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【例1】如图1，当
BD
=DC
时，AD是△ABC的中线；此时S△ABD=S△ACD
=$\frac{1}{2}S_{△ABC}$
。 答案
BD = DC，AD是△ABC的中线，此时$S_{△ABD}=S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，由此可推出AD为中线时边的等量关系；再结合三角形面积公式，观察△ABD和△ACD的底和高的特征：二者底相等，高是同一条从A向BC作的垂线，根据等底同高的三角形面积相等，即可得出面积的等量关系。
【解析】
1. 根据三角形中线的定义可知，当点D是BC的中点，即$\boldsymbol{BD=DC}$时，AD是△ABC的中线。
2. 过点A作BC边上的高h，△ABD和△ACD的底BD=DC，高均为h。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× BD× h$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× DC× h$
因为BD=DC，所以$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$。
又因为$S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=S_{△ ABC}$，所以$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
【答案】
BD，DC；$S_{△ ACD}$，$\frac{1}{2}S_{△ ABC}$
【知识点】
三角形中线的定义；三角形面积计算；等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对三角形中线定义的掌握，以及中线等分三角形面积这一性质的理解，熟练掌握基础概念和性质是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，由此可推出AD为中线时边的等量关系；再结合三角形面积公式，观察△ABD和△ACD的底和高的特征：二者底相等，高是同一条从A向BC作的垂线，根据等底同高的三角形面积相等，即可得出面积的等量关系。
【解析】
1. 根据三角形中线的定义可知，当点D是BC的中点，即$\boldsymbol{BD=DC}$时，AD是△ABC的中线。
2. 过点A作BC边上的高h，△ABD和△ACD的底BD=DC，高均为h。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× BD× h$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× DC× h$
因为BD=DC，所以$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$。
又因为$S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=S_{△ ABC}$，所以$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
【答案】
BD，DC；$S_{△ ACD}$，$\frac{1}{2}S_{△ ABC}$
【知识点】
三角形中线的定义；三角形面积计算；等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对三角形中线定义的掌握，以及中线等分三角形面积这一性质的理解，熟练掌握基础概念和性质是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.9
练习1.一个三角形有
三
条中线，这三条中线交于一点，这点叫三角形的重心
。答案
1.三 2.重心
解析
【分析】
本题考查三角形中线的相关基础概念，解题时可分两步思考：第一步回忆三角形中线的定义，三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段，三角形共有3个顶点，每个顶点对应一条对边，因此可推出中线的总数量；第二步回忆三角形三条中线交点的专属名称，对应教材给出的概念直接填写即可。
【解析】
首先，根据三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形共有3个顶点，每个顶点均可作出1条对应对边的中线，因此一个三角形有3条中线。
其次，教材中明确规定，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
【答案】
三；重心
【知识点】
三角形的中线；三角形的重心
【点评】
本题是基础概念识记类题目，难度较低，只要熟练掌握教材中与三角形中线相关的基础定义，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形中线的相关基础概念，解题时可分两步思考：第一步回忆三角形中线的定义，三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段，三角形共有3个顶点，每个顶点对应一条对边，因此可推出中线的总数量；第二步回忆三角形三条中线交点的专属名称，对应教材给出的概念直接填写即可。
【解析】
首先，根据三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形共有3个顶点，每个顶点均可作出1条对应对边的中线，因此一个三角形有3条中线。
其次，教材中明确规定，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
【答案】
三；重心
【知识点】
三角形的中线；三角形的重心
【点评】
本题是基础概念识记类题目，难度较低，只要熟练掌握教材中与三角形中线相关的基础定义，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
练习2.如图2,在△ABC中,点E,F分别为AB,AC的中点,作出BC的中点D.
答案
如图所示
解析
【分析】
要作出BC的中点，可利用三角形三条中线交于一点（重心）的性质推导：已知E、F分别是AB、AC的中点，因此CE、BF都是△ABC的中线，二者的交点就是三角形的重心，过顶点A和重心的直线就是BC边上的中线，该直线与BC的交点即为BC的中点D。
【解析】
作图步骤如下：
1. 分别连接线段CE、BF，两条线段交于点O；
2. 作射线AO，射线AO与BC边的交点就是所求的BC中点D。
【答案】
如图所示
【知识点】
三角形中线的定义，三角形重心的性质
【点评】
本题是基础作图类题目，主要考查对三角形中线和重心性质的应用，熟练掌握三角形三条中线共点的特点即可快速解题，能有效加深对三角形中线相关概念的理解。
【难度系数】
0.8
要作出BC的中点，可利用三角形三条中线交于一点（重心）的性质推导：已知E、F分别是AB、AC的中点，因此CE、BF都是△ABC的中线，二者的交点就是三角形的重心，过顶点A和重心的直线就是BC边上的中线，该直线与BC的交点即为BC的中点D。
【解析】
作图步骤如下：
1. 分别连接线段CE、BF，两条线段交于点O；
2. 作射线AO，射线AO与BC边的交点就是所求的BC中点D。
【答案】
如图所示
【知识点】
三角形中线的定义，三角形重心的性质
【点评】
本题是基础作图类题目，主要考查对三角形中线和重心性质的应用，熟练掌握三角形三条中线共点的特点即可快速解题，能有效加深对三角形中线相关概念的理解。
【难度系数】
0.8
【例2】如图3，若$∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4$，下列结论中错误的是(
A.$AD$是$△ ABC$的角平分线
B.$CE$是$△ ACD$的角平分线
C.$∠ 3=\frac{1}{2}∠ ACB$
D.$CE$是$△ ABC$的角平分线
D
)A.$AD$是$△ ABC$的角平分线
B.$CE$是$△ ACD$的角平分线
C.$∠ 3=\frac{1}{2}∠ ACB$
D.$CE$是$△ ABC$的角平分线
答案
D
解析
【分析】
本题考查三角形角平分线的定义，解题时先回忆三角形角平分线的判定条件：一是线段要平分三角形的一个内角，二是线段的两个端点分别是该内角的顶点和这个角对边上的点。我们结合已知∠1=∠2、∠3=∠4的条件，逐个分析每个选项是否符合三角形角平分线的定义，找出错误的结论即可。
【解析】
根据三角形角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
1. 分析选项A：已知∠1=∠2，说明AD平分∠BAC，且AD与∠BAC的对边BC交于点D，因此AD是△ABC的角平分线，A结论正确，不符合题意。
2. 分析选项B：已知∠3=∠4，说明CE平分∠ACD，且CE与∠ACD的对边AD交于点E，因此CE是△ACD的角平分线，B结论正确，不符合题意。
3. 分析选项C：因为∠ACB=∠3+∠4，结合∠3=∠4，可得∠3=∠4=$\frac{1}{2}$∠ACB，C结论正确，不符合题意。
4. 分析选项D：若CE是△ABC的角平分线，那么CE的另一个端点需要在∠ACB的对边AB上，但本题中CE的端点E在AD上，不在AB边上，不满足三角形角平分线的定义，因此D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题易因混淆不同三角形的角平分线的适用范围出错，解题时要注意：三角形的角平分线是针对特定三角形而言的，除了要平分对应内角外，线段的另一端必须落在该三角形的对应边上。
【难度系数】
0.7
本题考查三角形角平分线的定义，解题时先回忆三角形角平分线的判定条件：一是线段要平分三角形的一个内角，二是线段的两个端点分别是该内角的顶点和这个角对边上的点。我们结合已知∠1=∠2、∠3=∠4的条件，逐个分析每个选项是否符合三角形角平分线的定义，找出错误的结论即可。
【解析】
根据三角形角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
1. 分析选项A：已知∠1=∠2，说明AD平分∠BAC，且AD与∠BAC的对边BC交于点D，因此AD是△ABC的角平分线，A结论正确，不符合题意。
2. 分析选项B：已知∠3=∠4，说明CE平分∠ACD，且CE与∠ACD的对边AD交于点E，因此CE是△ACD的角平分线，B结论正确，不符合题意。
3. 分析选项C：因为∠ACB=∠3+∠4，结合∠3=∠4，可得∠3=∠4=$\frac{1}{2}$∠ACB，C结论正确，不符合题意。
4. 分析选项D：若CE是△ABC的角平分线，那么CE的另一个端点需要在∠ACB的对边AB上，但本题中CE的端点E在AD上，不在AB边上，不满足三角形角平分线的定义，因此D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题易因混淆不同三角形的角平分线的适用范围出错，解题时要注意：三角形的角平分线是针对特定三角形而言的，除了要平分对应内角外，线段的另一端必须落在该三角形的对应边上。
【难度系数】
0.7
练习.如图4，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC=80°，则∠EAD=
$20°$
.答案
$20°$
解析
【分析】
解题时先回忆角平分线的定义：角平分线会把一个角平均分成两个大小相等的角。本题已知两个角平分线和大角∠BAC的度数，我们可以分两步计算：第一步利用AD是△ABC的角平分线，先求出∠BAD的度数；第二步再利用AE是△ABD的角平分线，求出∠EAD的度数即可。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=80°，
∴∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×80° = 40°，
又
∵AE是△ABD的角平分线，
∴∠EAD = $\frac{1}{2}$∠BAD = $\frac{1}{2}$×40° = 20°。
【答案】
$20°$
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 角的运算
【点评】
本题是基础计算题，核心是对角平分线定义的理解与运用，只要理清两次角平分线的拆分关系，逐步计算就能得到正确结果，不易出错。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆角平分线的定义：角平分线会把一个角平均分成两个大小相等的角。本题已知两个角平分线和大角∠BAC的度数，我们可以分两步计算：第一步利用AD是△ABC的角平分线，先求出∠BAD的度数；第二步再利用AE是△ABD的角平分线，求出∠EAD的度数即可。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=80°，
∴∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×80° = 40°，
又
∵AE是△ABD的角平分线，
∴∠EAD = $\frac{1}{2}$∠BAD = $\frac{1}{2}$×40° = 20°。
【答案】
$20°$
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 角的运算
【点评】
本题是基础计算题，核心是对角平分线定义的理解与运用，只要理清两次角平分线的拆分关系，逐步计算就能得到正确结果，不易出错。
【难度系数】
0.9
【例3】以下是四位同学在钝角△ABC中画的BC边上的高，其中画法正确的是（
B
）答案
B
解析
【分析】
要画出钝角△ABC中BC边上的高，首先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段即为该边上的高。因此BC边上的高需要满足两个核心要求：①经过顶点A；②与BC所在的直线互相垂直，垂足在BC或BC的延长线上。接下来逐一核对每个选项是否符合这两个要求，即可选出正确答案。
【解析】
根据三角形高的定义，BC边上的高是过点A作BC所在直线的垂线，点A到垂足之间的线段。
选项A：所作线段没有过顶点A，且不垂直于BC所在直线，不符合高的定义，画法错误；
选项B：过顶点A作BC延长线的垂线，垂足D在BC的延长线上，符合BC边上高的要求，画法正确；
选项C：所作线段从点B出发，没有过顶点A，不符合要求，画法错误；
选项D：所作线段AD垂直于AB，不垂直于BC所在直线，不符合高的定义，画法错误。
综上，画法正确的是B。
【答案】
B
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题考查三角形高的画法，解题关键是牢记高的两个判定条件：过对顶点、垂直于对应边所在直线，要注意钝角三角形的两条高位于三角形外部，不要错误认为高必须在三角形内部。
【难度系数】
0.8
要画出钝角△ABC中BC边上的高，首先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段即为该边上的高。因此BC边上的高需要满足两个核心要求：①经过顶点A；②与BC所在的直线互相垂直，垂足在BC或BC的延长线上。接下来逐一核对每个选项是否符合这两个要求，即可选出正确答案。
【解析】
根据三角形高的定义，BC边上的高是过点A作BC所在直线的垂线，点A到垂足之间的线段。
选项A：所作线段没有过顶点A，且不垂直于BC所在直线，不符合高的定义，画法错误；
选项B：过顶点A作BC延长线的垂线，垂足D在BC的延长线上，符合BC边上高的要求，画法正确；
选项C：所作线段从点B出发，没有过顶点A，不符合要求，画法错误；
选项D：所作线段AD垂直于AB，不垂直于BC所在直线，不符合高的定义，画法错误。
综上，画法正确的是B。
【答案】
B
【知识点】
三角形高的定义
【点评】
本题考查三角形高的画法，解题关键是牢记高的两个判定条件：过对顶点、垂直于对应边所在直线，要注意钝角三角形的两条高位于三角形外部，不要错误认为高必须在三角形内部。
【难度系数】
0.8
练习1.如下三图，已知△ABC和△DEF，△MNG，在图中分别画出这三个三角形的三条高. 
答案
如图所示
解析
【分析】
解题前先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。解题思路如下：
1. 先判断三角形类型：△ABC是锐角三角形，三条高都在三角形内部，直接过顶点向对边作垂线段即可；
2. △DEF和△MNG是钝角三角形，钝角对边上的高在三角形内部，另外两条高需要先将对边延长，再过顶点向延长后的对边所在直线作垂线段，这两条高在三角形外部；
3. 所有高画完后要标注垂直符号，保证作图规范。
【解析】
作图步骤：
1. 绘制△ABC的三条高：
① 过点A作BC边的垂线，垂足落在BC边上，所得线段为BC边上的高；
② 过点B作AC边的垂线，垂足落在AC边上，所得线段为AC边上的高；
③ 过点C作AB边的垂线，垂足落在AB边上，所得线段为AB边上的高。
2. 绘制△DEF的三条高：
① 过点D作EF边的垂线，垂足落在EF边上，所得线段为EF边上的高；
② 延长DF边，过点E向DF所在直线作垂线，垂足落在DF的延长线上，所得线段为DF边上的高；
③ 延长DE边，过点F向DE所在直线作垂线，垂足落在DE的延长线上，所得线段为DE边上的高。
3. 绘制△MNG的三条高：
① 过点N作MG边的垂线，垂足落在MG边上，所得线段为MG边上的高；
② 延长MN边，过点G向MN所在直线作垂线，垂足落在MN的延长线上，所得线段为MN边上的高；
③ 延长NG边，过点M向NG所在直线作垂线，垂足落在NG的延长线上，所得线段为NG边上的高。
最终作图结果见参考答案图示。
【答案】
如图所示
【知识点】
三角形高的定义、垂线的画法
【点评】
本题重点考查三角形高的规范作图，需要注意不同类型三角形高的位置差异，钝角三角形有2条高位于三角形外部，作图时需先延长对应边再作垂线，同时要标注垂直符号保证作图正确规范。
【难度系数】
0.7
解题前先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。解题思路如下：
1. 先判断三角形类型：△ABC是锐角三角形，三条高都在三角形内部，直接过顶点向对边作垂线段即可；
2. △DEF和△MNG是钝角三角形，钝角对边上的高在三角形内部，另外两条高需要先将对边延长，再过顶点向延长后的对边所在直线作垂线段，这两条高在三角形外部；
3. 所有高画完后要标注垂直符号，保证作图规范。
【解析】
作图步骤：
1. 绘制△ABC的三条高：
① 过点A作BC边的垂线，垂足落在BC边上，所得线段为BC边上的高；
② 过点B作AC边的垂线，垂足落在AC边上，所得线段为AC边上的高；
③ 过点C作AB边的垂线，垂足落在AB边上，所得线段为AB边上的高。
2. 绘制△DEF的三条高：
① 过点D作EF边的垂线，垂足落在EF边上，所得线段为EF边上的高；
② 延长DF边，过点E向DF所在直线作垂线，垂足落在DF的延长线上，所得线段为DF边上的高；
③ 延长DE边，过点F向DE所在直线作垂线，垂足落在DE的延长线上，所得线段为DE边上的高。
3. 绘制△MNG的三条高：
① 过点N作MG边的垂线，垂足落在MG边上，所得线段为MG边上的高；
② 延长MN边，过点G向MN所在直线作垂线，垂足落在MN的延长线上，所得线段为MN边上的高；
③ 延长NG边，过点M向NG所在直线作垂线，垂足落在NG的延长线上，所得线段为NG边上的高。
最终作图结果见参考答案图示。
【答案】
如图所示
【知识点】
三角形高的定义、垂线的画法
【点评】
本题重点考查三角形高的规范作图，需要注意不同类型三角形高的位置差异，钝角三角形有2条高位于三角形外部，作图时需先延长对应边再作垂线，同时要标注垂直符号保证作图正确规范。
【难度系数】
0.7
练习2.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,CD是AB边上的中线，
则AC边上的高为
则AC边上的高为
4
cm,△BCD的面积=3
cm².答案
4 3
解析
【分析】
解题思路如下：第一步求AC边上的高，先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段就是该边上的高，结合直角三角形∠ACB=90°的特征，可直接判断AC边上的高的长度；第二步求△BCD的面积，先计算Rt△ABC的总面积，再利用三角形中线的性质：三角形的中线将原三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形，即可求出△BCD的面积。
【解析】
1. 计算AC边上的高：
AC边上的高是过点B向AC所在直线作的垂线段，
∵∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴AC边上的高的长度等于BC的长度，为4cm。
2. 计算△BCD的面积：
先求Rt△ABC的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×3×4=6\ \mathrm{cm}^2$
∵CD是AB边上的中线，
∴BD=AD，△BCD与△ACD的底相等，且两个三角形对应底上的高都是点C到AB的距离，即高相等，
∴$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
4；3
【知识点】
三角形高的定义，三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形高、中线的基本性质，解题关键是准确理解高的定义，熟练掌握中线平分三角形面积的性质，结合直角三角形的特征即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步求AC边上的高，先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段就是该边上的高，结合直角三角形∠ACB=90°的特征，可直接判断AC边上的高的长度；第二步求△BCD的面积，先计算Rt△ABC的总面积，再利用三角形中线的性质：三角形的中线将原三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形，即可求出△BCD的面积。
【解析】
1. 计算AC边上的高：
AC边上的高是过点B向AC所在直线作的垂线段，
∵∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴AC边上的高的长度等于BC的长度，为4cm。
2. 计算△BCD的面积：
先求Rt△ABC的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×3×4=6\ \mathrm{cm}^2$
∵CD是AB边上的中线，
∴BD=AD，△BCD与△ACD的底相等，且两个三角形对应底上的高都是点C到AB的距离，即高相等，
∴$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
4；3
【知识点】
三角形高的定义，三角形中线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形高、中线的基本性质，解题关键是准确理解高的定义，熟练掌握中线平分三角形面积的性质，结合直角三角形的特征即可快速求解。
【难度系数】
0.8
