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3.(2025·宜兴期末)珍惜水资源,保护水环境,防止水污染.为扩大污水处理规模,某污水处理厂计划投入一笔资金购进 A,B 两种污水处理装备.已知购进 2 件 A 种装备和 1 件 B 种装备共需 3.5 万元,购进 1 件 A 种装备和 3 件 B 种装备共需 3 万元.
(1)求购进 1 件 A 种装备和 1 件 B 种装备各需多少万元；
(2)若该污水处理厂计划购进 A,B 两种装备共 10 件,且投入资金不少于 9.8 万元又不超过 12 万元,则有哪几种购买方案?哪种购买方案需要的资金最少,最少资金是多少万元?
(3)在(2)的方案下,由于国家对环保事业的扶持力度加大,每件 A 种装备降价 0.7 万元,每件B种装备降价0.2万元,在投入资金最少的情况下,该污水处理厂计划将节省的资金全部用于再次购买 A,B 两种装备(可以只购买一种),请直接写出再次购买装备的方案有哪几种?
(1)求购进 1 件 A 种装备和 1 件 B 种装备各需多少万元；
(2)若该污水处理厂计划购进 A,B 两种装备共 10 件,且投入资金不少于 9.8 万元又不超过 12 万元,则有哪几种购买方案?哪种购买方案需要的资金最少,最少资金是多少万元?
(3)在(2)的方案下,由于国家对环保事业的扶持力度加大,每件 A 种装备降价 0.7 万元,每件B种装备降价0.2万元,在投入资金最少的情况下,该污水处理厂计划将节省的资金全部用于再次购买 A,B 两种装备(可以只购买一种),请直接写出再次购买装备的方案有哪几种?
答案
3.解:(1)设购进1件A种装备需要a万元,购进1件B种装备需要b万元.
根据题意,得$\begin{cases} 2a+b=3.5,\\ a+3b=3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=1.5,\\ b=0.5. \end{cases}$
答:购进1件A种装备需要1.5万元,购进1件B种装备需要0.5万元.
(2)设购进A种装备x件,则购进B种装备(10-x)件.
根据题意,得$\begin{cases} 1.5x+0.5(10-x)≥ 9.8,\\ 1.5x+0.5(10-x)≤ 12, \end{cases}$
解得4.8≤x≤7.
∵x为非负整数,
∴x的值可为5,6,7,
∴有三种购买方案:
方案1:购进A种装备5件,B种装备5件,
方案2:购进A种装备6件,B种装备4件,
方案3:购进A种装备7件,B种装备3件.
方案1需要的资金为1.5×5+0.5×5=10(万元);
方案2需要的资金为1.5×6+0.5×4=11(万元);
方案3需要的资金为1.5×7+0.5×3=12(万元).
∵10＜11＜12,
∴方案1需要的资金最少,最少资金是10万元.
(3)在投入资金最少的情况下,该污水处理厂节省的资金为0.7×5+0.2×5=4.5(万元),
降价后,购进1件A种装备需要1.5-0.7=0.8(万元),
购进1件B种装备需要0.5-0.2=0.3(万元).
设再次购买A种装备m件,B种装备n件,
根据题意,得0.8m+0.3n=4.5,即8m+3n=45,
该方程的非负整数解为$\begin{cases} m=0,\\ n=15 \end{cases}$或$\begin{cases} m=3,\\ n=7, \end{cases}$
∴再次购买的方案有两种:
方案1:再次购买A种装备0件,B种装备15件,
方案2:再次购买A种装备3件,B种装备7件.
根据题意,得$\begin{cases} 2a+b=3.5,\\ a+3b=3, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=1.5,\\ b=0.5. \end{cases}$
答:购进1件A种装备需要1.5万元,购进1件B种装备需要0.5万元.
(2)设购进A种装备x件,则购进B种装备(10-x)件.
根据题意,得$\begin{cases} 1.5x+0.5(10-x)≥ 9.8,\\ 1.5x+0.5(10-x)≤ 12, \end{cases}$
解得4.8≤x≤7.
∵x为非负整数,
∴x的值可为5,6,7,
∴有三种购买方案:
方案1:购进A种装备5件,B种装备5件,
方案2:购进A种装备6件,B种装备4件,
方案3:购进A种装备7件,B种装备3件.
方案1需要的资金为1.5×5+0.5×5=10(万元);
方案2需要的资金为1.5×6+0.5×4=11(万元);
方案3需要的资金为1.5×7+0.5×3=12(万元).
∵10＜11＜12,
∴方案1需要的资金最少,最少资金是10万元.
(3)在投入资金最少的情况下,该污水处理厂节省的资金为0.7×5+0.2×5=4.5(万元),
降价后,购进1件A种装备需要1.5-0.7=0.8(万元),
购进1件B种装备需要0.5-0.2=0.3(万元).
设再次购买A种装备m件,B种装备n件,
根据题意,得0.8m+0.3n=4.5,即8m+3n=45,
该方程的非负整数解为$\begin{cases} m=0,\\ n=15 \end{cases}$或$\begin{cases} m=3,\\ n=7, \end{cases}$
∴再次购买的方案有两种:
方案1:再次购买A种装备0件,B种装备15件,
方案2:再次购买A种装备3件,B种装备7件.
解析
【分析】
(1) 第一问可利用题干给出的两个购买费用的等量关系，设未知数建立二元一次方程组求解A、B两种装备的单价。首先设1件A装备a万元，1件B装备b万元，根据“2件A+1件B总费用3.5万元”“1件A+3件B总费用3万元”列方程组，解方程组即可得到两种装备的单价。
(2) 第二问为方案选择问题，设购进A种装备x件，则B种装备为(10-x)件，根据总投入资金的范围列一元一次不等式组，求出x的取值范围，结合x为非负整数得到x的所有可能取值，即可得到全部购买方案；分别计算各方案的总费用，比较大小就能找到资金最少的方案。
(3) 第三问先计算资金最少方案下总共节省的资金，再算出降价后A、B两种装备的单价，设再次购买A装备m件、B装备n件，根据总节省资金等于再次购买的总费用列二元一次方程，求出方程的非负整数解，即可得到所有再次购买的方案。
【解析】
(1) 设购进1件A种装备需要a万元，购进1件B种装备需要b万元。
根据题意得$\begin{cases} 2a+b=3.5\\ a+3b=3 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} a=1.5\\ b=0.5 \end{cases}$。
(2) 设购进A种装备x件，则购进B种装备$(10-x)$件。
根据题意得$\begin{cases} 1.5x+0.5(10-x)≥ 9.8\\ 1.5x+0.5(10-x)≤ 12 \end{cases}$，
化简得$\begin{cases} x+5≥9.8\\ x+5≤12 \end{cases}$，解得$4.8≤x≤7$。
∵x为非负整数，
∴x可取5、6、7，对应三种购买方案：
方案1：购进A种装备5件，B种装备5件，总费用为$1.5×5+0.5×5=10$万元；
方案2：购进A种装备6件，B种装备4件，总费用为$1.5×6+0.5×4=11$万元；
方案3：购进A种装备7件，B种装备3件，总费用为$1.5×7+0.5×3=12$万元。
∵$10＜11＜12$，
∴方案1所需资金最少。
(3) 最少资金方案下节省的总资金为$0.7×5+0.2×5=4.5$万元，
降价后A种装备单价为$1.5-0.7=0.8$万元，B种装备单价为$0.5-0.2=0.3$万元。
设再次购买A种装备m件，B种装备n件，根据题意得$0.8m+0.3n=4.5$，即$8m+3n=45$。
该方程的非负整数解为$\begin{cases} m=0\\ n=15 \end{cases}$、$\begin{cases} m=3\\ n=7 \end{cases}$，对应两种再次购买方案。
【答案】
(1) 购进1件A种装备需1.5万元，购进1件B种装备需0.5万元；
(2) 共有3种购买方案：方案1购A5件、B5件，方案2购A6件、B4件，方案3购A7件、B3件；其中购进A5件、B5件的方案所需资金最少，最少资金为10万元；
(3) 再次购买的方案有2种：方案1购A0件、B15件，方案2购A3件、B7件。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式组应用，方案最优选择
【点评】
本题结合环保热点背景考查方程与不等式的实际应用，解题核心是准确提取题干中的等量关系和不等关系，求解时要注意未知数为非负整数的隐含条件，能够有效考查学生分析、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问可利用题干给出的两个购买费用的等量关系，设未知数建立二元一次方程组求解A、B两种装备的单价。首先设1件A装备a万元，1件B装备b万元，根据“2件A+1件B总费用3.5万元”“1件A+3件B总费用3万元”列方程组，解方程组即可得到两种装备的单价。
(2) 第二问为方案选择问题，设购进A种装备x件，则B种装备为(10-x)件，根据总投入资金的范围列一元一次不等式组，求出x的取值范围，结合x为非负整数得到x的所有可能取值，即可得到全部购买方案；分别计算各方案的总费用，比较大小就能找到资金最少的方案。
(3) 第三问先计算资金最少方案下总共节省的资金，再算出降价后A、B两种装备的单价，设再次购买A装备m件、B装备n件，根据总节省资金等于再次购买的总费用列二元一次方程，求出方程的非负整数解，即可得到所有再次购买的方案。
【解析】
(1) 设购进1件A种装备需要a万元，购进1件B种装备需要b万元。
根据题意得$\begin{cases} 2a+b=3.5\\ a+3b=3 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} a=1.5\\ b=0.5 \end{cases}$。
(2) 设购进A种装备x件，则购进B种装备$(10-x)$件。
根据题意得$\begin{cases} 1.5x+0.5(10-x)≥ 9.8\\ 1.5x+0.5(10-x)≤ 12 \end{cases}$，
化简得$\begin{cases} x+5≥9.8\\ x+5≤12 \end{cases}$，解得$4.8≤x≤7$。
∵x为非负整数，
∴x可取5、6、7，对应三种购买方案：
方案1：购进A种装备5件，B种装备5件，总费用为$1.5×5+0.5×5=10$万元；
方案2：购进A种装备6件，B种装备4件，总费用为$1.5×6+0.5×4=11$万元；
方案3：购进A种装备7件，B种装备3件，总费用为$1.5×7+0.5×3=12$万元。
∵$10＜11＜12$，
∴方案1所需资金最少。
(3) 最少资金方案下节省的总资金为$0.7×5+0.2×5=4.5$万元，
降价后A种装备单价为$1.5-0.7=0.8$万元，B种装备单价为$0.5-0.2=0.3$万元。
设再次购买A种装备m件，B种装备n件，根据题意得$0.8m+0.3n=4.5$，即$8m+3n=45$。
该方程的非负整数解为$\begin{cases} m=0\\ n=15 \end{cases}$、$\begin{cases} m=3\\ n=7 \end{cases}$，对应两种再次购买方案。
【答案】
(1) 购进1件A种装备需1.5万元，购进1件B种装备需0.5万元；
(2) 共有3种购买方案：方案1购A5件、B5件，方案2购A6件、B4件，方案3购A7件、B3件；其中购进A5件、B5件的方案所需资金最少，最少资金为10万元；
(3) 再次购买的方案有2种：方案1购A0件、B15件，方案2购A3件、B7件。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式组应用，方案最优选择
【点评】
本题结合环保热点背景考查方程与不等式的实际应用，解题核心是准确提取题干中的等量关系和不等关系，求解时要注意未知数为非负整数的隐含条件，能够有效考查学生分析、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
4. 某酒店有三人间和双人间两种客房，标价分别为：三人间每人每天 200 元，双人间每人每天 300 元. 凡旅游团体入住一律五折优惠. 一个 50 人的旅游团体到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房.
(1)如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费 6300 元. 求租住了三人间、双人间客房各多少间？
(2)一天 6300 元的住宿费是否为最低？如果不是最低，请尝试设计一个方案，使得一天的住宿费用最低，并求出最低费用.
(1)如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费 6300 元. 求租住了三人间、双人间客房各多少间？
(2)一天 6300 元的住宿费是否为最低？如果不是最低，请尝试设计一个方案，使得一天的住宿费用最低，并求出最低费用.
答案
4.解:(1)由题意,三人间每人每天200×0.5=100(元),双人间每人每天300×0.5=150(元).
设三人间有a间,双人间有b间,
根据题意,得$\begin{cases} 100×3a+150×2b=6300,\\ 3a+2b=50, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=8,\\ b=13. \end{cases}$
答:租住了三人间8间,双人间13间.
(2)由题意,设三人间住了x人,则双人间住了(50-x)人,
∴一天的住宿费用为y=100x+150×(50-x)=-50x+7500(0≤x≤50).
∵-50＜0,
∴y随x的增大而减小,故当x满足$\frac{x}{3}$,$\frac{50-x}{2}$为整数,且$\frac{x}{3}$最大时,即x=48时,住宿费用最低,
此时y=-50×48+7500=5100＜6300.
答:一天6300元的住宿费不是最低的.住宿费用最低的设计方案为48人住三人间,2人住双人间,最低费用为5100元.
设三人间有a间,双人间有b间,
根据题意,得$\begin{cases} 100×3a+150×2b=6300,\\ 3a+2b=50, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=8,\\ b=13. \end{cases}$
答:租住了三人间8间,双人间13间.
(2)由题意,设三人间住了x人,则双人间住了(50-x)人,
∴一天的住宿费用为y=100x+150×(50-x)=-50x+7500(0≤x≤50).
∵-50＜0,
∴y随x的增大而减小,故当x满足$\frac{x}{3}$,$\frac{50-x}{2}$为整数,且$\frac{x}{3}$最大时,即x=48时,住宿费用最低,
此时y=-50×48+7500=5100＜6300.
答:一天6300元的住宿费不是最低的.住宿费用最低的设计方案为48人住三人间,2人住双人间,最低费用为5100元.
解析
【分析】
本题分两小问，解题思路如下：
(1) 首先计算团体优惠后两类客房的人均住宿费用，再找两个等量关系：①三人间入住总人数+双人间入住总人数=50；②三人间总住宿费+双人间总住宿费=6300元，设两类客房的间数为未知数列二元一次方程组求解即可。
(2) 要判断住宿费是否最低，先对比人均价格：优惠后三人间人均100元，比双人间人均150元更便宜，因此尽量多住三人间总费用更低。设住三人间的人数为x，总费用为y，列出y关于x的一次函数，根据一次函数增减性可知x越大y越小，同时要满足x是3的倍数、剩余人数是2的倍数，找到符合条件的最大x代入即可算出最低费用。
【解析】
(1) 先计算优惠后人均住宿价格：
三人间每人每天：$200×0.5=100$（元），双人间每人每天：$300×0.5=150$（元）
设租住三人间$a$间，双人间$b$间，根据题意列方程组：
$\begin{cases} 100×3a+150×2b=6300\\ 3a+2b=50 \end{cases}$
化简求解得：$\begin{cases} a=8\\ b=13 \end{cases}$
(2) 设三人间共住$x$人，则双人间住$(50-x)$人，总住宿费用为$y$元，可得：
$y=100x+150(50-x)=-50x+7500$（$0≤ x≤50$）
$\because -50＜0$，$\therefore y$随$x$的增大而减小，要使$y$最小，需$x$尽可能大，同时满足$\frac{x}{3}$、$\frac{50-x}{2}$均为非负整数。
符合条件的最大$x$为48（48是3的倍数，$50-48=2$是2的倍数），代入得：
$y=-50×48+7500=5100＜6300$
【答案】
(1) 租住了三人间8间，双人间13间；
(2) 一天6300元的住宿费不是最低的，住宿费用最低的方案为48人住三人间，2人住双人间，最低费用为5100元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一次函数性质，最优方案设计
【点评】
本题结合生活实际场景，既考查了用二元一次方程组解决实际问题的能力，也考查了一次函数增减性在方案选择中的应用，解题时需注意实际问题中“客房住满、人数为整数”的隐含约束条件。
【难度系数】
0.6
本题分两小问，解题思路如下：
(1) 首先计算团体优惠后两类客房的人均住宿费用，再找两个等量关系：①三人间入住总人数+双人间入住总人数=50；②三人间总住宿费+双人间总住宿费=6300元，设两类客房的间数为未知数列二元一次方程组求解即可。
(2) 要判断住宿费是否最低，先对比人均价格：优惠后三人间人均100元，比双人间人均150元更便宜，因此尽量多住三人间总费用更低。设住三人间的人数为x，总费用为y，列出y关于x的一次函数，根据一次函数增减性可知x越大y越小，同时要满足x是3的倍数、剩余人数是2的倍数，找到符合条件的最大x代入即可算出最低费用。
【解析】
(1) 先计算优惠后人均住宿价格：
三人间每人每天：$200×0.5=100$（元），双人间每人每天：$300×0.5=150$（元）
设租住三人间$a$间，双人间$b$间，根据题意列方程组：
$\begin{cases} 100×3a+150×2b=6300\\ 3a+2b=50 \end{cases}$
化简求解得：$\begin{cases} a=8\\ b=13 \end{cases}$
(2) 设三人间共住$x$人，则双人间住$(50-x)$人，总住宿费用为$y$元，可得：
$y=100x+150(50-x)=-50x+7500$（$0≤ x≤50$）
$\because -50＜0$，$\therefore y$随$x$的增大而减小，要使$y$最小，需$x$尽可能大，同时满足$\frac{x}{3}$、$\frac{50-x}{2}$均为非负整数。
符合条件的最大$x$为48（48是3的倍数，$50-48=2$是2的倍数），代入得：
$y=-50×48+7500=5100＜6300$
【答案】
(1) 租住了三人间8间，双人间13间；
(2) 一天6300元的住宿费不是最低的，住宿费用最低的方案为48人住三人间，2人住双人间，最低费用为5100元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一次函数性质，最优方案设计
【点评】
本题结合生活实际场景，既考查了用二元一次方程组解决实际问题的能力，也考查了一次函数增减性在方案选择中的应用，解题时需注意实际问题中“客房住满、人数为整数”的隐含约束条件。
【难度系数】
0.6
