10. 在平面直角坐标系中,一次函数$y=-x+a$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$、$B$,$△ AOB$的面积为$\frac{9}{2}$,则$a$的值为 （）

A.3
B.$\pm 3$
C.2
D.$\pm 2$

10. B 解析:当$x=0$时,$y=-1×0+a=a$,$\therefore$点$B$的坐标为$(0,a)$,$\therefore OB=|a|$;当$y=0$时,$-x+a=0$,解得$x=a$,$\therefore$点$A$的坐标为$(a,0)$,$\therefore OA=|a|$,$\therefore S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}OA· OB=\dfrac{1}{2}a^2=\dfrac{9}{2}$,解得$a=\pm3$.

【分析】
解题思路可分为三步：第一步先求一次函数与y轴的交点B：令x=0代入函数解析式，得到B点纵坐标，线段OB的长度需取坐标的绝对值；第二步求一次函数与x轴的交点A：令y=0代入函数解析式，得到A点横坐标，线段OA的长度同样取坐标的绝对值；第三步△AOB是直角三角形，直角边为OA和OB，代入三角形面积公式列方程求解，注意正数的平方根有两个，不要漏解负数情况。
【解析】
当x=0时，代入$y=-x+a$得$y=a$，$\therefore$点B的坐标为$(0,a)$，$OB=|a|$；
当y=0时，代入$y=-x+a$得$-x+a=0$，解得$x=a$，$\therefore$点A的坐标为$(a,0)$，$OA=|a|$。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}×|a|×|a|=\frac{9}{2}$
化简得$\frac{1}{2}a^2=\frac{9}{2}$，即$a^2=9$，解得$a=\pm3$。
【答案】B
【知识点】
1.一次函数与坐标轴交点求法
2.三角形面积计算
3.平方根运算
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，解题核心是区分坐标的正负性和线段长度的非负性，求线段长度时必须对坐标取绝对值，避免遗漏负数解。
【难度系数】
0.7

11. 如图,直线$ l $分别交两坐标轴于$ A $、$ B $两点,$ P $是线段$ AB $上任意一点(不包括端点),过点$ P $分别向两坐标轴作垂线,与两坐标轴围成矩形的周长为16,则直线$ l $的函数表达式是 ()




A.$ y=x+8 $
B.$ y=-x+8 $
C.$ y=x+16 $
D.$ y=-x+16 $

11. B 解析:如图,设点$ P $的坐标为$(x,y)$,由题意可得,$PD=y$,$PC=x$,$\therefore 2(x+y)=16$,$\therefore x+y=8$,$\therefore y=-x+8$.

【分析】
要求直线l的函数表达式，本质是找直线上点的横坐标x和纵坐标y的数量关系。我们可以设线段AB上任意一点P的坐标为$(x,y)$，观察图形可知，过P向x轴、y轴作垂线得到的矩形，相邻两边的长恰好等于P点的横坐标x和纵坐标y（P在第一象限，横纵坐标均为正，坐标值和对应线段长度相等）。已知矩形周长为16，结合矩形周长公式即可列出x和y的等式，整理为一次函数的标准形式就是直线l的表达式。
【解析】
设点P的坐标为$(x,y)$（$x＞0,y＞0$），
由图形可得：矩形OCPD的长为$x$，宽为$y$，
根据矩形周长公式$周长=2×(长+宽)$，结合题意周长为16，可得：
$2(x + y) = 16$，
化简得：$x + y = 8$，
变形为一次函数的一般形式为$y = -x + 8$，即直线l的函数表达式为$y=-x+8$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数解析式，矩形周长公式，坐标与图形性质
【点评】
本题是数形结合思想的基础应用，将几何图形的周长条件和一次函数解析式的推导结合起来，解题核心是掌握平面直角坐标系中点的坐标和对应线段长度的转换关系，属于基础题型，掌握相关基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8

12. 当$ k $为任意实数时，直线$ y = kx - (k - 2) $恒经过点________.

12. (1,2) 解析:$\because y=kx-(k-2)=kx-k+2=k(x-1)+2$,$\therefore$不论$k$为何值,当$x=1$时,$y$的值一定是2,$\therefore$直线必过点$(1,2)$.

【分析】
本题要求直线恒过的定点，即该点坐标不受参数k取值的影响，无论k取何值都满足直线解析式。解题时先对直线解析式变形，把含有参数k的项合并在一起，因为k为任意实数时等式都成立，只需让k的系数为0，即可消去k的影响，进而求出对应的x、y值，得到定点坐标。
【解析】
先对给定的直线解析式变形：
$y = kx - (k - 2) = kx - k + 2 = k(x - 1) + 2$
因为k为任意实数时直线都过该定点，即y的取值与k无关，因此k的系数必须为0：
令$x - 1 = 0$，解得$x = 1$，
将$x=1$代入变形后的解析式，得$y = k×0 + 2 = 2$，
因此直线恒经过点$(1,2)$。
【答案】
$(1,2)$
【知识点】
一次函数的图象性质；代数式恒成立条件
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心解题思路是通过分离参数，令参数的系数为0来消除参数的影响，进而求得定点坐标，掌握该方法可以快速解决同类一次函数过定点的问题。
【难度系数】
0.8

13. 在一次函数$y=2x-3$的图象上到$x$轴的距离等于1的点的坐标是.

13. (2,1)或(1,-1) 解析:当$y=1$时,$2x-3=1$,解得$x=2$;当$y=-1$时,$2x-3=-1$,解得$x=1$,$\therefore$满足条件的点的坐标为$(2,1)$或$(1,-1)$.

【分析】
要解决这道题，首先明确平面直角坐标系中点到x轴的距离的含义：点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值。题目要求一次函数$y=2x-3$图象上到x轴距离为1的点，即该点纵坐标满足$|y|=1$，可拆分为$y=1$或$y=-1$两种情况；再根据一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将两个y值分别代入解析式求出对应的x值，即可得到所求点的坐标，注意不要漏了y为负的情况。
【解析】
点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，因此满足条件的点的纵坐标满足$|y|=1$，即$y=1$或$y=-1$：
①当$y=1$时，把$y=1$代入$y=2x-3$，得：
$2x-3=1$
解得$x=2$，对应点的坐标为$(2,1)$；
②当$y=-1$时，把$y=-1$代入$y=2x-3$，得：
$2x-3=-1$
解得$x=1$，对应点的坐标为$(1,-1)$。
因此满足条件的点的坐标为$(2,1)$或$(1,-1)$。
【答案】
$(2,1)$或$(1,-1)$
【知识点】
1.一次函数图象上点的坐标特征；2.点到坐标轴的距离
【点评】
本题考查一次函数图象上点的坐标与解析式的对应关系，解题核心是明确点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，需要注意分正负两种情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7

14. 如图，直线$y=-\dfrac{3}{4}x-3$与$x$轴、$y$轴分别交于点$M$、$N$. 现以点$N$为圆心、$NM$的长为半径画弧，与$y$轴正半轴交于点$P$，则点$P$的坐标为________.

14. (0,2) 解析:当$x=0$时,$y=-\dfrac{3}{4}×0-3=-3$,$\therefore$点$N$的坐标为$(0,-3)$,$\therefore ON=3$;当$y=0$时,$-\dfrac{3}{4}x-3=0$,解得$x=-4$,$\therefore$点$M$的坐标为$(-4,0)$,$\therefore OM=4$.在$\mathrm{Rt}△ MON$中,$OM=4$,$ON=3$,$\therefore MN=\sqrt{OM^2+ON^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$.$\because$以点$N$为圆心、$NM$的长为半径画弧,与$y$轴正半轴交于点$P$,$\therefore NP=MN=5$,$\therefore OP=NP-ON=5-3=2$,$\therefore$点$P$的坐标为$(0,2)$.

【分析】
要确定点P的坐标，首先观察到P在y轴正半轴，因此其横坐标为0，只需求出纵坐标即可。解题可按以下思路推进：第一步先求直线与x轴、y轴的交点M、N的坐标，求与y轴交点令x=0，求与x轴交点令y=0即可；第二步在直角三角形MON中用勾股定理求出半径NM的长度；第三步根据圆的半径相等得NP=NM，结合N点的坐标即可算出P点的纵坐标。
【解析】
当$x=0$时，$y=-\dfrac{3}{4}× 0 - 3 = -3$，$\therefore$点$N$的坐标为$(0,-3)$，即$ON=3$；
当$y=0$时，$-\dfrac{3}{4}x - 3 = 0$，解得$x=-4$，$\therefore$点$M$的坐标为$(-4,0)$，即$OM=4$；
在$\mathrm{Rt}△ MON$中，由勾股定理得：$MN=\sqrt{OM^2 + ON^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=5$；
$\because$以$N$为圆心，$NM$为半径画弧，交$y$轴正半轴于$P$，$\therefore NP=MN=5$；
$\therefore OP=NP - ON=5 - 3=2$，即点$P$的坐标为$(0,2)$。
【答案】
$(0,2)$
【知识点】
一次函数与坐标轴的交点；勾股定理；圆的半径相等
【点评】
本题属于基础综合题，将一次函数与几何知识结合考查，解题的核心是先准确求出直线与坐标轴的交点坐标，再结合勾股定理和圆的性质计算未知点坐标，是函数与几何结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.7

15. 如图,在平面直角坐标系中放置一块等腰直角三角板ABC,使得两直角边分别与x轴、y轴重合,AC=BC=4,将三角板先向右平移m个单位长度,再向下平移2m个单位长度后,斜边AB恰好落在直线$l:y=x-2$上,则m的值为.

15. 2 解析:根据题意,得$B(0,4)$,平移后点$B$的对应点的坐标为$(m,4-2m)$.$\because$平移后点$B$的对应点在直线$y=x-2$上,$\therefore 4-2m=m-2$,解得$m=2$.

【分析】
首先根据等腰直角三角板的放置方式和边长确定点B的原始坐标；再根据平移的坐标变化规律：向右平移横坐标加平移距离，向下平移纵坐标减平移距离，写出点B平移后的对应点坐标；由于平移后斜边AB在直线l上，因此点B的对应点在直线l上，满足直线的解析式，将坐标代入解析式即可得到关于m的一元一次方程，解方程就能求出m的值。
【解析】
解：由题意可知，等腰直角三角板ABC中BC与y轴重合，BC=4，因此点B的原始坐标为$(0,4)$。
根据平移规则：向右平移$m$个单位，横坐标加$m$；向下平移$2m$个单位，纵坐标减$2m$，可得平移后点B的对应点坐标为$(m,4-2m)$。
$\because$平移后斜边AB落在直线$y=x-2$上，
$\therefore$点B的对应点在该直线上，将坐标代入解析式得：
$4-2m=m-2$
移项得：$4+2=m+2m$
合并同类项得：$3m=6$
解得：$m=2$
【答案】
$2$
【知识点】
坐标平移规律，一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题考查了平移的坐标变化规律与一次函数的综合应用，解题的核心是准确表示出平移后点的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标满足函数解析式建立方程求解，是一次函数部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7

16. 如图，一次函数$y=-x+1$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$、$B$，点$M$在$y$轴上（不与原点重合），且以点$A$、$B$、$M$为顶点的三角形是等腰三角形，则点$M$的坐标为$\underline{\hspace{8cm}}$.

16. $(0,1+\sqrt{2})$、$(0,1-\sqrt{2})$或$(0,-1)$ 解析:对于一次函数$y=-x+1$,当$x=0$时,$y=1$,当$y=0$时,$x=1$,$\therefore$点$A$的坐标为$(1,0)$,点$B$的坐标为$(0,1)$,$\therefore OB=1$,$OA=1$,$\therefore AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.当$BA=BM$时,此时点$M$的坐标为$(0,1+\sqrt{2})$或$(0,1-\sqrt{2})$;当$AB=AM$,点$M$在$y$轴的负半轴上时,此时点$M$的坐标为$(0,-1)$;当$BM=AM$时,点$M$的坐标为$(0,0)$,此时点$M$与原点重合,不符合题意.综上所述,点$M$的坐标为$(0,1+\sqrt{2})$、$(0,1-\sqrt{2})$或$(0,-1)$.

【分析】
解题时首先求出一次函数与x轴、y轴的交点A、B的坐标，计算出AB的长度；再结合“△ABM是等腰三角形”的条件，分三种情况讨论腰的对应关系：①BA=BM，②AB=AM，③BM=AM，结合点M在y轴上（不与原点重合）的限制，分别计算每种情况下点M的坐标，舍去不符合要求的解即可。
【解析】
对于一次函数$y=-x+1$：
当$x=0$时，$y=1$，可得点B的坐标为$(0,1)$，即$OB=1$；
当$y=0$时，$x=1$，可得点A的坐标为$(1,0)$，即$OA=1$；
由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
设点M的坐标为$(0,y)$，分三种情况讨论：
1. 当$BA=BM$时：
$BM=|y-1|=\sqrt{2}$，解得$y=1+\sqrt{2}$或$y=1-\sqrt{2}$，
此时M的坐标为$(0,1+\sqrt{2})$或$(0,1-\sqrt{2})$，均符合题意；
2. 当$AB=AM$时：
因为$AO⊥ y$轴，等腰△ABM中AO为高，由等腰三角形三线合一可得$OM=OB=1$，
又点M可在y轴负半轴，故M的坐标为$(0,-1)$，符合题意；
3. 当$BM=AM$时：
$BM=|1-y|$，$AM=\sqrt{1^2+y^2}$，列方程得$|1-y|=\sqrt{1+y^2}$，
解得$y=0$，此时M为原点，不符合题意，舍去。
综上，点M的坐标为$(0,1+\sqrt{2})$、$(0,1-\sqrt{2})$或$(0,-1)$。
【答案】
$(0,1+\sqrt{2})$、$(0,1-\sqrt{2})$或$(0,-1)$
【知识点】
一次函数的图象特征，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是一次函数与几何图形的综合题，解题的关键是对等腰三角形的腰长进行分类讨论，易错点是容易遗漏部分情况，或未根据题干限制条件舍去与原点重合的解，解题时要注意思路的严谨性。
【难度系数】
0.6

17. 如图，直线$y=-x-4$交$x$轴、$y$轴于点$A$、$C$，点$B(0,2)$在$y$轴上，作直线$AB$.
(1)求直线$AB$的函数表达式.
(2)若$P$为线段$AB$上一动点，且$S_{△ APC}=S_{△ AOC}$，求点$P$的坐标.

17. (1)$\because$直线$y=-x-4$分别交$x$轴、$y$轴于点$A$、$C$,$\therefore A(-4,0)$,$C(0,-4)$.设直线$AB$的函数表达式为$y=kx+b$($k\ne0$),把$A(-4,0)$,$B(0,2)$代入,得$\begin{cases} 0=-4k+b, \\ b=2, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\dfrac{1}{2}, \\ b=2, \end{cases}$$\therefore$直线$AB$的函数表达式为$y=\dfrac{1}{2}x+2$.
(2)$\because A(-4,0)$,$C(0,-4)$,$B(0,2)$,$\therefore OA=OC=4$,$OB=2$,$\therefore BC=6$.设$P(m,\dfrac{1}{2}m+2)$.$\because$点$P$在线段$AB$上,$S_{△ APC}=S_{△ AOC}$,$\therefore S_{△ ABC}-S_{△ PBC}=\dfrac{1}{2}×4×4$,$\therefore \dfrac{1}{2}×6×4-\dfrac{1}{2}×6×(-m)=8$,解得$m=-\dfrac{4}{3}$,$\therefore$点$P$的坐标为$(-\dfrac{4}{3},\dfrac{4}{3})$.

【分析】
（1）要确定直线AB的函数表达式，需先得到直线上两个点的坐标，已知点B坐标，先通过直线$y=-x-4$与x轴的交点求出点A的坐标，再利用待定系数法，代入两点坐标求解即可。
（2）首先计算$△ AOC$的面积，观察图形可知$△ APC$的面积可通过$△ ABC$的面积减去$△ PBC$的面积得到，设出点P的坐标（因P在AB上，可直接用AB的解析式表示纵坐标），根据两个三角形面积相等列方程求解即可。
【解析】
(1) 先求点A、C的坐标：
对于直线$y=-x-4$，令$y=0$，得$0=-x-4$，解得$x=-4$，$\therefore A(-4,0)$；令$x=0$，得$y=-4$，$\therefore C(0,-4)$。
设直线$AB$的函数表达式为$y=kx+b$（$k\ne0$），将$A(-4,0)$、$B(0,2)$代入表达式，得：
$\begin{cases} 0=-4k+b \\ b=2 \end{cases}$
把$b=2$代入第一个方程，得$0=-4k+2$，解得$k=\dfrac{1}{2}$，
$\therefore$直线$AB$的函数表达式为$y=\dfrac{1}{2}x+2$。
(2) 先计算相关线段长度：
由$A(-4,0)$、$C(0,-4)$、$B(0,2)$得，$OA=4$，$OC=4$，$OB=2$，则$BC=OB+OC=2+4=6$。
设点$P$的坐标为$(m,\dfrac{1}{2}m+2)$（因$P$在线段$AB$上，故纵坐标满足$AB$的解析式）。
先计算$S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}× OA× OC=\dfrac{1}{2}×4×4=8$。
根据图形面积关系：$S_{△ APC}=S_{△ ABC}-S_{△ PBC}$，结合题设$S_{△ APC}=S_{△ AOC}=8$，列方程：
$△ ABC$和$△ PBC$的底都是$BC$，高分别是点A和点P到y轴的距离，因P在第二象限，横坐标为负，$|x_P|=-m$，$|x_A|=4$，代入得：
$\dfrac{1}{2}×6×4 - \dfrac{1}{2}×6×(-m)=8$
化简得：$12 + 3m = 8$，解得$m=-\dfrac{4}{3}$。
将$m=-\dfrac{4}{3}$代入$y=\dfrac{1}{2}m+2$，得$y=\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{4}{3})+2=\dfrac{4}{3}$，
$\therefore$点$P$的坐标为$(-\dfrac{4}{3},\dfrac{4}{3})$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{1}{2}x+2$；(2) $(-\dfrac{4}{3},\dfrac{4}{3})$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数交点；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数基础综合题，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，处理面积问题时合理使用割补法，将不规则三角形的面积转化为易计算的两个三角形面积差，可有效降低计算难度。
【难度系数】
0.7