1.(教材P4T2)图中有几个三角形？用符号表示这些三角形.

图中有6个三角形，△ABD,△ADE,△ACE,△ABE,△ACD,△ABC.

【分析】
要数出图中三角形的个数，首先观察可得所有三角形都有公共顶点A，剩余两个顶点均在边BC上，因此只需按有序计数的方法数出BC边上的线段总数，每条线段和点A即可组成一个三角形。计数时可按“从小到大组合”的顺序：先数单个小三角形，再数由2个小三角形拼成的三角形，最后数由3个小三角形拼成的大三角形，避免出现重复计数或漏数的问题。
【解析】
1. 数单个小三角形：分别以BD、DE、EC为底边，对应△ABD、△ADE、△ACE，共3个；
2. 数由2个小三角形拼成的三角形：分别以BE、DC为底边，对应△ABE、△ACD，共2个；
3. 数由3个小三角形拼成的大三角形：以BC为底边，对应△ABC，共1个。
总个数为3+2+1=6个。
【答案】
图中有6个三角形，△ABD,△ADE,△ACE,△ABE,△ACD,△ABC.
【知识点】
三角形的概念；三角形的表示；有序计数
【点评】
本题是三角形相关的基础题型，核心考查有序计数的思维，掌握按组合大小分层计数的方法就能快速准确得出结果，能帮助学生巩固三角形的基本概念和表示方法。
【难度系数】
0.9

2.(教材P4T3改编)如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,∠BAC是钝角,E是DC上一点,且∠BAE是锐角.
(1)图中共有个三角形,它们是;
(2)图中锐角三角形有个,它们是;
(3)图中直角三角形有个,它们是;
(4)图中钝角三角形有个,它们是;

(1)6 △ABD,△ABE,△ABC,△ADE,△ACE,△ACD
(2)1 △ABE
(3)3 △ABD,△ADE,△ACD
(4)2 △ACE,△ABC

【分析】
解题思路如下：①解决数三角形的问题时，可按固定顺序计数，本题可固定顶点A，看底边BC上的线段总数，每条线段和顶点A都能组成一个三角形，避免重复或遗漏；②解决三角形按角分类的问题，先明确三类三角形的定义：三个角都是锐角的是锐角三角形，有一个角是直角的是直角三角形，有一个角是钝角的是钝角三角形，再逐个对计数得到的三角形按定义判断即可。
【解析】
(1) 底边BC上共有B、D、E、C4个点，可组成的线段有BD、BE、BC、DE、DC、EC共6条，每条线段与顶点A构成1个三角形，因此共有6个三角形，分别是△ABD,△ABE,△ABC,△ADE,△ACE,△ACD。
(2) 逐个判断三角形类型：△ABE三个角均为锐角（已知∠BAE为锐角，剩余两个内角也均为锐角），是锐角三角形；其余三角形均不符合锐角三角形定义，因此锐角三角形共1个，为△ABE。
(3) 由AD⊥BC可得∠ADB=∠ADE=∠ADC=90°，因此包含这三个直角的三角形△ABD、△ADE、△ACD是直角三角形，共3个。
(4) 已知∠BAC是钝角，因此△ABC是钝角三角形；△ACE中存在钝角，是钝角三角形；其余三角形不符合钝角三角形定义，因此钝角三角形共2个，为△ACE,△ABC。
【答案】
(1)6 △ABD,△ABE,△ABC,△ADE,△ACE,△ACD
(2)1 △ABE
(3)3 △ABD,△ADE,△ACD
(4)2 △ACE,△ABC
【知识点】
三角形的概念；三角形按角分类；垂直的定义
【点评】
本题属于基础题，重点考查三角形的计数方法和按角分类的判定规则，计数时按固定顺序可减少失误，分类时需紧扣定义逐一判断，熟练掌握相关概念是解题的关键。
【难度系数】
0.8

3.如图，$AB=BC=CD=DA=AC$.
(1)图中等腰三角形有个，它们是；
(2)图中等边三角形有个，它们是.

(1)4 △ABD,△BCD,△ACD,△ABC
(2)2 △ACD,△ABC

【分析】
解题时首先要明确等腰三角形和等边三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边都相等的三角形是等边三角形。首先先找出图中所有的独立三角形，再结合题目给出的$AB=BC=CD=DA=AC$的边长条件，逐一判断每个三角形是否符合等腰、等边三角形的定义即可。
【解析】
(1) 先找出图中所有三角形：$△ ABC$、$△ ACD$、$△ ABD$、$△ BCD$。
根据等腰三角形定义判断：
①$△ ABC$中$AB=BC$，是等腰三角形；
②$△ ACD$中$CD=DA$，是等腰三角形；
③$△ ABD$中$AB=AD$，是等腰三角形；
④$△ BCD$中$BC=CD$，是等腰三角形；
因此等腰三角形共4个。
(2) 根据等边三角形定义（三边相等的三角形是等边三角形）判断：
①$△ ABC$中$AB=BC=AC$，三边相等，是等边三角形；
②$△ ACD$中$AC=CD=DA$，三边相等，是等边三角形；
$△ ABD$和$△ BCD$仅两条边相等，第三边$BD$与另外两边长度不等，不属于等边三角形，因此等边三角形共2个。
【答案】
(1)$4$ $△ ABD,△ BCD,△ ACD,△ ABC$
(2)$2$ $△ ACD,△ ABC$
【知识点】
等腰三角形的判定，等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础类题目，解题的关键是先准确识别出图中的所有三角形，再结合两类三角形的定义和已知的边长相等条件逐一判断，计数时注意不要出现重复或遗漏的情况。
【难度系数】
0.85

4.(教材P4T5变式)如图直线l外一点P.
(1)当直线l上取两个点时,可以组成个三角形；
(2)当直线l上取3个点时,可以组成个三角形；
(3)当直线l上取4个点时,可以组成个三角形；
(4)当直线l上取n个点时,可以组成个三角形.

(1)1 (2)3 (3)6 (4)$\frac{n(n-1)}{2}$
解:直线l上有n个点时,可以构成$\frac{n(n-1)}{2}$条线段,每条线段可与P点组成一个三角形,故有$\frac{n(n-1)}{2}$个三角形.

【分析】
要解决本题，首先明确三角形的构成条件：三个不共线的点可以确定一个三角形。本题中点P在直线l外，固定了一个顶点，因此只需在直线l上选取2个不同的点，和点P搭配就能组成一个三角形，所以三角形的总个数等于直线l上的点所能构成的线段的总条数，我们可以通过从特殊到一般的思路，先计算点数少的情况，再推导n个点的通用规律。
【解析】
解题逻辑：每个三角形由点P和直线l上的2个点组成，因此三角形个数等于直线l上的点构成的线段条数。
(1) 当直线l上取2个点时，仅能构成1条线段，因此可组成1个三角形；
(2) 当直线l上取3个点时，线段条数为$2+1=3$，因此可组成3个三角形；
(3) 当直线l上取4个点时，线段条数为$3+2+1=6$，因此可组成6个三角形；
(4) 当直线l上取n个点时，线段总条数为$(n-1)+(n-2)+\dots+2+1=\frac{n(n-1)}{2}$，因此可组成$\frac{n(n-1)}{2}$个三角形。
【答案】
(1)1；(2)3；(3)6；(4)$\frac{n(n-1)}{2}$
【知识点】
三角形的定义、线段计数、规律探究
【点评】
本题将三角形计数问题转化为线段计数问题，考查从特殊到一般的规律推导能力，解题时注意有序计数，避免重复或遗漏，是几何入门的典型基础题。
【难度系数】
0.8

5.(教材P19活动1)取一些等长的磁力棒组成三角形.
(1)用3根磁力棒,最多能组成个等边三角形;
(2)用6根磁力棒,最多能组成个等边三角形;
(3)用9根磁力棒,最多能组成个等边三角形;
(4)用12根磁力棒,最多能组成个等边三角形.

(1)1 (2)4 (3)7 (4)10

提示:前三根一个等边三角形,后面每三根增加3个等边三角形.

【分析】
解题时首先注意题目提示需考虑立体图形，不要局限在平面拼接的思维中，结合等边三角形三边等长的性质思考：①3根磁力棒刚好是1个等边三角形的3条边，无法构造更多；②6根时，平面最多拼2个等边三角形，而立体的正四面体刚好需要6条等长棱，有4个等边三角形面，数量更多；③后续每新增3根磁力棒，可额外构造3个等边三角形，按此规律计算后续问题即可。
【解析】
(1) 3根等长磁力棒刚好对应1个等边三角形的三条边，没有多余磁力棒拼接更多等边三角形，因此最多能组成1个等边三角形。
(2) 若仅在平面拼接，最多得到2个共用一条边的等边三角形；考虑立体图形，正四面体（正三棱锥）有6条等长的棱，四个面均为等边三角形，刚好消耗6根磁力棒，因此最多能组成4个等边三角形。
(3) 结合规律：除前3根构造1个等边三角形外，后续每新增3根磁力棒可多得到3个等边三角形，因此9根时总数为4+3=7个。
(4) 12根比9根多3根，因此总数为7+3=10个。
提示：前三根一个等边三角形，后面每三根增加3个等边三角形。
【答案】
(1)1 (2)4 (3)7 (4)10

【知识点】
等边三角形的性质；立体图形的认识；图形拼接
【点评】
本题需要打破平面拼接的思维定式，结合立体图形的特征分析求解，侧重考查空间想象能力和发散思维，做题时要注意题干给出的提示信息，避免思维局限。
【难度系数】
0.6