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12. 如图,在等腰直角三角形$ABC$中,$∠ B=90°$,点$E$,$F$分别在边$AB$,$AC$上,沿$EF$折叠,使点$A$落在$BC$边的中点$A_1$处,$BC=8$,求线段$AE$的长.
答案
12.解:
∵$A_1$是BC的中点,
∴$A_1 B=\frac{1}{2} BC=4$.
∵△ABC是等腰直角三角形,$∠B=90°$,
∴$AB=BC=8$.由翻折的性质可知$AE=A_1 E$,设$AE=A_1 E=x$,则$BE=8-x$.在Rt△$A_1 BE$中,$A_1 E^2=A_1 B^2+BE^2$,即$x^2=4^2+(8-x)^2$,解得$x=5$,
∴线段AE的长为5.
∵$A_1$是BC的中点,
∴$A_1 B=\frac{1}{2} BC=4$.
∵△ABC是等腰直角三角形,$∠B=90°$,
∴$AB=BC=8$.由翻折的性质可知$AE=A_1 E$,设$AE=A_1 E=x$,则$BE=8-x$.在Rt△$A_1 BE$中,$A_1 E^2=A_1 B^2+BE^2$,即$x^2=4^2+(8-x)^2$,解得$x=5$,
∴线段AE的长为5.
解析
【分析】
解题时首先根据等腰直角三角形的性质与A₁是BC中点的条件，求出AB、A₁B的长度；再利用折叠前后对应边相等的性质，得到AE=A₁E，设AE的长度为未知数，用含未知数的式子表示出Rt△A₁BE的三边，最后利用勾股定理列方程求解即可得到AE的长度。
【解析】
解：
∵$A_1$是BC的中点，$BC=8$，
∴$A_1 B=\frac{1}{2} BC=4$。
∵△ABC是等腰直角三角形，$∠B=90°$，
∴$AB=BC=8$。
由翻折的性质可知$AE=A_1 E$，设$AE=A_1 E=x$，则$BE=8-x$。
在Rt△$A_1 BE$中，由勾股定理得$A_1 E^2=A_1 B^2+BE^2$，
即$x^2=4^2+(8-x)^2$，
解得$x=5$。
【答案】
5
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是折叠背景下的线段求解典型题，将几何性质与方程思想相结合，解题核心是抓住折叠的不变性，找到合适的直角三角形利用勾股定理建立方程计算。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据等腰直角三角形的性质与A₁是BC中点的条件，求出AB、A₁B的长度；再利用折叠前后对应边相等的性质，得到AE=A₁E，设AE的长度为未知数，用含未知数的式子表示出Rt△A₁BE的三边，最后利用勾股定理列方程求解即可得到AE的长度。
【解析】
解：
∵$A_1$是BC的中点，$BC=8$，
∴$A_1 B=\frac{1}{2} BC=4$。
∵△ABC是等腰直角三角形，$∠B=90°$，
∴$AB=BC=8$。
由翻折的性质可知$AE=A_1 E$，设$AE=A_1 E=x$，则$BE=8-x$。
在Rt△$A_1 BE$中，由勾股定理得$A_1 E^2=A_1 B^2+BE^2$，
即$x^2=4^2+(8-x)^2$，
解得$x=5$。
【答案】
5
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是折叠背景下的线段求解典型题，将几何性质与方程思想相结合，解题核心是抓住折叠的不变性，找到合适的直角三角形利用勾股定理建立方程计算。
【难度系数】
0.7
13. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ B = 90°$,$AB = 7\ \mathrm{cm}$,$AC = 25\ \mathrm{cm}$. 点 $P$ 从点 $A$ 出发沿 $AB$ 方向以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度向终点 $B$ 运动,点 $Q$ 从点 $B$ 出发沿 $BC$ 方向以 $6\ \mathrm{cm/s}$ 的速度向终点 $C$ 运动,$P$,$Q$ 两点同时出发. 设点 $P$ 的运动时间为 $t\ \mathrm{s}$.
(1)求 $BC$ 的长;
(2)当 $t=2$ 时,求 $P$,$Q$ 两点之间的距离;
(3)当 $AP = CQ$ 时,求 $t$ 的值.
(1)求 $BC$ 的长;
(2)当 $t=2$ 时,求 $P$,$Q$ 两点之间的距离;
(3)当 $AP = CQ$ 时,求 $t$ 的值.
答案
13.解:(1)$BC=24$ cm.
(2)连接PQ.当$t=2$时,$BP=7-2=5$(cm),$BQ=6×2=12$(cm),
∴在Rt△BPQ中,$PQ=\sqrt{BP^2+BQ^2}=13$ cm,即P,Q两点之间的距离为13 cm.
(3)由题意,得$AP=t$,$CQ=24-6t$.
∵$AP=CQ$,
∴$t=24-6t$,解得$t=\frac{24}{7}$.
(2)连接PQ.当$t=2$时,$BP=7-2=5$(cm),$BQ=6×2=12$(cm),
∴在Rt△BPQ中,$PQ=\sqrt{BP^2+BQ^2}=13$ cm,即P,Q两点之间的距离为13 cm.
(3)由题意,得$AP=t$,$CQ=24-6t$.
∵$AP=CQ$,
∴$t=24-6t$,解得$t=\frac{24}{7}$.
解析
【分析】
(1)已知△ABC是直角三角形，∠B为直角，给出了直角边AB和斜边AC的长度，直接用勾股定理即可求出另一条直角边BC的长度。
(2)当t=2时，先根据点P、Q的运动速度和时间，分别计算出线段BP、BQ的长度，此时△BPQ也是直角三角形，∠B为直角，再用勾股定理即可求出PQ的长度，即P、Q两点的距离。
(3)先分别用含t的代数式表示出AP和CQ的长度，再根据AP=CQ的等量关系列一元一次方程，解方程即可求出t的值，注意结果要符合两点运动的实际范围。
【解析】
(1)在$Rt△ABC$中，$∠B=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24\ \mathrm{cm}$
(2)连接$PQ$，当$t=2$时：
$AP=1×2=2\ \mathrm{cm}$，故$BP=AB-AP=7-2=5\ \mathrm{cm}$
$BQ=6×2=12\ \mathrm{cm}$
在$Rt△BPQ$中，$∠B=90°$，由勾股定理得：
$PQ=\sqrt{BP^2+BQ^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$
(3)运动$t\ \mathrm{s}$时，$AP=t\ \mathrm{cm}$，$BQ=6t\ \mathrm{cm}$，则$CQ=BC-BQ=(24-6t)\ \mathrm{cm}$
根据题意$AP=CQ$，列方程得：
$t=24-6t$
移项合并得：$7t=24$
解得：$t=\frac{24}{7}$
【答案】
(1)$BC$的长为$\boldsymbol{24\ \mathrm{cm}}$；
(2)$P$，$Q$两点之间的距离为$\boldsymbol{13\ \mathrm{cm}}$；
(3)$t$的值为$\boldsymbol{\frac{24}{7}}$。
【知识点】
勾股定理，动点问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题将勾股定理与动点问题相结合，侧重考查基础的几何计算能力和方程思想的应用，解题的关键是结合运动过程准确表示出各线段的长度，再利用勾股定理或等量关系列式求解。
【难度系数】
0.7
(1)已知△ABC是直角三角形，∠B为直角，给出了直角边AB和斜边AC的长度，直接用勾股定理即可求出另一条直角边BC的长度。
(2)当t=2时，先根据点P、Q的运动速度和时间，分别计算出线段BP、BQ的长度，此时△BPQ也是直角三角形，∠B为直角，再用勾股定理即可求出PQ的长度，即P、Q两点的距离。
(3)先分别用含t的代数式表示出AP和CQ的长度，再根据AP=CQ的等量关系列一元一次方程，解方程即可求出t的值，注意结果要符合两点运动的实际范围。
【解析】
(1)在$Rt△ABC$中，$∠B=90°$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24\ \mathrm{cm}$
(2)连接$PQ$，当$t=2$时：
$AP=1×2=2\ \mathrm{cm}$，故$BP=AB-AP=7-2=5\ \mathrm{cm}$
$BQ=6×2=12\ \mathrm{cm}$
在$Rt△BPQ$中，$∠B=90°$，由勾股定理得：
$PQ=\sqrt{BP^2+BQ^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$
(3)运动$t\ \mathrm{s}$时，$AP=t\ \mathrm{cm}$，$BQ=6t\ \mathrm{cm}$，则$CQ=BC-BQ=(24-6t)\ \mathrm{cm}$
根据题意$AP=CQ$，列方程得：
$t=24-6t$
移项合并得：$7t=24$
解得：$t=\frac{24}{7}$
【答案】
(1)$BC$的长为$\boldsymbol{24\ \mathrm{cm}}$；
(2)$P$，$Q$两点之间的距离为$\boldsymbol{13\ \mathrm{cm}}$；
(3)$t$的值为$\boldsymbol{\frac{24}{7}}$。
【知识点】
勾股定理，动点问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题将勾股定理与动点问题相结合，侧重考查基础的几何计算能力和方程思想的应用，解题的关键是结合运动过程准确表示出各线段的长度，再利用勾股定理或等量关系列式求解。
【难度系数】
0.7
