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2.(2025·江阴模拟)(1)【阅读理解】倡导垃圾分类,共享绿色生活.为了对回收的垃圾进行更精准的分类,某垃圾处理厂计划向机器人公司采购一批包含 A,B 两款不同型号的垃圾分拣机器人.已知 1 台 A 型机器人和 1 台 B 型机器人同时工作 10 小时,可处理垃圾 5 吨;若 1 台 B 型机器人先工作 5 小时后,再加入 1 台 A 型机器人同时工作,则还需工作 8 小时才能处理完 5 吨垃圾.问 1 台 A 型机器人和 1 台 B 型机器人每小时各处理垃圾多少吨? 可以用线段图(如图)来分析本题中的数量关系.
由图可得如下的数量关系:
①1 台 A 型 10 小时的垃圾处理量+1 台 B 型 10 小时的垃圾处理量=5 吨;
②
(2)【问题解决】请你通过列方程(组)解答(1)中的问题.
(3)【拓展提升】据市场调研,机器人公司对 A,B 两款机器人的报价如下表.若垃圾处理厂采购的这批机器人(A,B 两款机器人的总台数不超过 80)每小时共能处理垃圾 20 吨,请利用(2)中的数据回答:如何采购才能使总费用最省?最少费用是多少万元?
由图可得如下的数量关系:
①1 台 A 型 10 小时的垃圾处理量+1 台 B 型 10 小时的垃圾处理量=5 吨;
②
1台A型8小时的垃圾处理量
+1台B型13小时的垃圾处理量
=5 吨.(2)【问题解决】请你通过列方程(组)解答(1)中的问题.
(3)【拓展提升】据市场调研,机器人公司对 A,B 两款机器人的报价如下表.若垃圾处理厂采购的这批机器人(A,B 两款机器人的总台数不超过 80)每小时共能处理垃圾 20 吨,请利用(2)中的数据回答:如何采购才能使总费用最省?最少费用是多少万元?
答案
(1)1台A型8小时的垃圾处理量 1台B型13小时的垃圾处理量
(2)解:设1台A型机器人和1台B型机器人每小时分别处理垃圾x吨和y吨,根据题意,得
$\begin{cases}10x+10y=5,\\8x+13y=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=0.3,\\y=0.2.\end{cases}$
答:1台A型机器人和1台B型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨.
(3)解:设采购A型机器人t台,则采购B型机器人$\frac{20-0.3t}{0.2}=(100-1.5t)$台,
根据题意,得$\begin{cases}100-1.5t+t≤80,\\0.3t≤20,\\0.2(100-1.5t)≤20,\end{cases}$
解得$40≤t≤66\frac{2}{3}$(t为整数).
由题意,可知采购费用为20t+14(100-1.5t)=(1400-t)万元,
∴当t=66时,采购费用最低,为1400-66=1334(万元),
此时100-1.5t=1,即采购A型机器人66台,B型机器人1台.
答:当采购A型机器人66台,B型机器人1台时,采购费用最低,为1334万元.
(2)解:设1台A型机器人和1台B型机器人每小时分别处理垃圾x吨和y吨,根据题意,得
$\begin{cases}10x+10y=5,\\8x+13y=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=0.3,\\y=0.2.\end{cases}$
答:1台A型机器人和1台B型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨.
(3)解:设采购A型机器人t台,则采购B型机器人$\frac{20-0.3t}{0.2}=(100-1.5t)$台,
根据题意,得$\begin{cases}100-1.5t+t≤80,\\0.3t≤20,\\0.2(100-1.5t)≤20,\end{cases}$
解得$40≤t≤66\frac{2}{3}$(t为整数).
由题意,可知采购费用为20t+14(100-1.5t)=(1400-t)万元,
∴当t=66时,采购费用最低,为1400-66=1334(万元),
此时100-1.5t=1,即采购A型机器人66台,B型机器人1台.
答:当采购A型机器人66台,B型机器人1台时,采购费用最低,为1334万元.
解析
【分析】
(1) 先梳理第二个工作场景的工作时长：1台B型机器人先单独工作5小时，再和1台A型机器人共同工作8小时，因此A型总工作时长为8小时，B型总工作时长为$5+8=13$小时，总处理量为5吨，据此补全等量关系即可。
(2) 本题为二元一次方程组实际应用题，设1台A型、B型机器人每小时分别处理垃圾$x$吨、$y$吨，将(1)得到的两个等量关系转化为二元一次方程，联立成方程组求解即可得到两类机器人的工作效率。
(3) 本题为最值类实际应用题，首先设采购A型机器人$t$台，根据每小时总处理量20吨的条件，用含$t$的式子表示出B型机器人的采购数量；再结合总台数不超过80的限制列不等式组，求出$t$的取值范围；最后根据报价写出总费用关于$t$的一次函数表达式，结合一次函数的增减性，在$t$的取值范围内取符合要求的整数，即可求出最低总费用。
【解析】
(1) 由第二个工作场景的工作时长和总处理量可得等量关系：1台A型8小时的垃圾处理量 + 1台B型13小时的垃圾处理量 = 5吨。
(2) 解：设1台A型机器人每小时处理垃圾$x$吨，1台B型机器人每小时处理垃圾$y$吨，根据题意列方程组：
$\begin{cases}10x+10y=5,\\8x+13y=5,\end{cases}$
化简第一个方程得$x+y=0.5$，即$x=0.5-y$，代入第二个方程得：
$8(0.5-y)+13y=5$，解得$y=0.2$，代入$x=0.5-y$得$x=0.3$。
即方程组的解为$\begin{cases}x=0.3,\\y=0.2.\end{cases}$
(3) 解：设采购A型机器人$t$台，由每小时总处理量20吨可得，B型机器人的采购数量为$\frac{20-0.3t}{0.2}=(100-1.5t)$台。
根据总台数不超过80、单类机器人处理量不超过总处理量的限制，列不等式组：
$\begin{cases}100-1.5t+t≤80,\\0.3t≤20,\\0.2(100-1.5t)≤20,\end{cases}$
解得$40≤t≤66\frac{2}{3}$（$t$为正整数）。
设总采购费用为$W$万元，由报价可得：
$W=20t+14(100-1.5t)=1400-t$，
因为$W$是关于$t$的一次函数，且一次项系数为$-1＜0$，所以$W$随$t$的增大而减小，因此当$t$取最大值66时，总费用最低。
此时$W_{最小}=1400-66=1334$（万元），B型机器人数量为$100-1.5×66=1$（台）。
【答案】
(1)1台A型8小时的垃圾处理量 1台B型13小时的垃圾处理量
(2)1台A型机器人每小时处理垃圾0.3吨，1台B型机器人每小时处理垃圾0.2吨。
(3)采购A型机器人66台，B型机器人1台时总费用最省，最少费用为1334万元。
【知识点】
二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的最值应用
【点评】
本题以垃圾分类的社会热点为背景，融合了方程、不等式、函数三类核心知识的实际应用，解题时需要先理清题目中的等量关系和不等关系，逐步推导，最后结合一次函数的增减性求解最值，能够有效考察学生分析问题、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 先梳理第二个工作场景的工作时长：1台B型机器人先单独工作5小时，再和1台A型机器人共同工作8小时，因此A型总工作时长为8小时，B型总工作时长为$5+8=13$小时，总处理量为5吨，据此补全等量关系即可。
(2) 本题为二元一次方程组实际应用题，设1台A型、B型机器人每小时分别处理垃圾$x$吨、$y$吨，将(1)得到的两个等量关系转化为二元一次方程，联立成方程组求解即可得到两类机器人的工作效率。
(3) 本题为最值类实际应用题，首先设采购A型机器人$t$台，根据每小时总处理量20吨的条件，用含$t$的式子表示出B型机器人的采购数量；再结合总台数不超过80的限制列不等式组，求出$t$的取值范围；最后根据报价写出总费用关于$t$的一次函数表达式，结合一次函数的增减性，在$t$的取值范围内取符合要求的整数，即可求出最低总费用。
【解析】
(1) 由第二个工作场景的工作时长和总处理量可得等量关系：1台A型8小时的垃圾处理量 + 1台B型13小时的垃圾处理量 = 5吨。
(2) 解：设1台A型机器人每小时处理垃圾$x$吨，1台B型机器人每小时处理垃圾$y$吨，根据题意列方程组：
$\begin{cases}10x+10y=5,\\8x+13y=5,\end{cases}$
化简第一个方程得$x+y=0.5$，即$x=0.5-y$，代入第二个方程得：
$8(0.5-y)+13y=5$，解得$y=0.2$，代入$x=0.5-y$得$x=0.3$。
即方程组的解为$\begin{cases}x=0.3,\\y=0.2.\end{cases}$
(3) 解：设采购A型机器人$t$台，由每小时总处理量20吨可得，B型机器人的采购数量为$\frac{20-0.3t}{0.2}=(100-1.5t)$台。
根据总台数不超过80、单类机器人处理量不超过总处理量的限制，列不等式组：
$\begin{cases}100-1.5t+t≤80,\\0.3t≤20,\\0.2(100-1.5t)≤20,\end{cases}$
解得$40≤t≤66\frac{2}{3}$（$t$为正整数）。
设总采购费用为$W$万元，由报价可得：
$W=20t+14(100-1.5t)=1400-t$，
因为$W$是关于$t$的一次函数，且一次项系数为$-1＜0$，所以$W$随$t$的增大而减小，因此当$t$取最大值66时，总费用最低。
此时$W_{最小}=1400-66=1334$（万元），B型机器人数量为$100-1.5×66=1$（台）。
【答案】
(1)1台A型8小时的垃圾处理量 1台B型13小时的垃圾处理量
(2)1台A型机器人每小时处理垃圾0.3吨，1台B型机器人每小时处理垃圾0.2吨。
(3)采购A型机器人66台，B型机器人1台时总费用最省，最少费用为1334万元。
【知识点】
二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的最值应用
【点评】
本题以垃圾分类的社会热点为背景，融合了方程、不等式、函数三类核心知识的实际应用，解题时需要先理清题目中的等量关系和不等关系，逐步推导，最后结合一次函数的增减性求解最值，能够有效考察学生分析问题、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
