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12. 如图,某小区的两个喷泉A,B位于小路AC的同侧,两个喷泉之间的距离AB的长为250 m.现要为喷泉铺设供水管道AM,BM,供水点M在小路AC上,供水点M到AB的距离MN的长为120 m,BM的长为150 m.
(1)求从供水点M到喷泉A需要铺设的管道长;
(2)求证:∠BMA=90°.
(1)求从供水点M到喷泉A需要铺设的管道长;
(2)求证:∠BMA=90°.
答案
12.解:(1)由题意可知MN⊥AB.在Rt△MNB中,BN=√(BM²-MN²)=√(150²-120²)=90(m),
∴AN=AB-BN=160 m.在Rt△AMN中,AM=√(AN²+MN²)=√(160²+120²)=200(m).
∴从供水点M到喷泉A需要铺设的管道长为200 m.(2)证明:
∵AB=250 m,AM=200 m,BM=150 m,
∴AB²=BM²+AM²,
∴∠BMA=90°.
∴AN=AB-BN=160 m.在Rt△AMN中,AM=√(AN²+MN²)=√(160²+120²)=200(m).
∴从供水点M到喷泉A需要铺设的管道长为200 m.(2)证明:
∵AB=250 m,AM=200 m,BM=150 m,
∴AB²=BM²+AM²,
∴∠BMA=90°.
解析
【分析】
（1）要求AM的长度，观察图形可知MN⊥AB，因此△AMN是直角三角形，已知MN=120m，只要算出AN的长度即可用勾股定理求出AM。AN=AB-BN，而BN可在Rt△MNB中利用勾股定理计算，已知BM、MN的长度，因此先计算BN，再求AN，最后计算AM即可。
（2）要证明∠BMA=90°，只需证明△ABM是直角三角形，已知AB、AM、BM的长度，可利用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等即可证明△ABM是直角三角形，且最长边所对的角为直角。
【解析】
(1) 由题意可知MN⊥AB，即△MNB和△AMN均为直角三角形。
在Rt△MNB中，根据勾股定理：
$BN=\sqrt{BM^2-MN^2}=\sqrt{150^2-120^2}=\sqrt{22500-14400}=\sqrt{8100}=90(\mathrm{m})$
∴$AN=AB-BN=250-90=160(\mathrm{m})$
在Rt△AMN中，根据勾股定理：
$AM=\sqrt{AN^2+MN^2}=\sqrt{160^2+120^2}=\sqrt{25600+14400}=\sqrt{40000}=200(\mathrm{m})$
(2) 证明：已知AB=250m，AM=200m，BM=150m
计算得：$AM^2+BM^2=200^2+150^2=40000+22500=62500$，$AB^2=250^2=62500$
∴$AM^2+BM^2=AB^2$
根据勾股定理的逆定理，△ABM是直角三角形，且AB为斜边，因此∠BMA=90°。
【答案】
(1) 从供水点M到喷泉A需要铺设的管道长为200m；
(2) ∠BMA=90°得证。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心是勾股定理及其逆定理的应用，解题时先找准直角三角形用勾股定理计算未知边长，再通过边长关系用逆定理判定直角，逻辑清晰，只要掌握两个定理的使用条件就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
（1）要求AM的长度，观察图形可知MN⊥AB，因此△AMN是直角三角形，已知MN=120m，只要算出AN的长度即可用勾股定理求出AM。AN=AB-BN，而BN可在Rt△MNB中利用勾股定理计算，已知BM、MN的长度，因此先计算BN，再求AN，最后计算AM即可。
（2）要证明∠BMA=90°，只需证明△ABM是直角三角形，已知AB、AM、BM的长度，可利用勾股定理的逆定理，验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等即可证明△ABM是直角三角形，且最长边所对的角为直角。
【解析】
(1) 由题意可知MN⊥AB，即△MNB和△AMN均为直角三角形。
在Rt△MNB中，根据勾股定理：
$BN=\sqrt{BM^2-MN^2}=\sqrt{150^2-120^2}=\sqrt{22500-14400}=\sqrt{8100}=90(\mathrm{m})$
∴$AN=AB-BN=250-90=160(\mathrm{m})$
在Rt△AMN中，根据勾股定理：
$AM=\sqrt{AN^2+MN^2}=\sqrt{160^2+120^2}=\sqrt{25600+14400}=\sqrt{40000}=200(\mathrm{m})$
(2) 证明：已知AB=250m，AM=200m，BM=150m
计算得：$AM^2+BM^2=200^2+150^2=40000+22500=62500$，$AB^2=250^2=62500$
∴$AM^2+BM^2=AB^2$
根据勾股定理的逆定理，△ABM是直角三角形，且AB为斜边，因此∠BMA=90°。
【答案】
(1) 从供水点M到喷泉A需要铺设的管道长为200m；
(2) ∠BMA=90°得证。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心是勾股定理及其逆定理的应用，解题时先找准直角三角形用勾股定理计算未知边长，再通过边长关系用逆定理判定直角，逻辑清晰，只要掌握两个定理的使用条件就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
13. 如图,有两根长杆(AB 和 CD)隔河相对,杆 AB 高 2 m,杆 CD 高 3 m,两杆相距 5 m,两根长杆都与地面垂直.现两杆顶部各停有一只鱼鹰,它们同时看到两杆之间的河面上 E 处浮出一条小鱼,于是同时以同样的速度飞下来夺鱼,结果两只鱼鹰同时叼住小鱼.求两杆底部与 E 处的距离各是多少米.(假设小鱼在此过程中保持不动)
答案
13.解:由题意可得AE=DE.设BE的长为x m,在Rt△ABE中,AE²=AB²+BE²,在Rt△DCE中,DE²=DC²+CE²,
∴2²+x²=(5-x)²+3²,解得x=3,即BE=3 m,
∴CE=5-3=2(m).答:杆AB,CD的底部与E处的距离分别是3 m和2 m.
∴2²+x²=(5-x)²+3²,解得x=3,即BE=3 m,
∴CE=5-3=2(m).答:杆AB,CD的底部与E处的距离分别是3 m和2 m.
解析
【分析】
解题时首先从题目的已知条件入手，两只鱼鹰飞行速度相同且同时叼住小鱼，说明二者飞行路程相等，即AE=DE。已知AB、CD均垂直于地面BC，所以△ABE和△DCE都是直角三角形，我们可以设BE的长度为未知数，再用含未知数的式子表示CE的长度，分别在两个直角三角形中利用勾股定理表示出AE²和DE²，再根据AE=DE即二者平方相等列方程，求解即可得到两段距离的长度。
【解析】
解：由题意可知，两只鱼鹰飞行速度相同、飞行时间相同，因此飞行路程相等，即AE=DE。
设BE的长为$x\ \mathrm{m}$，则CE的长为$(5-x)\ \mathrm{m}$，
∵$AB⊥ BC$，$CD⊥ BC$，
∴$△ ABE$和$△ DCE$均为直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：$AE^2=AB^2+BE^2=2^2+x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ DCE$中，由勾股定理得：$DE^2=DC^2+CE^2=3^2+(5-x)^2$，
∵$AE=DE$，
∴$AE^2=DE^2$，
即$2^2+x^2=(5-x)^2+3^2$，
展开得：$4 + x^2 = 25 - 10x + x^2 + 9$，
化简得：$10x = 30$，
解得$x=3$，即$BE=3\ \mathrm{m}$，
∴$CE=5-3=2(\mathrm{m})$。
【答案】
杆AB底部与E处的距离是3m，杆CD底部与E处的距离是2m。
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理在实际问题中的应用，解题的关键是挖掘出“速度、时间均相等则路程相等”的隐含条件，将几何线段长度关系转化为方程求解，实现几何问题代数化，是勾股定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先从题目的已知条件入手，两只鱼鹰飞行速度相同且同时叼住小鱼，说明二者飞行路程相等，即AE=DE。已知AB、CD均垂直于地面BC，所以△ABE和△DCE都是直角三角形，我们可以设BE的长度为未知数，再用含未知数的式子表示CE的长度，分别在两个直角三角形中利用勾股定理表示出AE²和DE²，再根据AE=DE即二者平方相等列方程，求解即可得到两段距离的长度。
【解析】
解：由题意可知，两只鱼鹰飞行速度相同、飞行时间相同，因此飞行路程相等，即AE=DE。
设BE的长为$x\ \mathrm{m}$，则CE的长为$(5-x)\ \mathrm{m}$，
∵$AB⊥ BC$，$CD⊥ BC$，
∴$△ ABE$和$△ DCE$均为直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：$AE^2=AB^2+BE^2=2^2+x^2$，
在$\mathrm{Rt}△ DCE$中，由勾股定理得：$DE^2=DC^2+CE^2=3^2+(5-x)^2$，
∵$AE=DE$，
∴$AE^2=DE^2$，
即$2^2+x^2=(5-x)^2+3^2$，
展开得：$4 + x^2 = 25 - 10x + x^2 + 9$，
化简得：$10x = 30$，
解得$x=3$，即$BE=3\ \mathrm{m}$，
∴$CE=5-3=2(\mathrm{m})$。
【答案】
杆AB底部与E处的距离是3m，杆CD底部与E处的距离是2m。
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理在实际问题中的应用，解题的关键是挖掘出“速度、时间均相等则路程相等”的隐含条件，将几何线段长度关系转化为方程求解，实现几何问题代数化，是勾股定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
