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1.若等腰三角形的周长为26 cm，一边长为11 cm，则腰长为(
A.11 cm
B.7.5 cm
C.11 cm或7.5 cm
D.以上都不对
C
)A.11 cm
B.7.5 cm
C.11 cm或7.5 cm
D.以上都不对
答案
C
解析
【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形的两条腰长度相等，题目仅给出一边长为11cm，未说明这条边是腰还是底边，因此需要分两种情况分别计算腰长，最后还要用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否都能构成三角形，排除不符合的情况即可得到最终结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当11cm为腰长时：
底边长 = 周长 - 2×腰长 = $26 - 2×11 = 4\mathrm{cm}$
此时三边长为11cm、11cm、4cm，满足$11+4＞11$，符合三角形三边关系，腰长为11cm。
2. 当11cm为底边长时：
腰长 = $(周长 - 底边长)÷2 = (26-11)÷2 = 7.5\mathrm{cm}$
此时三边长为7.5cm、7.5cm、11cm，满足$7.5+7.5＞11$，符合三角形三边关系，腰长为7.5cm。
综上，腰长为11cm或7.5cm。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形边长问题的经典题型，解题的关键是养成分类讨论的思维，同时注意计算后验证三边是否满足构成三角形的条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确等腰三角形的两条腰长度相等，题目仅给出一边长为11cm，未说明这条边是腰还是底边，因此需要分两种情况分别计算腰长，最后还要用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否都能构成三角形，排除不符合的情况即可得到最终结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当11cm为腰长时：
底边长 = 周长 - 2×腰长 = $26 - 2×11 = 4\mathrm{cm}$
此时三边长为11cm、11cm、4cm，满足$11+4＞11$，符合三角形三边关系，腰长为11cm。
2. 当11cm为底边长时：
腰长 = $(周长 - 底边长)÷2 = (26-11)÷2 = 7.5\mathrm{cm}$
此时三边长为7.5cm、7.5cm、11cm，满足$7.5+7.5＞11$，符合三角形三边关系，腰长为7.5cm。
综上，腰长为11cm或7.5cm。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形边长问题的经典题型，解题的关键是养成分类讨论的思维，同时注意计算后验证三边是否满足构成三角形的条件，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
2.一个三角形的两边长分别是3和7，且第三条边的长为整数，则三角形周长的最大值为（
A.15
B.16
C.18
D.19
D
）A.15
B.16
C.18
D.19
答案
D
解析
【分析】
要计算该三角形的最大周长，已知两边长度，只需先求出符合条件的最大第三边长度即可。解题时首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此列出第三边的取值范围，再结合“第三边为整数”的条件，找到取值范围内最大的整数，最后将三边相加即可得到最大周长。
【解析】
设第三条边的长为$ x $，根据三角形三边关系可得：
$ 7 - 3 ＜ x ＜ 7 + 3 $
即$ 4 ＜ x ＜ 10 $
因为第三边的长为整数，所以$ x $可取的最大整数值为9
此时三角形的周长为$ 3 + 7 + 9 = 19 $
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系；周长计算
【点评】
本题是三角形边长相关的基础常考题，解题核心是准确利用三边关系确定第三边的取值范围，注意第三边不能等于两边之和或两边之差，否则无法构成三角形。
【难度系数】
0.8
要计算该三角形的最大周长，已知两边长度，只需先求出符合条件的最大第三边长度即可。解题时首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此列出第三边的取值范围，再结合“第三边为整数”的条件，找到取值范围内最大的整数，最后将三边相加即可得到最大周长。
【解析】
设第三条边的长为$ x $，根据三角形三边关系可得：
$ 7 - 3 ＜ x ＜ 7 + 3 $
即$ 4 ＜ x ＜ 10 $
因为第三边的长为整数，所以$ x $可取的最大整数值为9
此时三角形的周长为$ 3 + 7 + 9 = 19 $
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系；周长计算
【点评】
本题是三角形边长相关的基础常考题，解题核心是准确利用三边关系确定第三边的取值范围，注意第三边不能等于两边之和或两边之差，否则无法构成三角形。
【难度系数】
0.8
3.在△ABC中，三边为a,b,c满足$a = b + 1$，$b = c + 1$，则b的值可能是(
A.1
B.2
C.3
D.b的值可任意取
C
)A.1
B.2
C.3
D.b的值可任意取
答案
C(提示:a = b + 1,c = b - 1,b + c ＞ a,b + b - 1 ＞ b + 1,b ＞ 2)
解析
【分析】
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路如下：首先根据题目给出的三边关系，将a、c都用含b的代数式表示；接下来结合三角形的性质，先明确边长为正数，再利用“三角形任意两边之和大于第三边”的规则，因为a是三边中的最大边，因此只需满足较小两边之和大于最大边即可列不等式；最后解不等式得到b的取值范围，对应选项选出符合条件的答案即可。
【解析】
解：由已知条件可得：$a = b + 1$，$c = b - 1$。
1. 三角形边长为正数，因此$c = b - 1 ＞ 0$，可得$b ＞ 1$；
2. 由三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，观察可知$a = b + 1$是三边长的最大值，因此只需满足较小两边之和大于最大边即可，即$b + c ＞ a$。
将a、c代入不等式得：
$b + (b - 1) ＞ b + 1$
化简得：$2b - 1 ＞ b + 1$
移项解得：$b ＞ 2$。
结合选项，只有b=3满足$b＞2$的要求。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系、一元一次不等式求解
【点评】
本题属于三角形边的性质基础考题，解题的关键是将三边统一用同一个变量表示，再结合三边关系列不等式求解，通过判断最大边可以简化计算，避免多次验证三边关系。
【难度系数】
0.7
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路如下：首先根据题目给出的三边关系，将a、c都用含b的代数式表示；接下来结合三角形的性质，先明确边长为正数，再利用“三角形任意两边之和大于第三边”的规则，因为a是三边中的最大边，因此只需满足较小两边之和大于最大边即可列不等式；最后解不等式得到b的取值范围，对应选项选出符合条件的答案即可。
【解析】
解：由已知条件可得：$a = b + 1$，$c = b - 1$。
1. 三角形边长为正数，因此$c = b - 1 ＞ 0$，可得$b ＞ 1$；
2. 由三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，观察可知$a = b + 1$是三边长的最大值，因此只需满足较小两边之和大于最大边即可，即$b + c ＞ a$。
将a、c代入不等式得：
$b + (b - 1) ＞ b + 1$
化简得：$2b - 1 ＞ b + 1$
移项解得：$b ＞ 2$。
结合选项，只有b=3满足$b＞2$的要求。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系、一元一次不等式求解
【点评】
本题属于三角形边的性质基础考题，解题的关键是将三边统一用同一个变量表示，再结合三边关系列不等式求解，通过判断最大边可以简化计算，避免多次验证三边关系。
【难度系数】
0.7
4.(教材P6例题变式)用一条长为21 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的3倍,那么底边长是多少?
(2)能围成一边长为5 cm的等腰三角形吗?说明理由.
(1)如果腰长是底边长的3倍,那么底边长是多少?
(2)能围成一边长为5 cm的等腰三角形吗?说明理由.
答案
解:(1)设底边长为x cm,则腰长为3x cm,
3x+3x+x=21,
∴x=3,
∴底边长为3 cm;
(2)若底边为5 cm时,则腰长为$\frac{21 - 5}{2}$=8(cm),能围成,若腰长为5 cm时,则底边长为21-5×2=11(cm),
由于11＞5+5,所以不能围成三角形.
3x+3x+x=21,
∴x=3,
∴底边长为3 cm;
(2)若底边为5 cm时,则腰长为$\frac{21 - 5}{2}$=8(cm),能围成,若腰长为5 cm时,则底边长为21-5×2=11(cm),
由于11＞5+5,所以不能围成三角形.
解析
【分析】
(1) 第一问可利用等腰三角形两腰相等的性质，设底边长为未知数，结合腰长与底边长的倍数关系表示腰长，再根据周长公式列一元一次方程求解即可。
(2) 第二问中“一边长为5cm”未明确是腰还是底边，需分两种情况讨论：①5cm为底边长；②5cm为腰长。分别计算出其余两边长度后，必须用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，筛选出符合条件的情况。
【解析】
解：(1)设底边长为x cm，则腰长为3x cm，根据周长公式列方程：
$3x+3x+x=21$
合并同类项得$7x=21$，解得$x=3$
即底边长为3cm。
(2)分两种情况讨论：
①若5cm为底边长，则腰长为$\frac{21-5}{2}=8(cm)$，此时三边长为5cm、8cm、8cm，
$\because 5+8＞8$，满足三角形三边关系，$\therefore$ 能围成等腰三角形；
②若5cm为腰长，则底边长为$21-5×2=11(cm)$，此时三边长为5cm、5cm、11cm，
$\because 5+5=10＜11$，不满足三角形三边关系，$\therefore$ 不能围成三角形。
综上，可围成底边长为5cm、腰长为8cm的等腰三角形。
【答案】
(1) 底边长为3 cm；
(2) 能围成底边长为5 cm、腰长为8 cm的等腰三角形。
【知识点】
等腰三角形的性质、一元一次方程的应用、三角形三边关系
【点评】
本题是三角形基础应用题，解题关键是注意等腰三角形边长的分类讨论，避免漏解，同时计算边长后必须用三边关系验证，排除不能构成三角形的错误情况。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问可利用等腰三角形两腰相等的性质，设底边长为未知数，结合腰长与底边长的倍数关系表示腰长，再根据周长公式列一元一次方程求解即可。
(2) 第二问中“一边长为5cm”未明确是腰还是底边，需分两种情况讨论：①5cm为底边长；②5cm为腰长。分别计算出其余两边长度后，必须用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，筛选出符合条件的情况。
【解析】
解：(1)设底边长为x cm，则腰长为3x cm，根据周长公式列方程：
$3x+3x+x=21$
合并同类项得$7x=21$，解得$x=3$
即底边长为3cm。
(2)分两种情况讨论：
①若5cm为底边长，则腰长为$\frac{21-5}{2}=8(cm)$，此时三边长为5cm、8cm、8cm，
$\because 5+8＞8$，满足三角形三边关系，$\therefore$ 能围成等腰三角形；
②若5cm为腰长，则底边长为$21-5×2=11(cm)$，此时三边长为5cm、5cm、11cm，
$\because 5+5=10＜11$，不满足三角形三边关系，$\therefore$ 不能围成三角形。
综上，可围成底边长为5cm、腰长为8cm的等腰三角形。
【答案】
(1) 底边长为3 cm；
(2) 能围成底边长为5 cm、腰长为8 cm的等腰三角形。
【知识点】
等腰三角形的性质、一元一次方程的应用、三角形三边关系
【点评】
本题是三角形基础应用题，解题关键是注意等腰三角形边长的分类讨论，避免漏解，同时计算边长后必须用三边关系验证，排除不能构成三角形的错误情况。
【难度系数】
0.7
5.已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，周长为20，设$AB=x$，求$x$的取值范围.
答案
解:
∵AB=x,则AC=x,BC=20-2x,
∴$\begin{cases}x + x ＞ 20 - 2x,\\20 - 2x ＞ 0,\end{cases}$ 5＜x＜10.
∵AB=x,则AC=x,BC=20-2x,
∴$\begin{cases}x + x ＞ 20 - 2x,\\20 - 2x ＞ 0,\end{cases}$ 5＜x＜10.
解析
【分析】
本题是等腰三角形求边长范围的问题，解题思路可分为三步：第一步，根据等腰三角形两腰相等的性质，用腰长x表示出底边的长度；第二步，结合三角形成立的条件列不等式：一是三角形任意两边之和大于第三边，本题中等腰三角形两腰之和必须大于底边（腰长加底边必然大于另一腰长，无需额外列不等式），二是三角形边长为正数，因此底边长度要大于0；第三步，求解得到的不等式组，即可得到x的取值范围。
【解析】
解：
∵ AB=AC，AB=x，
∴ AC=x，
∵ △ABC的周长为20，
∴ 底边BC=20 - AB - AC = 20 - 2x，
根据三角形三边关系及边长为正的要求，列不等式组：
$\begin{cases}x + x ＞ 20 - 2x\\20 - 2x ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式：2x ＞ 20 - 2x，移项得4x＞20，解得x＞5；
解第二个不等式：20 - 2x ＞ 0，移项得2x＜20，解得x＜10；
综上，x的取值范围是5＜x＜10。
【答案】
5＜x＜10
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，一元一次不等式组应用
【点评】
本题是三角形边长范围的基础题型，解题关键是先准确表示出各边长度，再结合三角形成立的约束条件列不等式，注意不要遗漏边长为正这一隐含前提。
【难度系数】
0.8
本题是等腰三角形求边长范围的问题，解题思路可分为三步：第一步，根据等腰三角形两腰相等的性质，用腰长x表示出底边的长度；第二步，结合三角形成立的条件列不等式：一是三角形任意两边之和大于第三边，本题中等腰三角形两腰之和必须大于底边（腰长加底边必然大于另一腰长，无需额外列不等式），二是三角形边长为正数，因此底边长度要大于0；第三步，求解得到的不等式组，即可得到x的取值范围。
【解析】
解：
∵ AB=AC，AB=x，
∴ AC=x，
∵ △ABC的周长为20，
∴ 底边BC=20 - AB - AC = 20 - 2x，
根据三角形三边关系及边长为正的要求，列不等式组：
$\begin{cases}x + x ＞ 20 - 2x\\20 - 2x ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式：2x ＞ 20 - 2x，移项得4x＞20，解得x＞5；
解第二个不等式：20 - 2x ＞ 0，移项得2x＜20，解得x＜10；
综上，x的取值范围是5＜x＜10。
【答案】
5＜x＜10
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，一元一次不等式组应用
【点评】
本题是三角形边长范围的基础题型，解题关键是先准确表示出各边长度，再结合三角形成立的约束条件列不等式，注意不要遗漏边长为正这一隐含前提。
【难度系数】
0.8
6.如下二图，△ABC的三边长如图所示，分别求二图中x的范围.
(1)
(2)
一、 般不知三边大小关系需列三个式子.
(1)
2＜x＜10
(2)
1＜x＜4
一、 般不知三边大小关系需列三个式子.
答案
(1)6-4＜x＜4+6,2＜x＜10;
(2)$\begin{cases}3x - 2 + x + 2 ＞ 4,\\4 + x + 2 ＞ 3x - 2,\\3x - 2 + 4 ＞ x + 2,\end{cases}$
1＜x＜4.
(2)$\begin{cases}3x - 2 + x + 2 ＞ 4,\\4 + x + 2 ＞ 3x - 2,\\3x - 2 + 4 ＞ x + 2,\end{cases}$
1＜x＜4.
解析
【分析】
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路如下：1. 第一小问已知三角形两条边的长度，求第三边x的范围，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，可直接列不等式求解；2. 第二小问三角形三边均含未知数x，无法直接判断三边大小关系，因此需要列出所有“两边之和大于第三边”的不等式，组成一元一次不等式组，求解集的公共部分即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系，第三边的长度满足：两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和
代入已知边长4和6，可得：
$6 - 4 ＜ x ＜ 6 + 4$
计算得：$2 ＜ x ＜ 10$
(2) 由于三边均含参数，需列出三个两边之和大于第三边的不等式，组成不等式组：
$\begin{cases}3x - 2 + x + 2 ＞ 4 \quad ①\\4 + x + 2 ＞ 3x - 2 \quad ②\\3x - 2 + 4 ＞ x + 2 \quad ③\end{cases}$
解不等式①：$4x ＞ 4$，得$x ＞ 1$
解不等式②：$x + 6 ＞ 3x - 2$，移项得$2x ＜ 8$，得$x ＜ 4$
解不等式③：$2x + 2 ＞ x + 2$，得$x ＞ 0$
取三个解集的公共部分，得$1 ＜ x ＜ 4$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2 ＜ x ＜ 10}$；(2) $\boldsymbol{1 ＜ x ＜ 4}$
【知识点】
三角形三边关系；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是三角形三边关系的典型应用题型，解题时需注意：若已知两边求第三边范围，可直接用“两边之差＜第三边＜两边之和”简化计算；若三边均含未知参数，需完整列出所有两边之和大于第三边的不等式，避免漏项，最终结果要取所有解集的公共部分。
【难度系数】
0.8
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路如下：1. 第一小问已知三角形两条边的长度，求第三边x的范围，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，可直接列不等式求解；2. 第二小问三角形三边均含未知数x，无法直接判断三边大小关系，因此需要列出所有“两边之和大于第三边”的不等式，组成一元一次不等式组，求解集的公共部分即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系，第三边的长度满足：两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和
代入已知边长4和6，可得：
$6 - 4 ＜ x ＜ 6 + 4$
计算得：$2 ＜ x ＜ 10$
(2) 由于三边均含参数，需列出三个两边之和大于第三边的不等式，组成不等式组：
$\begin{cases}3x - 2 + x + 2 ＞ 4 \quad ①\\4 + x + 2 ＞ 3x - 2 \quad ②\\3x - 2 + 4 ＞ x + 2 \quad ③\end{cases}$
解不等式①：$4x ＞ 4$，得$x ＞ 1$
解不等式②：$x + 6 ＞ 3x - 2$，移项得$2x ＜ 8$，得$x ＜ 4$
解不等式③：$2x + 2 ＞ x + 2$，得$x ＞ 0$
取三个解集的公共部分，得$1 ＜ x ＜ 4$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2 ＜ x ＜ 10}$；(2) $\boldsymbol{1 ＜ x ＜ 4}$
【知识点】
三角形三边关系；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是三角形三边关系的典型应用题型，解题时需注意：若已知两边求第三边范围，可直接用“两边之差＜第三边＜两边之和”简化计算；若三边均含未知参数，需完整列出所有两边之和大于第三边的不等式，避免漏项，最终结果要取所有解集的公共部分。
【难度系数】
0.8
7.已知$△ ABC$三边分别为$m-2$，$2m+1$，$8$，且三边为整数，求$△ ABC$周长.
答案
解:注意2m+1＞m-2,
$\begin{cases}m - 2 + 2m + 1 ＞ 8,\\2m + 1 - (m - 2) ＜ 8,\end{cases}$ 3＜m＜5,
∵m为整数,
∴m=4,
∴△ABC周长=19.
$\begin{cases}m - 2 + 2m + 1 ＞ 8,\\2m + 1 - (m - 2) ＜ 8,\end{cases}$ 3＜m＜5,
∵m为整数,
∴m=4,
∴△ABC周长=19.
解析
【分析】
要求△ABC的周长，需先求出参数m的值。解题思路如下：首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。先判断两条含m的边的大小，可得2m+1＞m-2；再根据三边关系列不等式组求出m的取值范围，结合边长为整数的条件确定m的具体值，最后代入计算三边之和即可得到周长。
【解析】
首先判断边的大小：因为三角形边长为正，故m-2＞0即m＞2，此时2m+1-(m-2)=m+3＞0，因此2m+1＞m-2。
根据三角形三边关系列不等式组：
$\begin{cases}m - 2 + 2m + 1 ＞ 8 \quad \mathrm{（两边之和大于第三边）}\\2m + 1 - (m - 2) ＜ 8 \quad \mathrm{（两边之差小于第三边）}\end{cases}$
解第一个不等式：
3m -1 ＞ 8
3m ＞ 9
m ＞ 3
解第二个不等式：
2m + 1 - m + 2 ＜ 8
m + 3 ＜ 8
m ＜ 5
因此m的取值范围为3＜m＜5。
∵三边为整数，即m为整数，
∴m=4。
将m=4代入三边得：m-2=2，2m+1=9，第三边为8，
周长=2+9+8=19。
【答案】
19
【知识点】
三角形三边关系、一元一次不等式组的整数解
【点评】
本题核心是利用三角形三边关系建立不等式组求解参数，解题时可先判断边的大小关系简化不等式组，避免列出多余不等式，同时要注意结合整数的限定条件确定参数的唯一值，是三角形边长计算的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
要求△ABC的周长，需先求出参数m的值。解题思路如下：首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。先判断两条含m的边的大小，可得2m+1＞m-2；再根据三边关系列不等式组求出m的取值范围，结合边长为整数的条件确定m的具体值，最后代入计算三边之和即可得到周长。
【解析】
首先判断边的大小：因为三角形边长为正，故m-2＞0即m＞2，此时2m+1-(m-2)=m+3＞0，因此2m+1＞m-2。
根据三角形三边关系列不等式组：
$\begin{cases}m - 2 + 2m + 1 ＞ 8 \quad \mathrm{（两边之和大于第三边）}\\2m + 1 - (m - 2) ＜ 8 \quad \mathrm{（两边之差小于第三边）}\end{cases}$
解第一个不等式：
3m -1 ＞ 8
3m ＞ 9
m ＞ 3
解第二个不等式：
2m + 1 - m + 2 ＜ 8
m + 3 ＜ 8
m ＜ 5
因此m的取值范围为3＜m＜5。
∵三边为整数，即m为整数，
∴m=4。
将m=4代入三边得：m-2=2，2m+1=9，第三边为8，
周长=2+9+8=19。
【答案】
19
【知识点】
三角形三边关系、一元一次不等式组的整数解
【点评】
本题核心是利用三角形三边关系建立不等式组求解参数，解题时可先判断边的大小关系简化不等式组，避免列出多余不等式，同时要注意结合整数的限定条件确定参数的唯一值，是三角形边长计算的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
