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1.【知识链接】
实验目的:探究浮力的大小与哪些因素有关.
实验过程:如图①,在两个完全相同的溢水杯中,分别盛满甲、乙两种不同密度的液体,将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A,B的下方,从离桌面20 cm的高度,分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中,通过观察弹簧测力计示数的变化,探究浮力大小的变化.(溢水杯的杯底厚度忽略不计)
实验结论:物体在液体中所受浮力的大小,跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关.物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大,浮力就越大.
总结公式:当小铝块位于液面上方时,$F_{拉力}=G_{重力}$;当小铝块浸入液面后,$F_{拉力}=G_{重力}-F_{浮力}$.
【建立模型】在实验探究的过程中,实验小组发现:弹簧测力计A,B各自的示数$F_{拉力}$(N)与小铝块各自下降的高度$x$(cm)之间的关系如图②所示.
【解决问题】
(1)当小铝块下降10 cm时,直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数;
(2)当$6≤x≤10$时,求弹簧测力计A的示数$F_{拉力}$关于$x$的函数表达式;
(3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8 cm时,甲液体中的小铝块受到的浮力为$m$(N),若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为$m$(N),则乙液体中小铝块浸入的深度为$n$(cm),直接写出$m,n$的值.
实验目的:探究浮力的大小与哪些因素有关.
实验过程:如图①,在两个完全相同的溢水杯中,分别盛满甲、乙两种不同密度的液体,将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A,B的下方,从离桌面20 cm的高度,分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中,通过观察弹簧测力计示数的变化,探究浮力大小的变化.(溢水杯的杯底厚度忽略不计)
实验结论:物体在液体中所受浮力的大小,跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关.物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大,浮力就越大.
总结公式:当小铝块位于液面上方时,$F_{拉力}=G_{重力}$;当小铝块浸入液面后,$F_{拉力}=G_{重力}-F_{浮力}$.
【建立模型】在实验探究的过程中,实验小组发现:弹簧测力计A,B各自的示数$F_{拉力}$(N)与小铝块各自下降的高度$x$(cm)之间的关系如图②所示.
【解决问题】
(1)当小铝块下降10 cm时,直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数;
(2)当$6≤x≤10$时,求弹簧测力计A的示数$F_{拉力}$关于$x$的函数表达式;
(3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8 cm时,甲液体中的小铝块受到的浮力为$m$(N),若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为$m$(N),则乙液体中小铝块浸入的深度为$n$(cm),直接写出$m,n$的值.
答案
(1)当小铝块下降10 cm时,弹簧测力计A的示数为2.8 N,弹簧测力计B的示数为2.5 N.
(2)当6≤x≤10时,设弹簧测力计A的示数$F_{拉力}$关于x的函数表达式为$F_{拉力}=kx+b$(k,b为常数,且k≠0),将(6,4)和(10,2.8)分别代入$F_{拉力}=kx+b$,
得$\begin{cases}6k+b=4,\\10k+b=2.8,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-0.3,\\b=5.8,\end{cases}$
∴当6≤x≤10时,弹簧测力计A的示数$F_{拉力}$关于x的函数表达式为$F_{拉力}=-0.3x+5.8$.
(3)根据图象,圆柱体小铝块所受重力为4 N,
当x=8时,$F_{拉力}=-0.3×8+5.8=3.4$,
4-3.4=0.6(N),
∴m=0.6.
当6≤x≤10时,设弹簧测力计B的示数$F_{拉力}$关于x的函数表达式为$F_{拉力}=k_1x+b_1$($k_1,b_1$为常数,且$k_1≠0$),将(6,4)和(10,2.5)分别代入$F_{拉力}=k_1x+b_1$,
得$\begin{cases}6k_1+b_1=4,\\10k_1+b_1=2.5,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=-0.375,\\b_1=6.25,\end{cases}$
∴当6≤x≤10时,弹簧测力计B的示数$F_{拉力}$关于x的函数表达式为$F_{拉力}=-0.375x+6.25$.
令$-0.375x+6.25=3.4$,解得x=7.6,
7.6-6=1.6(cm),
∴n=1.6.
(2)当6≤x≤10时,设弹簧测力计A的示数$F_{拉力}$关于x的函数表达式为$F_{拉力}=kx+b$(k,b为常数,且k≠0),将(6,4)和(10,2.8)分别代入$F_{拉力}=kx+b$,
得$\begin{cases}6k+b=4,\\10k+b=2.8,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-0.3,\\b=5.8,\end{cases}$
∴当6≤x≤10时,弹簧测力计A的示数$F_{拉力}$关于x的函数表达式为$F_{拉力}=-0.3x+5.8$.
(3)根据图象,圆柱体小铝块所受重力为4 N,
当x=8时,$F_{拉力}=-0.3×8+5.8=3.4$,
4-3.4=0.6(N),
∴m=0.6.
当6≤x≤10时,设弹簧测力计B的示数$F_{拉力}$关于x的函数表达式为$F_{拉力}=k_1x+b_1$($k_1,b_1$为常数,且$k_1≠0$),将(6,4)和(10,2.5)分别代入$F_{拉力}=k_1x+b_1$,
得$\begin{cases}6k_1+b_1=4,\\10k_1+b_1=2.5,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=-0.375,\\b_1=6.25,\end{cases}$
∴当6≤x≤10时,弹簧测力计B的示数$F_{拉力}$关于x的函数表达式为$F_{拉力}=-0.375x+6.25$.
令$-0.375x+6.25=3.4$,解得x=7.6,
7.6-6=1.6(cm),
∴n=1.6.
解析
【分析】
1. 第(1)问：直接观察函数图象，找到横坐标x=10cm对应的两个弹簧测力计的纵坐标数值，即可直接读取结果。
2. 第(2)问：6≤x≤10区间内弹簧测力计A的示数与x符合一次函数关系，使用待定系数法，从图象中提取该段的两个已知点坐标(6,4)和(10,2.8)，代入一次函数通式求解参数，即可得到函数表达式，注意标注自变量取值范围。
3. 第(3)问：首先从图象可得小铝块重力为4N，将x=8代入第(2)问的A的函数表达式得到拉力，根据浮力公式F浮=G-F拉算出m的值；同理用待定系数法求出6≤x≤10区间内弹簧测力计B的函数表达式，当乙中浮力也为m时，拉力等于G-m，代入B的表达式求出对应x值，由于x=6cm时小铝块才刚接触乙液面，因此浸入深度n=x-6cm，计算即可得到n的值。
【解析】
(1) 观察图②的函数图象，当x=10cm时，可直接读取弹簧测力计A的示数为2.8N，弹簧测力计B的示数为2.5N。
(2) 当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数$F_{拉力}$关于x的函数表达式为$F_{拉力}=kx+b$（k、b为常数，且k≠0），
将图象上的点(6,4)和(10,2.8)代入表达式，得：
$\begin{cases}6k+b=4\\10k+b=2.8\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-0.3\\b=5.8\end{cases}$
因此当6≤x≤10时，弹簧测力计A的示数$F_{拉力}$关于x的函数表达式为$F_{拉力}=-0.3x+5.8$。
(3) 由图象可知，小铝块未浸入液体时弹簧测力计示数为4N，即小铝块重力G=4N。
当x=8cm时，代入A的函数表达式得：$F_{拉力}=-0.3×8+5.8=3.4$N，
根据浮力公式，此时浮力$m=G-F_{拉力}=4-3.4=0.6$N。
当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数$F_{拉力}$关于x的函数表达式为$F_{拉力}=k_1x+b_1$（$k_1$、$b_1$为常数，且$k_1≠0$），
将图象上的点(6,4)和(10,2.5)代入表达式，得：
$\begin{cases}6k_1+b_1=4\\10k_1+b_1=2.5\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=-0.375\\b_1=6.25\end{cases}$
因此B的函数表达式为$F_{拉力}=-0.375x+6.25$（6≤x≤10）。
当乙中浮力也为0.6N时，此时拉力为$4-0.6=3.4$N，令$-0.375x+6.25=3.4$，解得x=7.6cm，
由于x=6cm时小铝块刚接触乙液面，因此浸入深度$n=7.6-6=1.6$cm。
【答案】
(1) 弹簧测力计A的示数为2.8 N，弹簧测力计B的示数为2.5 N；
(2) $F_{拉力}=-0.3x+5.8$（$6≤x≤10$）；
(3) $m=0.6$，$n=1.6$。
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；浮力计算
【点评】
本题为跨学科综合题，以物理浮力实验为背景，既考查了学生从函数图象提取信息的能力，也考查了待定系数法的应用、结合函数解析式解决实际问题的能力，要求学生能灵活融合不同学科的知识解题。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：直接观察函数图象，找到横坐标x=10cm对应的两个弹簧测力计的纵坐标数值，即可直接读取结果。
2. 第(2)问：6≤x≤10区间内弹簧测力计A的示数与x符合一次函数关系，使用待定系数法，从图象中提取该段的两个已知点坐标(6,4)和(10,2.8)，代入一次函数通式求解参数，即可得到函数表达式，注意标注自变量取值范围。
3. 第(3)问：首先从图象可得小铝块重力为4N，将x=8代入第(2)问的A的函数表达式得到拉力，根据浮力公式F浮=G-F拉算出m的值；同理用待定系数法求出6≤x≤10区间内弹簧测力计B的函数表达式，当乙中浮力也为m时，拉力等于G-m，代入B的表达式求出对应x值，由于x=6cm时小铝块才刚接触乙液面，因此浸入深度n=x-6cm，计算即可得到n的值。
【解析】
(1) 观察图②的函数图象，当x=10cm时，可直接读取弹簧测力计A的示数为2.8N，弹簧测力计B的示数为2.5N。
(2) 当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数$F_{拉力}$关于x的函数表达式为$F_{拉力}=kx+b$（k、b为常数，且k≠0），
将图象上的点(6,4)和(10,2.8)代入表达式，得：
$\begin{cases}6k+b=4\\10k+b=2.8\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-0.3\\b=5.8\end{cases}$
因此当6≤x≤10时，弹簧测力计A的示数$F_{拉力}$关于x的函数表达式为$F_{拉力}=-0.3x+5.8$。
(3) 由图象可知，小铝块未浸入液体时弹簧测力计示数为4N，即小铝块重力G=4N。
当x=8cm时，代入A的函数表达式得：$F_{拉力}=-0.3×8+5.8=3.4$N，
根据浮力公式，此时浮力$m=G-F_{拉力}=4-3.4=0.6$N。
当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数$F_{拉力}$关于x的函数表达式为$F_{拉力}=k_1x+b_1$（$k_1$、$b_1$为常数，且$k_1≠0$），
将图象上的点(6,4)和(10,2.5)代入表达式，得：
$\begin{cases}6k_1+b_1=4\\10k_1+b_1=2.5\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=-0.375\\b_1=6.25\end{cases}$
因此B的函数表达式为$F_{拉力}=-0.375x+6.25$（6≤x≤10）。
当乙中浮力也为0.6N时，此时拉力为$4-0.6=3.4$N，令$-0.375x+6.25=3.4$，解得x=7.6cm，
由于x=6cm时小铝块刚接触乙液面，因此浸入深度$n=7.6-6=1.6$cm。
【答案】
(1) 弹簧测力计A的示数为2.8 N，弹簧测力计B的示数为2.5 N；
(2) $F_{拉力}=-0.3x+5.8$（$6≤x≤10$）；
(3) $m=0.6$，$n=1.6$。
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；浮力计算
【点评】
本题为跨学科综合题，以物理浮力实验为背景，既考查了学生从函数图象提取信息的能力，也考查了待定系数法的应用、结合函数解析式解决实际问题的能力，要求学生能灵活融合不同学科的知识解题。
【难度系数】
0.6
