1^2$，可取$a=1、b=1$，能画出长度为$\sqrt{2}$的格点线，不符合题意；
B. $\sqrt{5}$的被开方数为5，$5=1^2+2^2$，可取$a=1、b=2$，能画出长度为$\sqrt{5}$的格点线，不符合题意；
C. $\sqrt{7}$的被开方数为7，尝试拆分：$0^2+7$中7不是平方数，$1^2+6$中6不是平方数，$2^2+3$中3不是平方数，$3^2=9＞7$，无法拆成两个整数的平方和，因此不存在长度为$\sqrt{7}$的格点线，符合题意；
D. $2\sqrt{2}=\sqrt{8}$，被开方数为8，$8=2^2+2^2$，可取$a=2、b=2$，能画出长度为$2\sqrt{2}$的格点线，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，二次根式化简
【点评】
本题是勾股定理在格点问题中的典型应用，解题核心是将线段长度的判断转化为对平方和的拆分验证，解题思路清晰，掌握方法后可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
要判断格点线的长度不可能是哪个选项，首先根据勾股定理可知：两个格点的横向距离为a、纵向距离为b（a、b均为0~4的整数）时，格点线长度为$\sqrt{a^2+b^2}$，因此只需判断各选项的被开方数是否能表示为两个非负整数的平方和即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $\sqrt{2}$的被开方数为2，$2=1^2+1^2$，可取$a=1、b=1$，能画出长度为$\sqrt{2}$的格点线，不符合题意；
B. $\sqrt{5}$的被开方数为5，$5=1^2+2^2$，可取$a=1、b=2$，能画出长度为$\sqrt{5}$的格点线，不符合题意；
C. $\sqrt{7}$的被开方数为7，尝试拆分：$0^2+7$中7不是平方数，$1^2+6$中6不是平方数，$2^2+3$中3不是平方数，$3^2=9＞7$，无法拆成两个整数的平方和，因此不存在长度为$\sqrt{7}$的格点线，符合题意；
D. $2\sqrt{2}=\sqrt{8}$，被开方数为8，$8=2^2+2^2$，可取$a=2、b=2$，能画出长度为$2\sqrt{2}$的格点线，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，二次根式化简
【点评】
本题是勾股定理在格点问题中的典型应用，解题核心是将线段长度的判断转化为对平方和的拆分验证，解题思路清晰，掌握方法后可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在$5×5$的正方形网格中,从在格点(网格线的交点)上的$A,B,C,D$中任取三点,所构成的直角三角形的个数是________.
答案
4.3
解析
【分析】
首先，从A、B、C、D四点中任取三点，共有4种不同的组合，分别是△ABC、△ABD、△ACD、△BCD。我们可以设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别计算每个三角形三边长度的平方，再根据勾股定理的逆定理，判断是否存在两边的平方和等于第三边的平方，若存在则该三角形为直角三角形，最后统计符合条件的个数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，列举所有三点组合构成的三角形，逐一判断：
1. 对于$△ ABC$：
计算各边平方：$AB^2=1^2+2^2=5$，$AC^2=4^2+2^2=20$，$BC^2=5^2=25$
因为$5+20=25$，即$AB^2+AC^2=BC^2$，满足勾股定理逆定理，所以$△ ABC$是直角三角形。
2. 对于$△ ABD$：
计算各边平方：$AB^2=5$，$BD^2=2^2+1^2=5$，$AD^2=1^2+3^2=10$
因为$5+5=10$，即$AB^2+BD^2=AD^2$，满足勾股定理逆定理，所以$△ ABD$是直角三角形。
3. 对于$△ ACD$：
计算各边平方：$AC^2=20$，$CD^2=3^2+1^2=10$，$AD^2=10$
因为$10+10=20$，即$AD^2+CD^2=AC^2$，满足勾股定理逆定理，所以$△ ACD$是直角三角形。
4. 对于$△ BCD$：
计算各边平方：$BC^2=25$，$BD^2=5$，$CD^2=10$
因为$5+10≠25$，不满足勾股定理逆定理，所以$△ BCD$不是直角三角形。
综上，符合条件的直角三角形共有3个。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，分类讨论
【点评】
本题考查网格中直角三角形的判定，解题的关键是先列举出所有三点组合，再结合勾股定理和逆定理逐一判断，解题时要注意准确计算各边长度的平方，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
首先，从A、B、C、D四点中任取三点，共有4种不同的组合，分别是△ABC、△ABD、△ACD、△BCD。我们可以设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别计算每个三角形三边长度的平方，再根据勾股定理的逆定理，判断是否存在两边的平方和等于第三边的平方，若存在则该三角形为直角三角形，最后统计符合条件的个数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，列举所有三点组合构成的三角形，逐一判断：
1. 对于$△ ABC$：
计算各边平方：$AB^2=1^2+2^2=5$，$AC^2=4^2+2^2=20$，$BC^2=5^2=25$
因为$5+20=25$，即$AB^2+AC^2=BC^2$，满足勾股定理逆定理，所以$△ ABC$是直角三角形。
2. 对于$△ ABD$：
计算各边平方：$AB^2=5$，$BD^2=2^2+1^2=5$，$AD^2=1^2+3^2=10$
因为$5+5=10$，即$AB^2+BD^2=AD^2$，满足勾股定理逆定理，所以$△ ABD$是直角三角形。
3. 对于$△ ACD$：
计算各边平方：$AC^2=20$，$CD^2=3^2+1^2=10$，$AD^2=10$
因为$10+10=20$，即$AD^2+CD^2=AC^2$，满足勾股定理逆定理，所以$△ ACD$是直角三角形。
4. 对于$△ BCD$：
计算各边平方：$BC^2=25$，$BD^2=5$，$CD^2=10$
因为$5+10≠25$，不满足勾股定理逆定理，所以$△ BCD$不是直角三角形。
综上，符合条件的直角三角形共有3个。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，分类讨论
【点评】
本题考查网格中直角三角形的判定，解题的关键是先列举出所有三点组合，再结合勾股定理和逆定理逐一判断，解题时要注意准确计算各边长度的平方，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
5. 如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），两个圆孔中心A和B的距离为
150
mm.答案
5.150
解析
【分析】
要求两个圆孔中心A和B的距离，可通过构造直角三角形求解：首先从图中标注的尺寸里，分别算出A、B在水平方向的距离差和竖直方向的距离差，这两个差值就是直角三角形的两条直角边长度，再用勾股定理计算斜边长度，即为A、B的距离。
【解析】
第一步：计算水平方向上A、B的距离差：
$180 - 60 = 120\ \mathrm{mm}$
第二步：计算竖直方向上A、B的距离差：
$150 - 60 = 90\ \mathrm{mm}$
第三步：根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和，因此A、B的距离为：
$AB=\sqrt{120^2 + 90^2}=\sqrt{14400 + 8100}=\sqrt{22500}=150\ \mathrm{mm}$
【答案】
150
【知识点】
勾股定理的应用
【点评】
本题结合实际零件示意图考查勾股定理的实际运用，解题的关键是正确从图形中提取两个垂直方向的长度差，构造直角三角形完成计算。
【难度系数】
0.7
要求两个圆孔中心A和B的距离，可通过构造直角三角形求解：首先从图中标注的尺寸里，分别算出A、B在水平方向的距离差和竖直方向的距离差，这两个差值就是直角三角形的两条直角边长度，再用勾股定理计算斜边长度，即为A、B的距离。
【解析】
第一步：计算水平方向上A、B的距离差：
$180 - 60 = 120\ \mathrm{mm}$
第二步：计算竖直方向上A、B的距离差：
$150 - 60 = 90\ \mathrm{mm}$
第三步：根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和，因此A、B的距离为：
$AB=\sqrt{120^2 + 90^2}=\sqrt{14400 + 8100}=\sqrt{22500}=150\ \mathrm{mm}$
【答案】
150
【知识点】
勾股定理的应用
【点评】
本题结合实际零件示意图考查勾股定理的实际运用，解题的关键是正确从图形中提取两个垂直方向的长度差，构造直角三角形完成计算。
【难度系数】
0.7
6. 如图，长方体的底面是边长为 2 cm 的正方形，高是 6 cm. 如果用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用的细线的最短长度是________cm.
答案
6.10
解析
【分析】
求解立体图形表面的最短路径问题，首先要将立体图形的侧面展开为平面图形，依据“两点之间，线段最短”，最短路径就是展开后两点连线的长度，再结合勾股定理计算即可。本题中细线缠绕4个侧面一圈，需将4个侧面全部展开，先确定展开后对应直角三角形的两条直角边长度，再求斜边长度就是细线最短长度。
【解析】
将长方体的4个侧面沿AB所在的棱展开，得到一个长方形：
1. 计算展开后长方形的长：底面是边长为2cm的正方形，绕4个侧面一圈，长为 $4×2=8\ \mathrm{cm}$；
2. 展开后长方形的宽等于长方体的高，为 $6\ \mathrm{cm}$；
3. 展开后点A、B为长方形的对角顶点，根据勾股定理，AB的长度为 $\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$。
因此所用细线的最短长度是10cm。
【答案】
10
【知识点】
立体图形侧面展开，两点之间线段最短，勾股定理
【点评】
本题是勾股定理在实际路径问题中的典型应用，解题关键是将立体表面的路径问题转化为平面内的线段长度问题，计算时要准确对应展开后各边的长度，避免因边长计算错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
求解立体图形表面的最短路径问题，首先要将立体图形的侧面展开为平面图形，依据“两点之间，线段最短”，最短路径就是展开后两点连线的长度，再结合勾股定理计算即可。本题中细线缠绕4个侧面一圈，需将4个侧面全部展开，先确定展开后对应直角三角形的两条直角边长度，再求斜边长度就是细线最短长度。
【解析】
将长方体的4个侧面沿AB所在的棱展开，得到一个长方形：
1. 计算展开后长方形的长：底面是边长为2cm的正方形，绕4个侧面一圈，长为 $4×2=8\ \mathrm{cm}$；
2. 展开后长方形的宽等于长方体的高，为 $6\ \mathrm{cm}$；
3. 展开后点A、B为长方形的对角顶点，根据勾股定理，AB的长度为 $\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$。
因此所用细线的最短长度是10cm。
【答案】
10
【知识点】
立体图形侧面展开，两点之间线段最短，勾股定理
【点评】
本题是勾股定理在实际路径问题中的典型应用，解题关键是将立体表面的路径问题转化为平面内的线段长度问题，计算时要准确对应展开后各边的长度，避免因边长计算错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
7. 是否存在一组勾股数，能构成含有 $ 45° $ 角的直角三角形？若存在，举出一例；若不存在，请说明理由。
答案
7.解:不存在任何一组勾股数能构成含有45°角的直角三角形.
理由:设45°角所对的直角边长为a,则另外一条直角边长为a,斜边长为$\sqrt{2}a$.
∵$\sqrt{2}$是无理数,
∴当a为正整数时,$\sqrt{2}a$是无理数,$a,a,\sqrt{2}a$不是勾股数,
∴不存在任何一组勾股数能构成含有45°角的直角三角形.
理由:设45°角所对的直角边长为a,则另外一条直角边长为a,斜边长为$\sqrt{2}a$.
∵$\sqrt{2}$是无理数,
∴当a为正整数时,$\sqrt{2}a$是无理数,$a,a,\sqrt{2}a$不是勾股数,
∴不存在任何一组勾股数能构成含有45°角的直角三角形.
解析
【分析】
解答本题需先明确两个核心要点：一是含45°角的直角三角形是等腰直角三角形，两条直角边长度相等，三边满足1:1:$\sqrt{2}$的比例关系；二是勾股数是指能构成直角三角形三边的三个正整数。我们可以先假设存在符合条件的勾股数，设等腰直角三角形的直角边长为正整数a，推导斜边的属性，判断是否符合勾股数的要求即可得出结论。
【解析】
不存在任何一组勾股数能构成含有45°角的直角三角形，理由如下：
设45°角所对的直角边长为a，因为该三角形是等腰直角三角形，所以另一条直角边长也为a，根据勾股定理可得斜边长为$\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$。
由于$\sqrt{2}$是无理数，因此当a为正整数时，$\sqrt{2}a$也是无理数，不符合勾股数必须为正整数的要求，因此$a、a、\sqrt{2}a$不是勾股数。
综上，不存在能构成含有45°角的直角三角形的勾股数。
【答案】
不存在。理由：设45°角所对的直角边长为a，则另外一条直角边长为a，斜边长为$\sqrt{2}a$，
∵$\sqrt{2}$是无理数，
∴当a为正整数时，$\sqrt{2}a$是无理数，$a,a,\sqrt{2}a$不是勾股数，故不存在符合条件的勾股数。
【知识点】
勾股数的定义；等腰直角三角形的性质；无理数的概念
【点评】
本题属于基础概念辨析题，将特殊直角三角形的性质与勾股数的概念结合考查，解题的关键是抓住勾股数必须为正整数这一隐含限制，避免忽略该条件导致判断错误。
【难度系数】
0.7
解答本题需先明确两个核心要点：一是含45°角的直角三角形是等腰直角三角形，两条直角边长度相等，三边满足1:1:$\sqrt{2}$的比例关系；二是勾股数是指能构成直角三角形三边的三个正整数。我们可以先假设存在符合条件的勾股数，设等腰直角三角形的直角边长为正整数a，推导斜边的属性，判断是否符合勾股数的要求即可得出结论。
【解析】
不存在任何一组勾股数能构成含有45°角的直角三角形，理由如下：
设45°角所对的直角边长为a，因为该三角形是等腰直角三角形，所以另一条直角边长也为a，根据勾股定理可得斜边长为$\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$。
由于$\sqrt{2}$是无理数，因此当a为正整数时，$\sqrt{2}a$也是无理数，不符合勾股数必须为正整数的要求，因此$a、a、\sqrt{2}a$不是勾股数。
综上，不存在能构成含有45°角的直角三角形的勾股数。
【答案】
不存在。理由：设45°角所对的直角边长为a，则另外一条直角边长为a，斜边长为$\sqrt{2}a$，
∵$\sqrt{2}$是无理数，
∴当a为正整数时，$\sqrt{2}a$是无理数，$a,a,\sqrt{2}a$不是勾股数，故不存在符合条件的勾股数。
【知识点】
勾股数的定义；等腰直角三角形的性质；无理数的概念
【点评】
本题属于基础概念辨析题，将特殊直角三角形的性质与勾股数的概念结合考查，解题的关键是抓住勾股数必须为正整数这一隐含限制，避免忽略该条件导致判断错误。
【难度系数】
0.7
