登录
1.某市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升.为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同.看图解答下列问题：
（1）直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
（2）求方案二$y$关于$x$的函数表达式；
（3）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案？
（1）直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
（2）求方案二$y$关于$x$的函数表达式；
（3）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案？
答案
1.解:(1)观察图象得方案一与方案二相交于点(30,1200),
∴员工生产30件产品时,两种方案付给的报酬一样多.
(2)设方案二的函数表达式为y=kx+b,
将(0,600),(30,1200)代入,得
$\begin{cases} 30k+b=1200,\\ b=600, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=20,\\ b=600, \end{cases}$
即方案二y关于x的函数表达式为y=20x+600.
(3)由两方案的图象交点(30,1200)可知,
若生产件数x的取值范围为0≤x＜30,则选择方案二;
若生产件数x=30,则选择两个方案都可以;
若生产件数x的取值范围为x＞30,则选择方案一.
∴员工生产30件产品时,两种方案付给的报酬一样多.
(2)设方案二的函数表达式为y=kx+b,
将(0,600),(30,1200)代入,得
$\begin{cases} 30k+b=1200,\\ b=600, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=20,\\ b=600, \end{cases}$
即方案二y关于x的函数表达式为y=20x+600.
(3)由两方案的图象交点(30,1200)可知,
若生产件数x的取值范围为0≤x＜30,则选择方案二;
若生产件数x=30,则选择两个方案都可以;
若生产件数x的取值范围为x＞30,则选择方案一.
解析
【分析】
1. 第（1）问：两种方案报酬相等对应两个一次函数图像的交点，交点的横坐标就是报酬相同时的生产件数，直接读取图像交点坐标即可得到结果。
2. 第（2）问：求一次函数表达式使用待定系数法，先设出函数通式，再从图中找到方案二经过的两个已知点，代入通式得到二元一次方程组，解出未知数就能确定函数表达式。
3. 第（3）问：根据函数图像的高低判断对应报酬的多少，结合交点横坐标30分三种情况讨论，分别给出不同生产能力下的最优选择建议。
【解析】
(1) 观察图像可知，方案一与方案二的图像相交于点$(30,1200)$，即生产30件产品时两种方案报酬均为1200元，因此员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多。
(2) 设方案二的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，
由图可知方案二图像经过$(0,600)$和$(30,1200)$两点，将两点坐标代入表达式得：
$\begin{cases}30k + b = 1200 \\b = 600\end{cases}$
把$b=600$代入$30k + b = 1200$，解得$k=20$，
因此方案二$y$关于$x$的函数表达式为$y=20x+600$。
(3) 结合两图像交点$(30,1200)$分析：
当$0≤ x＜30$时，方案二图像在方案一上方，即方案二报酬更高，选择方案二；
当$x=30$时，两种方案报酬相同，两个方案都可选择；
当$x＞30$时，方案一图像在方案二上方，即方案一报酬更高，选择方案一。
【答案】
(1) 30件；
(2) $y=20x+600$；
(3) 若月生产件数少于30件选择方案二，若月生产件数等于30件两个方案均可，若月生产件数多于30件选择方案一。
【知识点】
一次函数的图像、待定系数法、一次函数的实际应用
【点评】
本题以实际薪酬方案为载体，考查一次函数的应用，需要结合数形结合思想读取图像信息，通过待定系数法求函数解析式，再分情况讨论得到最优方案，题目贴近生活实际，能有效考查知识应用能力。
【难度系数】
0.7
1. 第（1）问：两种方案报酬相等对应两个一次函数图像的交点，交点的横坐标就是报酬相同时的生产件数，直接读取图像交点坐标即可得到结果。
2. 第（2）问：求一次函数表达式使用待定系数法，先设出函数通式，再从图中找到方案二经过的两个已知点，代入通式得到二元一次方程组，解出未知数就能确定函数表达式。
3. 第（3）问：根据函数图像的高低判断对应报酬的多少，结合交点横坐标30分三种情况讨论，分别给出不同生产能力下的最优选择建议。
【解析】
(1) 观察图像可知，方案一与方案二的图像相交于点$(30,1200)$，即生产30件产品时两种方案报酬均为1200元，因此员工生产30件产品时，两种方案付给的报酬一样多。
(2) 设方案二的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，
由图可知方案二图像经过$(0,600)$和$(30,1200)$两点，将两点坐标代入表达式得：
$\begin{cases}30k + b = 1200 \\b = 600\end{cases}$
把$b=600$代入$30k + b = 1200$，解得$k=20$，
因此方案二$y$关于$x$的函数表达式为$y=20x+600$。
(3) 结合两图像交点$(30,1200)$分析：
当$0≤ x＜30$时，方案二图像在方案一上方，即方案二报酬更高，选择方案二；
当$x=30$时，两种方案报酬相同，两个方案都可选择；
当$x＞30$时，方案一图像在方案二上方，即方案一报酬更高，选择方案一。
【答案】
(1) 30件；
(2) $y=20x+600$；
(3) 若月生产件数少于30件选择方案二，若月生产件数等于30件两个方案均可，若月生产件数多于30件选择方案一。
【知识点】
一次函数的图像、待定系数法、一次函数的实际应用
【点评】
本题以实际薪酬方案为载体，考查一次函数的应用，需要结合数形结合思想读取图像信息，通过待定系数法求函数解析式，再分情况讨论得到最优方案，题目贴近生活实际，能有效考查知识应用能力。
【难度系数】
0.7
2.某通信公司推出 A,B 两种电话计费方式.
(1)设一个月内电话主叫时间为 $ t \ \mathrm{min} $，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式 A，方式 B 的计费金额关于 $ t $ 的函数表达式；
(2)若你预计每月主叫时间为 $ 350 \ \mathrm{min} $，你将选择 A，B 哪种计费方式？请说明理由；
(3)请你根据月主叫时间 $ t $ 的不同范围，直接写出最省钱的计费方式.
(1)设一个月内电话主叫时间为 $ t \ \mathrm{min} $，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式 A，方式 B 的计费金额关于 $ t $ 的函数表达式；
(2)若你预计每月主叫时间为 $ 350 \ \mathrm{min} $，你将选择 A，B 哪种计费方式？请说明理由；
(3)请你根据月主叫时间 $ t $ 的不同范围，直接写出最省钱的计费方式.
答案
2.解:(1)设方式A的计费金额为$y_1$元,方式B的计费金额为$y_2$元,
根据表格数据可知,当0≤t≤200时,$y_1$=78;
当t＞200时,$y_1$=78+0.25(t-200)=0.25t+28.
当0≤t≤500时,$y_2$=108;
当t＞500时,$y_2$=108+0.19(t-500)=0.19t+13.
综上,方式A的计费金额$y_1$关于t的函数表达式为
$y_1=\begin{cases} 78(0≤ t≤ 200),\\ 0.25t+28(t＞200), \end{cases}$
方式B的计费金额$y_2$关于t的函数表达式为
$y_2=\begin{cases} 108(0≤ t≤ 500),\\ 0.19t+13(t＞500). \end{cases}$
(2)选择方式B.理由如下:
当每月主叫时间为350 min时,$y_1$=0.25×350+28=115.5,$y_2$=108,
∵115.5＞108,
∴选择方式B.
(3)令$y_1$=108,得0.25t+28=108,解得t=320.
∴当0≤t＜320时,$y_1＜y_2$,方式A更省钱;
当t=320时,$y_1=y_2$,方式A和B的计费金额相同;
当t＞320时,$y_1＞y_2$,方式B更省钱.
根据表格数据可知,当0≤t≤200时,$y_1$=78;
当t＞200时,$y_1$=78+0.25(t-200)=0.25t+28.
当0≤t≤500时,$y_2$=108;
当t＞500时,$y_2$=108+0.19(t-500)=0.19t+13.
综上,方式A的计费金额$y_1$关于t的函数表达式为
$y_1=\begin{cases} 78(0≤ t≤ 200),\\ 0.25t+28(t＞200), \end{cases}$
方式B的计费金额$y_2$关于t的函数表达式为
$y_2=\begin{cases} 108(0≤ t≤ 500),\\ 0.19t+13(t＞500). \end{cases}$
(2)选择方式B.理由如下:
当每月主叫时间为350 min时,$y_1$=0.25×350+28=115.5,$y_2$=108,
∵115.5＞108,
∴选择方式B.
(3)令$y_1$=108,得0.25t+28=108,解得t=320.
∴当0≤t＜320时,$y_1＜y_2$,方式A更省钱;
当t=320时,$y_1=y_2$,方式A和B的计费金额相同;
当t＞320时,$y_1＞y_2$,方式B更省钱.
解析
【分析】
解决本题可分三步思考：①解答第一问时，首先明确两种计费方式的分段节点：方式A以主叫200min为界，方式B以主叫500min为界，未超出限定时间时仅付月使用费，超出限定时间时总费用=月使用费+超时部分×超时单价，据此分段列出函数表达式即可；②解答第二问时，将t=350分别代入两种计费方式对应的函数中，计算出费用后比较大小，选择费用更低的方案即可；③解答第三问时，先求出两种计费方式费用相等时的主叫时间，以此为临界点分区间讨论两种费用的大小关系，即可得到不同时间范围内最省钱的方案。
【解析】
(1) 设方式A的计费金额为$y_1$元，方式B的计费金额为$y_2$元。
对于方式A：
当$0≤ t≤200$时，未超出限定主叫时间，因此$y_1=78$；
当$t＞200$时，超出限定时间，超时部分为$(t-200)\mathrm{min}$，因此$y_1=78+0.25(t-200)=0.25t+28$。
对于方式B：
当$0≤ t≤500$时，未超出限定主叫时间，因此$y_2=108$；
当$t＞500$时，超出限定时间，超时部分为$(t-500)\mathrm{min}$，因此$y_2=108+0.19(t-500)=0.19t+13$。
综上可得函数表达式：
$y_1=\begin{cases} 78&(0≤ t≤ 200)\\ 0.25t+28&(t＞200) \end{cases}$，$y_2=\begin{cases} 108&(0≤ t≤ 500)\\ 0.19t+13&(t＞500) \end{cases}$
(2) 选择方式B，理由如下：
当$t=350$时，$200＜350＜500$，代入对应函数得：
$y_1=0.25×350+28=115.5$（元），$y_2=108$（元）
$\because115.5＞108$，因此选择方式B更划算。
(3) 先求解两种计费方式费用相等时的t值：令$y_1=108$，即$0.25t+28=108$，解得$t=320$。
据此分情况讨论：
当$0≤ t＜320$时，$y_1＜y_2$，方式A更省钱；
当$t=320$时，$y_1=y_2$，两种计费方式费用相同；
当$t＞320$时，$y_1＞y_2$，方式B更省钱。
【答案】
(1) $y_1=\begin{cases} 78&(0≤ t≤ 200)\\ 0.25t+28&(t＞200) \end{cases}$；$y_2=\begin{cases} 108&(0≤ t≤ 500)\\ 0.19t+13&(t＞500) \end{cases}$
(2) 选择方式B；
(3) 当$0≤ t＜320$时选择方式A，当$t=320$时两种方式费用相同，当$t＞320$时选择方式B。
【知识点】
分段函数应用，一次函数求值，方案优化选择
【点评】
本题是贴近生活的通讯计费类实际应用题，考查了分段函数的建立、一次函数的计算和分类讨论思想，解题的关键是找准计费的分段节点，计算时对应正确的函数区间即可。
【难度系数】
0.65
解决本题可分三步思考：①解答第一问时，首先明确两种计费方式的分段节点：方式A以主叫200min为界，方式B以主叫500min为界，未超出限定时间时仅付月使用费，超出限定时间时总费用=月使用费+超时部分×超时单价，据此分段列出函数表达式即可；②解答第二问时，将t=350分别代入两种计费方式对应的函数中，计算出费用后比较大小，选择费用更低的方案即可；③解答第三问时，先求出两种计费方式费用相等时的主叫时间，以此为临界点分区间讨论两种费用的大小关系，即可得到不同时间范围内最省钱的方案。
【解析】
(1) 设方式A的计费金额为$y_1$元，方式B的计费金额为$y_2$元。
对于方式A：
当$0≤ t≤200$时，未超出限定主叫时间，因此$y_1=78$；
当$t＞200$时，超出限定时间，超时部分为$(t-200)\mathrm{min}$，因此$y_1=78+0.25(t-200)=0.25t+28$。
对于方式B：
当$0≤ t≤500$时，未超出限定主叫时间，因此$y_2=108$；
当$t＞500$时，超出限定时间，超时部分为$(t-500)\mathrm{min}$，因此$y_2=108+0.19(t-500)=0.19t+13$。
综上可得函数表达式：
$y_1=\begin{cases} 78&(0≤ t≤ 200)\\ 0.25t+28&(t＞200) \end{cases}$，$y_2=\begin{cases} 108&(0≤ t≤ 500)\\ 0.19t+13&(t＞500) \end{cases}$
(2) 选择方式B，理由如下：
当$t=350$时，$200＜350＜500$，代入对应函数得：
$y_1=0.25×350+28=115.5$（元），$y_2=108$（元）
$\because115.5＞108$，因此选择方式B更划算。
(3) 先求解两种计费方式费用相等时的t值：令$y_1=108$，即$0.25t+28=108$，解得$t=320$。
据此分情况讨论：
当$0≤ t＜320$时，$y_1＜y_2$，方式A更省钱；
当$t=320$时，$y_1=y_2$，两种计费方式费用相同；
当$t＞320$时，$y_1＞y_2$，方式B更省钱。
【答案】
(1) $y_1=\begin{cases} 78&(0≤ t≤ 200)\\ 0.25t+28&(t＞200) \end{cases}$；$y_2=\begin{cases} 108&(0≤ t≤ 500)\\ 0.19t+13&(t＞500) \end{cases}$
(2) 选择方式B；
(3) 当$0≤ t＜320$时选择方式A，当$t=320$时两种方式费用相同，当$t＞320$时选择方式B。
【知识点】
分段函数应用，一次函数求值，方案优化选择
【点评】
本题是贴近生活的通讯计费类实际应用题，考查了分段函数的建立、一次函数的计算和分类讨论思想，解题的关键是找准计费的分段节点，计算时对应正确的函数区间即可。
【难度系数】
0.65
