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【例1】已知三角形的两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（
A.5
B.10
C.11
D.$\dot{1}2$
B
）A.5
B.10
C.11
D.$\dot{1}2$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形三边的关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们可以先设第三边的长度为x，根据三边关系列出关于x的不等式，求出x的取值范围后，再对照四个选项，选出落在取值范围内的结果即可。
【解析】
设该三角形第三边的长为x，根据三角形三边关系可得：
两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和，即
$8 - 3 ＜ x ＜ 8 + 3$
计算得$5 ＜ x ＜ 11$
对照选项：A选项5不满足大于5，C选项11、D选项12均不满足小于11，只有B选项10符合取值范围。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形三边关系的应用，解题的关键是准确推导第三边的取值范围，筛选选项时要注意不等号是否包含等于的情况，避免误选边界值。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形三边的关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们可以先设第三边的长度为x，根据三边关系列出关于x的不等式，求出x的取值范围后，再对照四个选项，选出落在取值范围内的结果即可。
【解析】
设该三角形第三边的长为x，根据三角形三边关系可得：
两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和，即
$8 - 3 ＜ x ＜ 8 + 3$
计算得$5 ＜ x ＜ 11$
对照选项：A选项5不满足大于5，C选项11、D选项12均不满足小于11，只有B选项10符合取值范围。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形三边关系的应用，解题的关键是准确推导第三边的取值范围，筛选选项时要注意不等号是否包含等于的情况，避免误选边界值。
【难度系数】
0.8
练习1.下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能组成三角形的是（
A.1,2,6
B.2,2,4
C.1,2,3
D.2,3,4
D
）A.1,2,6
B.2,2,4
C.1,2,3
D.2,3,4
答案
D
解析
【分析】
要判断三根木棒能否组成三角形，需依据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们只需要计算两条较短边的长度之和，再和最长边比较即可：如果两条短边的和大于最长边，就能构成三角形；如果小于或等于最长边，就无法构成三角形，接下来逐个验证选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，优先用两条较短边的和与最长边比较：
A选项：三根木棒长为1,2,6，最长边为6，1+2=3，3＜6，不能组成三角形；
B选项：三根木棒长为2,2,4，最长边为4，2+2=4，两边之和等于第三边，不能组成三角形；
C选项：三根木棒长为1,2,3，最长边为3，1+2=3，两边之和等于第三边，不能组成三角形；
D选项：三根木棒长为2,3,4，最长边为4，2+3=5，5＞4，满足三边关系，可以组成三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础考查题，采用“两短边之和与最长边比较”的判断方法可快速得出结果，减少不必要的计算，是三角形章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
要判断三根木棒能否组成三角形，需依据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们只需要计算两条较短边的长度之和，再和最长边比较即可：如果两条短边的和大于最长边，就能构成三角形；如果小于或等于最长边，就无法构成三角形，接下来逐个验证选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，优先用两条较短边的和与最长边比较：
A选项：三根木棒长为1,2,6，最长边为6，1+2=3，3＜6，不能组成三角形；
B选项：三根木棒长为2,2,4，最长边为4，2+2=4，两边之和等于第三边，不能组成三角形；
C选项：三根木棒长为1,2,3，最长边为3，1+2=3，两边之和等于第三边，不能组成三角形；
D选项：三根木棒长为2,3,4，最长边为4，2+3=5，5＞4，满足三边关系，可以组成三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础考查题，采用“两短边之和与最长边比较”的判断方法可快速得出结果，减少不必要的计算，是三角形章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
练习2.(1)已知等腰三角形的两边分别为5和7，则该三角形的周长为
(2)若等腰三角形两边分别为2和5，则该三角形周长为
17或19
；(2)若等腰三角形两边分别为2和5，则该三角形周长为
12
。答案
(1)17或19 (2)12
解析
【分析】
解决这类等腰三角形求周长的问题，思路分三步：①明确等腰三角形两条腰长度相等，已知的两条边未指明腰和底，因此需要分两种情况讨论腰的取值；②每种情况写出对应的三边长后，根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断能否构成三角形，不满足的情况要舍去；③对符合条件的情况计算周长即可。
【解析】
(1) 已知等腰三角形两边长为5和7，分两种情况：
① 若腰长为5，底边长为7，此时三边长为5，5，7。
验证三边关系：$5+5＞7$，$5+7＞5$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
周长为：$5+5+7=17$。
② 若腰长为7，底边长为5，此时三边长为7，7，5。
验证三边关系：$7+7＞5$，$7+5＞7$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
周长为：$7+7+5=19$。
(2) 已知等腰三角形两边长为2和5，分两种情况：
① 若腰长为2，底边长为5，此时三边长为2，2，5。
验证三边关系：$2+2=4＜5$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，舍去该情况。
② 若腰长为5，底边长为2，此时三边长为5，5，2。
验证三边关系：$5+5＞2$，$5+2＞5$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
周长为：$5+5+2=12$。
【答案】
(1)17或19；(2)12
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略对等腰三角形腰长的分类讨论，或者分类后忘记用三角形三边关系验证是否能构成三角形，导致出现多解、错解的情况，做题时要养成分类后验证三边关系的习惯。
【难度系数】
0.7
解决这类等腰三角形求周长的问题，思路分三步：①明确等腰三角形两条腰长度相等，已知的两条边未指明腰和底，因此需要分两种情况讨论腰的取值；②每种情况写出对应的三边长后，根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断能否构成三角形，不满足的情况要舍去；③对符合条件的情况计算周长即可。
【解析】
(1) 已知等腰三角形两边长为5和7，分两种情况：
① 若腰长为5，底边长为7，此时三边长为5，5，7。
验证三边关系：$5+5＞7$，$5+7＞5$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
周长为：$5+5+7=17$。
② 若腰长为7，底边长为5，此时三边长为7，7，5。
验证三边关系：$7+7＞5$，$7+5＞7$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
周长为：$7+7+5=19$。
(2) 已知等腰三角形两边长为2和5，分两种情况：
① 若腰长为2，底边长为5，此时三边长为2，2，5。
验证三边关系：$2+2=4＜5$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，舍去该情况。
② 若腰长为5，底边长为2，此时三边长为5，5，2。
验证三边关系：$5+5＞2$，$5+2＞5$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
周长为：$5+5+2=12$。
【答案】
(1)17或19；(2)12
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略对等腰三角形腰长的分类讨论，或者分类后忘记用三角形三边关系验证是否能构成三角形，导致出现多解、错解的情况，做题时要养成分类后验证三边关系的习惯。
【难度系数】
0.7
练习3.下列线段能构成三角形的有哪些？
(1)6 cm,8 cm,10 cm；
(2)5 cm,8 cm,2 cm；
(3)三条线段之比为4:5:6；
(4)a+1,a+2,a+3(a＞0).
(1)6 cm,8 cm,10 cm；
(2)5 cm,8 cm,2 cm；
(3)三条线段之比为4:5:6；
(4)a+1,a+2,a+3(a＞0).
答案
解:(1)(3)(4)可以构成三角形，(2)不能构成三角形.
解析
【分析】
要判断三条线段能否构成三角形，核心依据是三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，只需验证两条较短线段的长度之和是否大于最长的线段即可，若满足该条件则能构成三角形，反之则不能。我们按照这个思路逐个分析四个情况即可。
【解析】
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，简便判断方法为验证较小两边之和大于最长边：
(1) 三条线段中最长边为10cm，较小两边长度和为6+8=14cm，14＞10，满足三边关系，可以构成三角形；
(2) 三条线段中最长边为8cm，较小两边长度和为2+5=7cm，7＜8，不满足三边关系，不能构成三角形；
(3) 设三条线段长度分别为4k、5k、6k（k＞0），最长边为6k，较小两边长度和为4k+5k=9k，9k＞6k，满足三边关系，可以构成三角形；
(4) 已知a＞0，因此最长边为a+3，较小两边的和为(a+1)+(a+2)=2a+3，因为a＞0，所以2a+3＞a+3，满足三边关系，可以构成三角形。
【答案】
(1)(3)(4)可以构成三角形，(2)不能构成三角形。
【知识点】
三角形三边关系、整式的加法、不等式的性质
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题，掌握“验证较小两边之和大于最长边”的简便判断方法可大幅提升解题效率，遇到含参数的情况时要注意结合参数的取值范围进行判断。
【难度系数】
0.8
要判断三条线段能否构成三角形，核心依据是三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，只需验证两条较短线段的长度之和是否大于最长的线段即可，若满足该条件则能构成三角形，反之则不能。我们按照这个思路逐个分析四个情况即可。
【解析】
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，简便判断方法为验证较小两边之和大于最长边：
(1) 三条线段中最长边为10cm，较小两边长度和为6+8=14cm，14＞10，满足三边关系，可以构成三角形；
(2) 三条线段中最长边为8cm，较小两边长度和为2+5=7cm，7＜8，不满足三边关系，不能构成三角形；
(3) 设三条线段长度分别为4k、5k、6k（k＞0），最长边为6k，较小两边长度和为4k+5k=9k，9k＞6k，满足三边关系，可以构成三角形；
(4) 已知a＞0，因此最长边为a+3，较小两边的和为(a+1)+(a+2)=2a+3，因为a＞0，所以2a+3＞a+3，满足三边关系，可以构成三角形。
【答案】
(1)(3)(4)可以构成三角形，(2)不能构成三角形。
【知识点】
三角形三边关系、整式的加法、不等式的性质
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题，掌握“验证较小两边之和大于最长边”的简便判断方法可大幅提升解题效率，遇到含参数的情况时要注意结合参数的取值范围进行判断。
【难度系数】
0.8
练习4.长为9,6,5,4的四根木条,选其中三根组成三角形,选法有(
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
C
)A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
答案
C
解析
【分析】
解题需分两步进行：第一步先有序列出从四根木条中任选三根的所有可能组合，避免重复或遗漏；第二步根据三角形三边关系判断每个组合能否构成三角形，为了简化计算，只需验证组合中较小两条边的长度和是否大于最长边的长度即可（若该条件满足，其余两边之和必然大于第三边），最后统计符合条件的选法数量。
【解析】
从长为9、6、5、4的四根木条中选三根，共有4种组合，逐一判断如下：
1. 选取9、6、5：较小两边和为5+6=11，11＞9，满足三角形三边关系，可构成三角形；
2. 选取9、6、4：较小两边和为4+6=10，10＞9，满足三角形三边关系，可构成三角形；
3. 选取9、5、4：较小两边和为4+5=9，9=9，不满足两边之和大于第三边，不可构成三角形；
4. 选取6、5、4：较小两边和为4+5=9，9＞6，满足三角形三边关系，可构成三角形。
综上，符合条件的选法共有3种。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系、有序枚举
【点评】
本题属于三角形三边关系的基础应用题型，解题核心是要做到组合枚举不重不漏，同时注意当两边之和等于第三边时，无法构成三角形，避免误判。
【难度系数】
0.7
解题需分两步进行：第一步先有序列出从四根木条中任选三根的所有可能组合，避免重复或遗漏；第二步根据三角形三边关系判断每个组合能否构成三角形，为了简化计算，只需验证组合中较小两条边的长度和是否大于最长边的长度即可（若该条件满足，其余两边之和必然大于第三边），最后统计符合条件的选法数量。
【解析】
从长为9、6、5、4的四根木条中选三根，共有4种组合，逐一判断如下：
1. 选取9、6、5：较小两边和为5+6=11，11＞9，满足三角形三边关系，可构成三角形；
2. 选取9、6、4：较小两边和为4+6=10，10＞9，满足三角形三边关系，可构成三角形；
3. 选取9、5、4：较小两边和为4+5=9，9=9，不满足两边之和大于第三边，不可构成三角形；
4. 选取6、5、4：较小两边和为4+5=9，9＞6，满足三角形三边关系，可构成三角形。
综上，符合条件的选法共有3种。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系、有序枚举
【点评】
本题属于三角形三边关系的基础应用题型，解题核心是要做到组合枚举不重不漏，同时注意当两边之和等于第三边时，无法构成三角形，避免误判。
【难度系数】
0.7
练习5.已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边，且$a=4,b=6$，若三角形的周长是小于18的偶数.求$c$的值.
答案
解:在△ABC中$\begin{cases}a + b ＞ c,\\b - a ＜ c,\end{cases}$
∴2＜c＜10.又
∵a+b+c＜18,
∴c＜8,
∴2＜c＜8.
又
∵c为偶数,
∴c=4或6.
∴2＜c＜10.又
∵a+b+c＜18,
∴c＜8,
∴2＜c＜8.
又
∵c为偶数,
∴c=4或6.
解析
【分析】
解决本题首先利用三角形三边关系确定边c的初步取值范围，再结合周长小于18的限制进一步缩小c的范围，最后根据周长为偶数的条件，结合已知两边和的奇偶性筛选出符合要求的c的值。
【解析】
在△ABC中，根据三角形三边关系可得：
$\begin{cases}a + b ＞ c\\b - a ＜ c\end{cases}$
将$a=4$，$b=6$代入，解得$2＜c＜10$。
已知三角形周长小于18，即$a+b+c＜18$，代入$a=4$、$b=6$得$10+c＜18$，解得$c＜8$。
结合上述范围可得$2＜c＜8$。
又因为三角形周长是偶数，$a+b=10$为偶数，因此c也为偶数，在$2＜c＜8$范围内的偶数为4、6，故$c=4$或$6$。
【答案】
$c$的值为4或6
【知识点】
三角形三边关系，周长计算，奇偶性判断
【点评】
本题属于三角形边长的基础应用题型，需要逐步结合限定条件缩小未知边的取值范围，解题时需注意不要遗漏周长为偶数的限制，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解决本题首先利用三角形三边关系确定边c的初步取值范围，再结合周长小于18的限制进一步缩小c的范围，最后根据周长为偶数的条件，结合已知两边和的奇偶性筛选出符合要求的c的值。
【解析】
在△ABC中，根据三角形三边关系可得：
$\begin{cases}a + b ＞ c\\b - a ＜ c\end{cases}$
将$a=4$，$b=6$代入，解得$2＜c＜10$。
已知三角形周长小于18，即$a+b+c＜18$，代入$a=4$、$b=6$得$10+c＜18$，解得$c＜8$。
结合上述范围可得$2＜c＜8$。
又因为三角形周长是偶数，$a+b=10$为偶数，因此c也为偶数，在$2＜c＜8$范围内的偶数为4、6，故$c=4$或$6$。
【答案】
$c$的值为4或6
【知识点】
三角形三边关系，周长计算，奇偶性判断
【点评】
本题属于三角形边长的基础应用题型，需要逐步结合限定条件缩小未知边的取值范围，解题时需注意不要遗漏周长为偶数的限制，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
【例2】空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是(
A.两点确定一条直线
B.两点之间线段最短
C.三角形的稳定性
D.垂线段最短
C
)A.两点确定一条直线
B.两点之间线段最短
C.三角形的稳定性
D.垂线段最短
答案
C
解析
【分析】
解题时首先观察题干中的固定结构，可知核心是三角形支架对空调起到固定作用，再逐一匹配各选项的几何原理适用场景：两点确定一条直线多用于确定直线位置类场景，两点之间线段最短多用于最短路径选择类问题，垂线段最短多用于求点到直线最短距离类问题，而三角形稳定性多用于需要固定、防止变形的结构中，由此可判断本题对应原理。
【解析】
观察固定空调的结构，采用了三角形支架，对各选项分析如下：
A. 两点确定一条直线一般应用于确定直线位置的场景（如固定木条、对齐队列等），与本题固定支架的应用不符，排除；
B. 两点之间线段最短一般应用于最短路径选择的相关问题，与本题不符，排除；
C. 三角形具有稳定性，即三角形三边长度确定后，形状和大小就固定不变，不易发生形变，三角形支架正是利用这一性质实现对空调的稳固支撑，符合题意；
D. 垂线段最短一般应用于求点到直线最短距离的场景，与本题不符，排除。
【答案】
C
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题是几何原理在生活中的实际应用题，解题关键是熟悉常见几何原理的适用场景，结合实际结构判断即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干中的固定结构，可知核心是三角形支架对空调起到固定作用，再逐一匹配各选项的几何原理适用场景：两点确定一条直线多用于确定直线位置类场景，两点之间线段最短多用于最短路径选择类问题，垂线段最短多用于求点到直线最短距离类问题，而三角形稳定性多用于需要固定、防止变形的结构中，由此可判断本题对应原理。
【解析】
观察固定空调的结构，采用了三角形支架，对各选项分析如下：
A. 两点确定一条直线一般应用于确定直线位置的场景（如固定木条、对齐队列等），与本题固定支架的应用不符，排除；
B. 两点之间线段最短一般应用于最短路径选择的相关问题，与本题不符，排除；
C. 三角形具有稳定性，即三角形三边长度确定后，形状和大小就固定不变，不易发生形变，三角形支架正是利用这一性质实现对空调的稳固支撑，符合题意；
D. 垂线段最短一般应用于求点到直线最短距离的场景，与本题不符，排除。
【答案】
C
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题是几何原理在生活中的实际应用题，解题关键是熟悉常见几何原理的适用场景，结合实际结构判断即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
练习.下列生活实物中,没有应用到三角形的稳定性的是(
A
)答案
A
解析
【分析】
解题的核心是明确三角形稳定性和四边形不稳定性的区别：三角形三边长度确定后，形状和大小就固定不变，即具有稳定性；而四边形边长确定后，形状仍可改变，即具有易变形的特性。解题时我们逐个分析各选项实物的结构，判断其应用的是哪种几何特性，找出未用到三角形稳定性的选项即可。
【解析】
首先明确原理：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性（易变形）。
对各选项逐一分析：
A. 活动衣架为菱形（属于四边形）结构，可以伸缩变形，利用的是四边形易变形的特性，未应用三角形稳定性；
B. 拉杆梯子的结构中存在三角形构造，利用三角形稳定性保障梯子使用时的稳固性；
C. 三脚架的支撑结构为三角形，利用三角形稳定性保证设备放置平稳；
D. 太阳能热水器的支架包含三角形结构，利用三角形稳定性固定热水器。
综上，符合题意的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
三角形的稳定性；四边形的不稳定性；几何特性的实际应用
【点评】
本题是几何特性和生活实际结合的基础题，只要掌握三角形稳定性和四边形不稳定性的差异，结合生活中对各类实物的观察，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题的核心是明确三角形稳定性和四边形不稳定性的区别：三角形三边长度确定后，形状和大小就固定不变，即具有稳定性；而四边形边长确定后，形状仍可改变，即具有易变形的特性。解题时我们逐个分析各选项实物的结构，判断其应用的是哪种几何特性，找出未用到三角形稳定性的选项即可。
【解析】
首先明确原理：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性（易变形）。
对各选项逐一分析：
A. 活动衣架为菱形（属于四边形）结构，可以伸缩变形，利用的是四边形易变形的特性，未应用三角形稳定性；
B. 拉杆梯子的结构中存在三角形构造，利用三角形稳定性保障梯子使用时的稳固性；
C. 三脚架的支撑结构为三角形，利用三角形稳定性保证设备放置平稳；
D. 太阳能热水器的支架包含三角形结构，利用三角形稳定性固定热水器。
综上，符合题意的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
三角形的稳定性；四边形的不稳定性；几何特性的实际应用
【点评】
本题是几何特性和生活实际结合的基础题，只要掌握三角形稳定性和四边形不稳定性的差异，结合生活中对各类实物的观察，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
