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8. 一辆装满货物的卡车高 2.5 m、宽 1.6 m，要进入某工厂，该工厂的厂门形状如图所示. 这辆卡车能否通过厂门？请说明理由.（厂门上方为半圆形状，B 为厂门宽的中点，BC 长为卡车宽的一半，AE 与地面垂直，点 C 在 AE 上）
答案
8.解:这辆卡车能通过厂门.理由:由题意,得BC=0.8 m,AB=1 m,AC⊥BC.在Rt△ABC中,AC²=AB²-BC²,解得AC=0.6 m,
∴AE=AC+CE=2.9 m.
∵2.9＞2.5,
∴这辆卡车能通过厂门.
∴AE=AC+CE=2.9 m.
∵2.9＞2.5,
∴这辆卡车能通过厂门.
解析
【分析】
要判断卡车能否通过厂门，需计算卡车对应宽度位置的厂门总高度，再和卡车高度对比即可。首先卡车宽1.6m，因此只需计算距离厂门中线0.8m位置的厂门高度：厂门下部是高2.3m的矩形，上部是直径为2m的半圆，先利用勾股定理算出该位置半圆部分的竖直高度，再加上下部矩形的高度，最终和卡车高度2.5m比较就能得到结论。
【解析】
解：这辆卡车能通过厂门，理由如下：
由题意得，厂门上部半圆的半径$AB=2÷2=1\ \mathrm{m}$，卡车宽度的一半$BC=1.6÷2=0.8\ \mathrm{m}$，且$AC⊥ BC$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，代入数值可得：
$AC^2=AB^2-BC^2=1^2-0.8^2=0.36$，
解得$AC=0.6\ \mathrm{m}$（长度为正，舍去负根）。
已知下部矩形高度$CE=2.3\ \mathrm{m}$，因此该位置厂门总高度$AE=AC+CE=0.6+2.3=2.9\ \mathrm{m}$。
因为$2.9＞2.5$，即该位置厂门高度大于卡车高度，所以卡车能通过厂门。
【答案】
这辆卡车能通过厂门。
【知识点】
勾股定理；圆的基本性质；几何实际应用
【点评】
本题属于结合生活场景的几何应用题，解题核心是将实际通行问题转化为几何高度计算问题，通过勾股定理求解对应位置的高度即可完成判断，能有效考查学生的数学建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.7
要判断卡车能否通过厂门，需计算卡车对应宽度位置的厂门总高度，再和卡车高度对比即可。首先卡车宽1.6m，因此只需计算距离厂门中线0.8m位置的厂门高度：厂门下部是高2.3m的矩形，上部是直径为2m的半圆，先利用勾股定理算出该位置半圆部分的竖直高度，再加上下部矩形的高度，最终和卡车高度2.5m比较就能得到结论。
【解析】
解：这辆卡车能通过厂门，理由如下：
由题意得，厂门上部半圆的半径$AB=2÷2=1\ \mathrm{m}$，卡车宽度的一半$BC=1.6÷2=0.8\ \mathrm{m}$，且$AC⊥ BC$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，代入数值可得：
$AC^2=AB^2-BC^2=1^2-0.8^2=0.36$，
解得$AC=0.6\ \mathrm{m}$（长度为正，舍去负根）。
已知下部矩形高度$CE=2.3\ \mathrm{m}$，因此该位置厂门总高度$AE=AC+CE=0.6+2.3=2.9\ \mathrm{m}$。
因为$2.9＞2.5$，即该位置厂门高度大于卡车高度，所以卡车能通过厂门。
【答案】
这辆卡车能通过厂门。
【知识点】
勾股定理；圆的基本性质；几何实际应用
【点评】
本题属于结合生活场景的几何应用题，解题核心是将实际通行问题转化为几何高度计算问题，通过勾股定理求解对应位置的高度即可完成判断，能有效考查学生的数学建模能力和计算能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图,一支铅笔放在圆柱体笔筒中,笔筒的内部底面直径是 9 cm,内壁高 12 cm,则这支铅笔的长度可能是 （
A.18 cm
B.15 cm
C.12 cm
D.9 cm
A
）A.18 cm
B.15 cm
C.12 cm
D.9 cm
答案
9.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确铅笔在笔筒中的放置情况：斜向放置时，能完全放入笔筒的铅笔最长长度可通过勾股定理计算，此时刚好构成以底面直径、笔筒高为直角边的直角三角形，斜边就是能完全放入的最大长度。结合题图中铅笔有部分露在笔筒外的特征，可知铅笔实际长度大于这个最大完全放入长度，据此选出符合条件的选项即可。
【解析】
首先计算铅笔能完全放入笔筒的最大长度：
已知笔筒内部底面直径为9cm，内壁高12cm，当铅笔沿圆柱轴截面的对角线斜放时，可完全放入的铅笔长度最长，该长度为直角三角形的斜边长，两直角边分别为底面直径和笔筒高。
根据勾股定理：$l_{\mathrm{max}}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{cm}$
由题图可知铅笔有部分露出笔筒外，说明铅笔长度大于15cm，四个选项中只有18cm满足条件，故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用；圆柱体的特征
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题的关键是先求出可完全放入笔筒的铅笔最大长度，再结合图形中铅笔露出的特征判断长度范围，避免忽略图形条件导致错选。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确铅笔在笔筒中的放置情况：斜向放置时，能完全放入笔筒的铅笔最长长度可通过勾股定理计算，此时刚好构成以底面直径、笔筒高为直角边的直角三角形，斜边就是能完全放入的最大长度。结合题图中铅笔有部分露在笔筒外的特征，可知铅笔实际长度大于这个最大完全放入长度，据此选出符合条件的选项即可。
【解析】
首先计算铅笔能完全放入笔筒的最大长度：
已知笔筒内部底面直径为9cm，内壁高12cm，当铅笔沿圆柱轴截面的对角线斜放时，可完全放入的铅笔长度最长，该长度为直角三角形的斜边长，两直角边分别为底面直径和笔筒高。
根据勾股定理：$l_{\mathrm{max}}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{cm}$
由题图可知铅笔有部分露出笔筒外，说明铅笔长度大于15cm，四个选项中只有18cm满足条件，故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用；圆柱体的特征
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题的关键是先求出可完全放入笔筒的铅笔最大长度，再结合图形中铅笔露出的特征判断长度范围，避免忽略图形条件导致错选。
【难度系数】
0.7
10. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为81，小正方形面积为16.若用$ x,y $表示直角三角形的两直角边长$ (x＞y) $，以下关系式中不正确的是
（
A.$ x^2 + y^2 = 81 $
B.$ x + y = 13 $
C.$ 2xy + 16 = 81 $
D.$ x - y = 4 $
（
B
）A.$ x^2 + y^2 = 81 $
B.$ x + y = 13 $
C.$ 2xy + 16 = 81 $
D.$ x - y = 4 $
答案
10.B
解析
【分析】
解题时先从已知的大、小正方形面积出发，推导它们的边长，再结合图形特征逐一验证选项：1. 大正方形的边长是直角三角形的斜边，用勾股定理判断选项A；2. 观察图形可知小正方形的边长等于直角三角形两条直角边的差，以此判断选项D；3. 用“4个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积”的割补法判断选项C；4. 最后利用完全平方公式展开$(x+y)^2$，代入前面得到的数值判断选项B是否正确。
【解析】
解：① 已知大正方形面积为81，则大正方形边长为$\sqrt{81}=9$，直角三角形的斜边与大正方形边长相等，根据勾股定理可得$x^2+y^2=9^2=81$，故A选项正确，不符合题意；
② 已知小正方形面积为16，则小正方形边长为$\sqrt{16}=4$，由图形可知小正方形的边长 = 长直角边 - 短直角边，即$x-y=4$，故D选项正确，不符合题意；
③ 大正方形的面积可表示为4个全等直角三角形的面积与小正方形面积之和，单个直角三角形面积为$\frac{1}{2}xy$，因此$4×\frac{1}{2}xy + 16 = 81$，化简得$2xy + 16 = 81$，故C选项正确，不符合题意，同时可得$2xy=81-16=65$；
④ 验证B选项：由完全平方公式得$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，将$x^2+y^2=81$、$2xy=65$代入得$(x+y)^2=81+65=146$，而$13^2=169≠146$，因此$x+y≠13$，故B选项错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，面积割补法
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，结合了几何图形的面积表示和代数公式的运算，需要学生灵活转换几何与代数关系，锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的大、小正方形面积出发，推导它们的边长，再结合图形特征逐一验证选项：1. 大正方形的边长是直角三角形的斜边，用勾股定理判断选项A；2. 观察图形可知小正方形的边长等于直角三角形两条直角边的差，以此判断选项D；3. 用“4个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积”的割补法判断选项C；4. 最后利用完全平方公式展开$(x+y)^2$，代入前面得到的数值判断选项B是否正确。
【解析】
解：① 已知大正方形面积为81，则大正方形边长为$\sqrt{81}=9$，直角三角形的斜边与大正方形边长相等，根据勾股定理可得$x^2+y^2=9^2=81$，故A选项正确，不符合题意；
② 已知小正方形面积为16，则小正方形边长为$\sqrt{16}=4$，由图形可知小正方形的边长 = 长直角边 - 短直角边，即$x-y=4$，故D选项正确，不符合题意；
③ 大正方形的面积可表示为4个全等直角三角形的面积与小正方形面积之和，单个直角三角形面积为$\frac{1}{2}xy$，因此$4×\frac{1}{2}xy + 16 = 81$，化简得$2xy + 16 = 81$，故C选项正确，不符合题意，同时可得$2xy=81-16=65$；
④ 验证B选项：由完全平方公式得$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，将$x^2+y^2=81$、$2xy=65$代入得$(x+y)^2=81+65=146$，而$13^2=169≠146$，因此$x+y≠13$，故B选项错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，面积割补法
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，结合了几何图形的面积表示和代数公式的运算，需要学生灵活转换几何与代数关系，锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
11. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,点 $M$ 在 $AC$ 边上,且 $AM=1$,$MC=4$,动点 $P$ 在 $AB$ 边上,连接 $PC$,$PM$,则 $PC+PM$ 的最小值是 $\underline{\hspace{3em}}$.
答案
11.$\sqrt{26}$
解析
【分析】
本题属于轴对称求最短路径（将军饮马）类问题，解题思路如下：1. 要使$PC+PM$的和最小，根据轴对称的性质，先作点$C$关于直线$AB$的对称点$C'$，此时$PC=PC'$，$PC+PM$可转化为$PC'+PM$；2. 根据两点之间线段最短，当$P$、$M$、$C'$三点共线时，$PC'+PM$的最小值就是线段$C'M$的长度；3. 结合等腰直角三角形的性质求出相关边长，再用勾股定理计算$C'M$的长度即可。
【解析】
作点$C$关于$AB$的对称点$C'$，连接$C'A$、$C'M$，$C'M$与$AB$的交点即为使$PC+PM$最小的点$P$，此时$PC+PM$的最小值为$C'M$的长度。
已知$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，因此$∠ BAC=45°$。
由对称性质可得：$∠ C'AB=∠ BAC=45°$，$AC'=AC$。
因为$AM=1$，$MC=4$，所以$AC=AM+MC=5$，即$AC'=5$。
此时$∠ C'AM=∠ C'AB+∠ BAC=45°+45°=90°$，$△C'AM$为直角三角形。
根据勾股定理得：$C'M=\sqrt{AM^2+AC'^2}=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}$。
【答案】
$\sqrt{26}$
【知识点】
轴对称最短路径，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是最短路径问题的常规考法，核心是通过轴对称将两条线段和的最小值转化为两点间线段的长度，需要熟练掌握轴对称性质和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
本题属于轴对称求最短路径（将军饮马）类问题，解题思路如下：1. 要使$PC+PM$的和最小，根据轴对称的性质，先作点$C$关于直线$AB$的对称点$C'$，此时$PC=PC'$，$PC+PM$可转化为$PC'+PM$；2. 根据两点之间线段最短，当$P$、$M$、$C'$三点共线时，$PC'+PM$的最小值就是线段$C'M$的长度；3. 结合等腰直角三角形的性质求出相关边长，再用勾股定理计算$C'M$的长度即可。
【解析】
作点$C$关于$AB$的对称点$C'$，连接$C'A$、$C'M$，$C'M$与$AB$的交点即为使$PC+PM$最小的点$P$，此时$PC+PM$的最小值为$C'M$的长度。
已知$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，因此$∠ BAC=45°$。
由对称性质可得：$∠ C'AB=∠ BAC=45°$，$AC'=AC$。
因为$AM=1$，$MC=4$，所以$AC=AM+MC=5$，即$AC'=5$。
此时$∠ C'AM=∠ C'AB+∠ BAC=45°+45°=90°$，$△C'AM$为直角三角形。
根据勾股定理得：$C'M=\sqrt{AM^2+AC'^2}=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}$。
【答案】
$\sqrt{26}$
【知识点】
轴对称最短路径，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是最短路径问题的常规考法，核心是通过轴对称将两条线段和的最小值转化为两点间线段的长度，需要熟练掌握轴对称性质和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
