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13 现有三堆棋子，数目相等，每堆至少有4枚，从左堆中取出3枚放入中堆，从右堆中取出4枚放入中堆，再从中堆中取出与左堆剩余棋子数相同的棋子放入左堆，这时中堆的棋子有
10
枚。答案
13. 10
解析
【分析】
本题可通过设未知数表示每堆棋子的初始数量，再按照题目给出的操作步骤，依次用代数式表示每一步操作后三堆棋子的数量，最后通过整式的加减运算化简中堆最终的数量，注意初始的未知量会在运算中消去，得到定值。
【解析】
设原来每堆棋子的数量均为$ x $枚（$ x≥4 $，且$ x $为正整数），按照操作步骤逐步计算：
1. 从左堆取出3枚放入中堆后：
左堆剩余棋子数：$ x-3 $枚，中堆棋子数：$ x+3 $枚，右堆棋子数仍为$ x $枚；
2. 从右堆取出4枚放入中堆后：
右堆剩余棋子数：$ x-4 $枚，中堆棋子数变为：$ x+3+4 = x+7 $枚，左堆棋子数仍为$ x-3 $枚；
3. 从中堆取出与左堆剩余棋子数相同的棋子放入左堆，即取出$ x-3 $枚放入左堆，此时中堆剩余棋子数为：
$ (x+7) - (x-3) = x+7 -x +3 = 10 $枚。
【答案】
10
【知识点】
用字母表示数，列代数式，整式的加减
【点评】
本题属于整式加减的实际应用题型，解题核心是准确梳理每一步操作对应各堆棋子的数量变化，通过设字母表示未知的初始量，运算后未知量会自然消去得到固定结果，只要细心梳理操作过程即可正确求解。
【难度系数】
0.8
本题可通过设未知数表示每堆棋子的初始数量，再按照题目给出的操作步骤，依次用代数式表示每一步操作后三堆棋子的数量，最后通过整式的加减运算化简中堆最终的数量，注意初始的未知量会在运算中消去，得到定值。
【解析】
设原来每堆棋子的数量均为$ x $枚（$ x≥4 $，且$ x $为正整数），按照操作步骤逐步计算：
1. 从左堆取出3枚放入中堆后：
左堆剩余棋子数：$ x-3 $枚，中堆棋子数：$ x+3 $枚，右堆棋子数仍为$ x $枚；
2. 从右堆取出4枚放入中堆后：
右堆剩余棋子数：$ x-4 $枚，中堆棋子数变为：$ x+3+4 = x+7 $枚，左堆棋子数仍为$ x-3 $枚；
3. 从中堆取出与左堆剩余棋子数相同的棋子放入左堆，即取出$ x-3 $枚放入左堆，此时中堆剩余棋子数为：
$ (x+7) - (x-3) = x+7 -x +3 = 10 $枚。
【答案】
10
【知识点】
用字母表示数，列代数式，整式的加减
【点评】
本题属于整式加减的实际应用题型，解题核心是准确梳理每一步操作对应各堆棋子的数量变化，通过设字母表示未知的初始量，运算后未知量会自然消去得到固定结果，只要细心梳理操作过程即可正确求解。
【难度系数】
0.8
14 有理数a,b,c对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简|2a−b|+|b+c+a|−|a|的结果是
2b+c
.答案
14. $2b+c$
【解析】由题图,可知$a＜0＜b＜c$,且$|c|＞|a|$,所以$2a-b＜0,b+c+a＞0$.所以原式$=-(2a-b)+(b+c+a)-(-a)=-2a+b+b+c+a+a=2b+c$.
【解析】由题图,可知$a＜0＜b＜c$,且$|c|＞|a|$,所以$2a-b＜0,b+c+a＞0$.所以原式$=-(2a-b)+(b+c+a)-(-a)=-2a+b+b+c+a+a=2b+c$.
解析
【分析】
解题时首先观察数轴确定各数的正负和大小关系：a在原点左侧为负数，b、c在原点右侧为正数，可得$a＜0＜b＜c$，且$|c|＞|a|$。接下来根据有理数运算性质判断每个绝对值内代数式的正负：2a为负数，减正数b，因此$2a-b＜0$；b、c均为正数，且c的绝对值大于a的绝对值，因此$b+c+a＞0$；a为负数。最后根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去绝对值符号，合并同类项即可得到结果。
【解析】
由数轴可知：$a＜0＜b＜c$，且$|c|＞|a|$，
因此$2a-b＜0$，$b+c+a＞0$。
根据绝对值的性质化简原式：
$\begin{split}|2a−b|+|b+c+a|−|a|&=-(2a-b)+(b+c+a)-(-a)\\&=-2a+b+b+c+a+a\\&=2b+c\end{split}$
【答案】
$2b+c$
【知识点】
数轴的应用，绝对值化简，整式的加减
【点评】
本题是数轴、绝对值与整式加减结合的常见题型，核心考查学生对基础知识的综合运用能力，解题关键是准确判断绝对值内代数式的正负，正确去绝对值后合并同类项。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察数轴确定各数的正负和大小关系：a在原点左侧为负数，b、c在原点右侧为正数，可得$a＜0＜b＜c$，且$|c|＞|a|$。接下来根据有理数运算性质判断每个绝对值内代数式的正负：2a为负数，减正数b，因此$2a-b＜0$；b、c均为正数，且c的绝对值大于a的绝对值，因此$b+c+a＞0$；a为负数。最后根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去绝对值符号，合并同类项即可得到结果。
【解析】
由数轴可知：$a＜0＜b＜c$，且$|c|＞|a|$，
因此$2a-b＜0$，$b+c+a＞0$。
根据绝对值的性质化简原式：
$\begin{split}|2a−b|+|b+c+a|−|a|&=-(2a-b)+(b+c+a)-(-a)\\&=-2a+b+b+c+a+a\\&=2b+c\end{split}$
【答案】
$2b+c$
【知识点】
数轴的应用，绝对值化简，整式的加减
【点评】
本题是数轴、绝对值与整式加减结合的常见题型，核心考查学生对基础知识的综合运用能力，解题关键是准确判断绝对值内代数式的正负，正确去绝对值后合并同类项。
【难度系数】
0.7
15 计算：
(1) $\frac{5}{2}a^2 + \frac{1}{2}a - (a^2 - 3a) + (a - \frac{1}{2}a^2)$；
(2) $3(3a^2b - ab^2) - 4(3ab^2 - a^2b) - a^2b$。
(1) $\frac{5}{2}a^2 + \frac{1}{2}a - (a^2 - 3a) + (a - \frac{1}{2}a^2)$；
(2) $3(3a^2b - ab^2) - 4(3ab^2 - a^2b) - a^2b$。
答案
15. (1) $a^2+\dfrac{9}{2}a$
(2) $12a^2b-15ab^2$
(2) $12a^2b-15ab^2$
解析
【分析】
这两道题属于整式的加减运算，解题遵循“先去括号，再合并同类项”的思路：①去括号阶段：若括号前有系数，先运用乘法分配律把系数乘到括号内每一项，再根据去括号法则处理符号：括号前是正号时，去括号后括号内各项符号不变；括号前是负号时，去括号后括号内各项都要变号。②合并同类项阶段：先识别所含字母相同、相同字母指数也相同的同类项，再将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，最终得到最简整式。
【解析】
(1) 先去括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=\frac{5}{2}a^2 + \frac{1}{2}a - a^2 + 3a + a - \frac{1}{2}a^2\\&=(\frac{5}{2}a^2 - a^2 - \frac{1}{2}a^2) + (\frac{1}{2}a + 3a + a)\\&=(\frac{5}{2}-1-\frac{1}{2})a^2 + (\frac{1}{2}+3+1)a\\&=a^2 + \frac{9}{2}a\end{aligned}$
(2) 先用乘法分配律展开，再去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=9a^2b - 3ab^2 - 12ab^2 + 4a^2b - a^2b\\&=(9a^2b + 4a^2b - a^2b) + (-3ab^2 -12ab^2)\\&=12a^2b - 15ab^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $a^2+\dfrac{9}{2}a$；(2) $12a^2b-15ab^2$
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式的加减运算
【点评】
本题是整式加减的常规基础题，易错点是去括号时的符号处理，尤其是括号前为负号或带负系数时，要注意括号内每一项都要变号，合并同类项时只需对系数做加减运算，牢记字母和指数不变的规则，细心计算即可正确解答。
【难度系数】
0.8
这两道题属于整式的加减运算，解题遵循“先去括号，再合并同类项”的思路：①去括号阶段：若括号前有系数，先运用乘法分配律把系数乘到括号内每一项，再根据去括号法则处理符号：括号前是正号时，去括号后括号内各项符号不变；括号前是负号时，去括号后括号内各项都要变号。②合并同类项阶段：先识别所含字母相同、相同字母指数也相同的同类项，再将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，最终得到最简整式。
【解析】
(1) 先去括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=\frac{5}{2}a^2 + \frac{1}{2}a - a^2 + 3a + a - \frac{1}{2}a^2\\&=(\frac{5}{2}a^2 - a^2 - \frac{1}{2}a^2) + (\frac{1}{2}a + 3a + a)\\&=(\frac{5}{2}-1-\frac{1}{2})a^2 + (\frac{1}{2}+3+1)a\\&=a^2 + \frac{9}{2}a\end{aligned}$
(2) 先用乘法分配律展开，再去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=9a^2b - 3ab^2 - 12ab^2 + 4a^2b - a^2b\\&=(9a^2b + 4a^2b - a^2b) + (-3ab^2 -12ab^2)\\&=12a^2b - 15ab^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $a^2+\dfrac{9}{2}a$；(2) $12a^2b-15ab^2$
【知识点】
去括号法则；合并同类项；整式的加减运算
【点评】
本题是整式加减的常规基础题，易错点是去括号时的符号处理，尤其是括号前为负号或带负系数时，要注意括号内每一项都要变号，合并同类项时只需对系数做加减运算，牢记字母和指数不变的规则，细心计算即可正确解答。
【难度系数】
0.8
16 先化简,再求值:
(1) $-a^2 + (-4a + 3a^2) - (5a^2 + 2a - 1)$,其中 $a=-\dfrac{2}{3}$;
(2) $[2025$ 南通模拟$]2(2x^2 - \dfrac{1}{2}xy - y^2) - (4x^2 + 4xy - 2y^2)$,其中 $x=3,y=-1$.
(1) $-a^2 + (-4a + 3a^2) - (5a^2 + 2a - 1)$,其中 $a=-\dfrac{2}{3}$;
(2) $[2025$ 南通模拟$]2(2x^2 - \dfrac{1}{2}xy - y^2) - (4x^2 + 4xy - 2y^2)$,其中 $x=3,y=-1$.
答案
16. (1) 原式$=-3a^2-6a+1$. 当$a=-\dfrac{2}{3}$时,原式$=-3×(-\dfrac{2}{3})^2-6×(-\dfrac{2}{3})+1=\dfrac{11}{3}$
(2) 原式$=4x^2-xy-2y^2-4x^2-4xy+2y^2=-5xy$. 当$x=3,y=-1$时,原式$=-5×3×(-1)=15$
(2) 原式$=4x^2-xy-2y^2-4x^2-4xy+2y^2=-5xy$. 当$x=3,y=-1$时,原式$=-5×3×(-1)=15$
解析
【分析】
整式化简求值类题目的通用解题思路是先化简再代值计算，可避免直接代入带来的复杂运算，降低出错率。
(1) 第一步先去括号，注意括号前为负号时，括号内每一项都要变号；第二步合并同类项，将所含字母相同、且相同字母指数也相同的项的系数相加，得到最简整式；最后将$a=-\dfrac{2}{3}$代入最简式计算结果。
(2) 第一步先利用乘法分配律将括号外的系数乘到括号内每一项，注意不要漏乘；第二步去括号，同样注意括号前为负号时的符号变化；第三步合并同类项得到最简式，最后代入$x=3,y=-1$计算结果。
【解析】
(1) 去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=-a^2 -4a + 3a^2 -5a^2 -2a +1\\&=(-1+3-5)a^2 + (-4-2)a +1\\&=-3a^2 -6a +1\end{aligned}$
将$a=-\dfrac{2}{3}$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-3×(-\dfrac{2}{3})^2 -6×(-\dfrac{2}{3}) +1\\&=-3×\dfrac{4}{9} +4 +1\\&=-\dfrac{4}{3} +5\\&=\dfrac{11}{3}\end{aligned}$
(2) 利用乘法分配律去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=4x^2 -xy -2y^2 -4x^2 -4xy +2y^2\\&=(4x^2-4x^2) + (-xy-4xy) + (-2y^2+2y^2)\\&=-5xy\end{aligned}$
将$x=3,y=-1$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-5×3×(-1)\\&=15\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{11}{3}$；(2) $15$
【知识点】
合并同类项，去括号法则，整式的加减
【点评】
本题是整式加减的基础题型，核心考查去括号、合并同类项的运算规则，以及代数代入求值的计算能力。运算时需注意去括号的符号变化，使用乘法分配律时不要漏乘括号内的项，先化简后代入的方法可以大幅简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
整式化简求值类题目的通用解题思路是先化简再代值计算，可避免直接代入带来的复杂运算，降低出错率。
(1) 第一步先去括号，注意括号前为负号时，括号内每一项都要变号；第二步合并同类项，将所含字母相同、且相同字母指数也相同的项的系数相加，得到最简整式；最后将$a=-\dfrac{2}{3}$代入最简式计算结果。
(2) 第一步先利用乘法分配律将括号外的系数乘到括号内每一项，注意不要漏乘；第二步去括号，同样注意括号前为负号时的符号变化；第三步合并同类项得到最简式，最后代入$x=3,y=-1$计算结果。
【解析】
(1) 去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=-a^2 -4a + 3a^2 -5a^2 -2a +1\\&=(-1+3-5)a^2 + (-4-2)a +1\\&=-3a^2 -6a +1\end{aligned}$
将$a=-\dfrac{2}{3}$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-3×(-\dfrac{2}{3})^2 -6×(-\dfrac{2}{3}) +1\\&=-3×\dfrac{4}{9} +4 +1\\&=-\dfrac{4}{3} +5\\&=\dfrac{11}{3}\end{aligned}$
(2) 利用乘法分配律去括号、合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=4x^2 -xy -2y^2 -4x^2 -4xy +2y^2\\&=(4x^2-4x^2) + (-xy-4xy) + (-2y^2+2y^2)\\&=-5xy\end{aligned}$
将$x=3,y=-1$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-5×3×(-1)\\&=15\end{aligned}$
【答案】
(1) $\dfrac{11}{3}$；(2) $15$
【知识点】
合并同类项，去括号法则，整式的加减
【点评】
本题是整式加减的基础题型，核心考查去括号、合并同类项的运算规则，以及代数代入求值的计算能力。运算时需注意去括号的符号变化，使用乘法分配律时不要漏乘括号内的项，先化简后代入的方法可以大幅简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
17 某旅游景点的门票价格如下:成人票每张 20 元,学生票每张 10 元,满 40 人可购买团体票(打八折).设一个旅游团共有 $ x(x＞40) $人,其中有学生 $ y $ 人.
（1）用式子表示该旅游团应付的门票费；
（2）如果旅游团共有 59 人,其中有学生 12 人,那么他们应付门票费多少元？
（1）用式子表示该旅游团应付的门票费；
（2）如果旅游团共有 59 人,其中有学生 12 人,那么他们应付门票费多少元？
答案
17. (1) 根据题意,得该旅游团应付的门票费为$0.8[10y+20(x-y)]=(16x-8y)$元
(2) 当$x=59,y=12$时,$16x-8y=16×59-8×12=944-96=848$.所以他们应付门票费848元
(2) 当$x=59,y=12$时,$16x-8y=16×59-8×12=944-96=848$.所以他们应付门票费848元
解析
【分析】
解决第（1）问时，先明确旅游团中成人人数为总人数减去学生人数，即$(x-y)$人，先分别计算学生票总费用、成人票总费用，求和得到不打折的总票价；由于$x＞40$符合团体票打折要求，将总票价乘0.8后化简整式，即可得到应付门票费的表达式。解决第（2）问时，直接将$x=59$、$y=12$代入第（1）问得到的代数式中，按运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
（1）旅游团中成人人数为$(x-y)$人，
不打折时总门票费为$10y + 20(x-y)$元，
因为$x＞40$，可购买打八折的团体票，因此应付门票费为：
$\begin{split}&\phantom{=}0.8×[10y + 20(x-y)]\\&=0.8×(20x - 10y)\\&=16x - 8y\end{split}$
即应付门票费为$(16x-8y)$元。
（2）当$x=59$，$y=12$时，代入$16x-8y$得：
$\begin{split}16x - 8y &= 16×59 - 8×12\\&=944 - 96\\&=848\end{split}$
即他们应付门票费848元。
【答案】
（1）$(16x-8y)$元；（2）848元
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题结合实际购票场景考查整式的相关应用，解题关键是理清票价、人数、折扣之间的数量关系，代数式求值时注意运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
解决第（1）问时，先明确旅游团中成人人数为总人数减去学生人数，即$(x-y)$人，先分别计算学生票总费用、成人票总费用，求和得到不打折的总票价；由于$x＞40$符合团体票打折要求，将总票价乘0.8后化简整式，即可得到应付门票费的表达式。解决第（2）问时，直接将$x=59$、$y=12$代入第（1）问得到的代数式中，按运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
（1）旅游团中成人人数为$(x-y)$人，
不打折时总门票费为$10y + 20(x-y)$元，
因为$x＞40$，可购买打八折的团体票，因此应付门票费为：
$\begin{split}&\phantom{=}0.8×[10y + 20(x-y)]\\&=0.8×(20x - 10y)\\&=16x - 8y\end{split}$
即应付门票费为$(16x-8y)$元。
（2）当$x=59$，$y=12$时，代入$16x-8y$得：
$\begin{split}16x - 8y &= 16×59 - 8×12\\&=944 - 96\\&=848\end{split}$
即他们应付门票费848元。
【答案】
（1）$(16x-8y)$元；（2）848元
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题结合实际购票场景考查整式的相关应用，解题关键是理清票价、人数、折扣之间的数量关系，代数式求值时注意运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
