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5. 如图，折线ABC是某市乘出租车所付车费y（单位：元）与行车里程x（单位：km）之间的函数关系图象.
（1）根据图象，写出当$x≥3$时该图象的函数关系式；
（2）某人乘坐2.5 km，应付多少钱？
（3）某人乘坐13 km，应付多少钱？
（4）若某人付车费30.8元，出租车行驶了多少千米？
（1）根据图象，写出当$x≥3$时该图象的函数关系式；
（2）某人乘坐2.5 km，应付多少钱？
（3）某人乘坐13 km，应付多少钱？
（4）若某人付车费30.8元，出租车行驶了多少千米？
答案
5.（1）y=7/5 x +14/5 (x≥3).
（2）7元.
（3）21元.
（4）20千米.
（2）7元.
（3）21元.
（4）20千米.
解析
【分析】
解题时先从图像提取有效信息逐步求解：1. 求$x≥3$的函数关系式：该段是一次函数，用待定系数法，找到图像经过的点$B(3,7)$和$C(8,14)$，代入一次函数通式$y=kx+b$解方程组即可得解析式；2. 乘坐$2.5\mathrm{km}$时，观察图像可知里程不超过3km时车费固定为7元，直接得到费用；3. 乘坐$13\mathrm{km}$时，$13＞3$，代入第一问得到的解析式计算$y$值即可；4. 付车费30.8元时，$30.8＞7$说明里程超过3km，将$y=30.8$代入解析式反求$x$即可得到行驶里程。
【解析】
（1）设当$x≥3$时，函数关系式为$y=kx+b\ (k≠0)$，
由图像可知函数过点$B(3,7)$和$C(8,14)$，代入得方程组：
$\begin{cases}3k + b = 7 \\8k + b = 14 \end{cases}$
两式相减得$5k=7$，解得$k=\frac{7}{5}$，
将$k=\frac{7}{5}$代入$3k + b =7$，解得$b=\frac{14}{5}$，
即$x≥3$时的函数关系式为$y=\frac{7}{5}x+\frac{14}{5}\ (x≥3)$。
（2）因为$2.5＜3$，由图像可知$0≤x≤3$时车费固定为7元，故应付7元。
（3）因为$13＞3$，将$x=13$代入$y=\frac{7}{5}x+\frac{14}{5}$得：
$y=\frac{7}{5}×13+\frac{14}{5}=\frac{105}{5}=21$，故应付21元。
（4）因为$30.8＞7$，将$y=30.8$代入$y=\frac{7}{5}x+\frac{14}{5}$得：
$30.8=\frac{7}{5}x+\frac{14}{5}$，解得$x=20$，故出租车行驶了20千米。
【答案】
（1）$y=\frac{7}{5}x+\frac{14}{5}\ (x≥3)$
（2）7元
（3）21元
（4）20千米
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；分段函数应用
【点评】
本题结合出租车计费的生活场景，考查一次函数的实际应用，解题核心是准确从分段函数图像中提取信息，明确不同里程段的计费规则，灵活运用一次函数解析式求解对应量。
【难度系数】
0.7
解题时先从图像提取有效信息逐步求解：1. 求$x≥3$的函数关系式：该段是一次函数，用待定系数法，找到图像经过的点$B(3,7)$和$C(8,14)$，代入一次函数通式$y=kx+b$解方程组即可得解析式；2. 乘坐$2.5\mathrm{km}$时，观察图像可知里程不超过3km时车费固定为7元，直接得到费用；3. 乘坐$13\mathrm{km}$时，$13＞3$，代入第一问得到的解析式计算$y$值即可；4. 付车费30.8元时，$30.8＞7$说明里程超过3km，将$y=30.8$代入解析式反求$x$即可得到行驶里程。
【解析】
（1）设当$x≥3$时，函数关系式为$y=kx+b\ (k≠0)$，
由图像可知函数过点$B(3,7)$和$C(8,14)$，代入得方程组：
$\begin{cases}3k + b = 7 \\8k + b = 14 \end{cases}$
两式相减得$5k=7$，解得$k=\frac{7}{5}$，
将$k=\frac{7}{5}$代入$3k + b =7$，解得$b=\frac{14}{5}$，
即$x≥3$时的函数关系式为$y=\frac{7}{5}x+\frac{14}{5}\ (x≥3)$。
（2）因为$2.5＜3$，由图像可知$0≤x≤3$时车费固定为7元，故应付7元。
（3）因为$13＞3$，将$x=13$代入$y=\frac{7}{5}x+\frac{14}{5}$得：
$y=\frac{7}{5}×13+\frac{14}{5}=\frac{105}{5}=21$，故应付21元。
（4）因为$30.8＞7$，将$y=30.8$代入$y=\frac{7}{5}x+\frac{14}{5}$得：
$30.8=\frac{7}{5}x+\frac{14}{5}$，解得$x=20$，故出租车行驶了20千米。
【答案】
（1）$y=\frac{7}{5}x+\frac{14}{5}\ (x≥3)$
（2）7元
（3）21元
（4）20千米
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；分段函数应用
【点评】
本题结合出租车计费的生活场景，考查一次函数的实际应用，解题核心是准确从分段函数图像中提取信息，明确不同里程段的计费规则，灵活运用一次函数解析式求解对应量。
【难度系数】
0.7
6. 如图1是甲、乙两个底面积相等的圆柱体水槽轴截面的示意图，甲、乙两个水槽中都有一定量的水，并且乙水槽中有一圆柱体铁块立放（圆柱体铁块的下底面完全落在乙槽底面上）.现将甲水槽中所有的水匀速注入乙水槽中，其中一个水槽中水的深度$y$（单位：厘米）与注水时间$x$（单位：分钟）之间的关系如图2所示.
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）图2中折线ABC表示
（2）直接写出另一个水槽中水的深度$y$（厘米）与注水时间$x$（分钟）的函数关系式，并在图2中画出对应的函数图象；
（3）设水槽的底面积为$S$（平方厘米），铁块的底面积为$S_{\mathrm{铁}}$（平方厘米）（壁厚不计），求$S:S_{\mathrm{铁}}$的值.
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）图2中折线ABC表示
乙
（选填“甲”或“乙”）水槽中水的深度$y$（厘米）与注水时间$x$（分钟）之间的关系，并说明点B纵坐标的实际意义；（2）直接写出另一个水槽中水的深度$y$（厘米）与注水时间$x$（分钟）的函数关系式，并在图2中画出对应的函数图象；
（3）设水槽的底面积为$S$（平方厘米），铁块的底面积为$S_{\mathrm{铁}}$（平方厘米）（壁厚不计），求$S:S_{\mathrm{铁}}$的值.
答案
6.（1）乙，点B纵坐标表示铁块的高度为7厘米或表示此时乙水槽中水的深度为7厘米.
（2）y=-2/3 x +6，x的取值范围是0≤x≤9，图略.
（3）3.
（2）y=-2/3 x +6，x的取值范围是0≤x≤9，图略.
（3）3.
解析
【分析】
1. 第（1）问：注水过程是将甲槽的水全部注入乙槽，因此甲槽水深随时间增加逐渐减小，乙槽水深随时间增加逐渐增大，结合图2中y随x增大而上升的特征，可判断折线对应乙水槽。乙槽内有铁块，注水初期水未没过铁块时，水的有效底面积为水槽底面积减铁块底面积，相同注水量下水位上升更快；当水位刚好没过铁块后，有效底面积变为水槽的全部底面积，水位上升速度变慢，因此折线拐点B对应水位刚好和铁块高度持平的时刻，其纵坐标就是铁块的高度，也代表此时乙水槽的水深。
2. 第（2）问：另一个水槽是甲，其水深随时间匀速下降，属于一次函数关系。先根据乙槽后3分钟的注水量算出每分钟注水体积，进而算出甲槽原有水的总体积，结合甲槽底面积为S得到甲初始水深；再结合9分钟后甲槽水全部注完（水深为0），用待定系数法即可求出函数解析式。
3. 第（3）问：利用前6分钟的注水量等于乙槽内水增加的体积列等式，前6分钟水位上升阶段水的有效底面积为$S-S_{铁}$，上升高度已知，注水量可由注水速度和时间算出，联立等式即可求出$S$和$S_{铁}$的比值。
【解析】
（1）因为将甲槽的水匀速注入乙槽时，甲槽水深逐渐降低，乙槽水深逐渐升高，图2中y随x增大而升高，所以折线ABC表示乙水槽的水深与注水时间的关系。
乙槽内有铁块，注水前6分钟水位上升速度快，是因为水未没过铁块，水的底面积为$S-S_{铁}$，到x=6分钟时，水位刚好与铁块高度相同，因此点B纵坐标的实际意义是铁块的高度为7厘米（或此时乙水槽中水的深度为7厘米，刚好没过铁块）。
（2）另一个水槽是甲槽，其水深y与x满足一次函数关系：
首先计算注水速度：x在6~9分钟时，乙槽水位从7cm升到9cm，上升了2cm，此时水已没过铁块，3分钟注入的水的体积为$V=S×2$，因此每分钟注水体积为$\frac{2S}{3}$。
9分钟共注入水的体积为$9×\frac{2S}{3}=6S$，即甲槽原有水的体积为6S，甲槽底面积为S，因此甲初始水深为$\frac{6S}{S}=6$cm，即x=0时y=6；x=9时甲槽水全部注完，y=0。
设甲的函数关系式为$y=kx+b$，代入$(0,6)$和$(9,0)$得：
$\begin{cases}b=6 \\ 9k + b = 0\end{cases}$，解得$k=-\frac{2}{3}, b=6$，因此函数关系式为$y=-\frac{2}{3}x + 6$，自变量x的取值范围是$0≤ x≤9$。（图象为连接(0,6)和(9,0)的线段，画图略）
（3）前6分钟注入的水的体积为$6×\frac{2S}{3}=4S$。
前6分钟乙槽水位从1cm上升到7cm，上升高度为$7-1=6$cm，此时水未没过铁块，水增加的体积为$(S - S_{铁})×6$。
由注入水的体积等于乙槽水增加的体积，得：
$6(S - S_{铁}) = 4S$
展开得：$6S - 6S_{铁}=4S$
移项整理得：$2S=6S_{铁}$，因此$\frac{S}{S_{铁}}=\frac{6}{2}=3$，即$S:S_{铁}=3$。
【答案】
（1）乙，点B纵坐标表示铁块的高度为7厘米（或表示此时乙水槽中水的深度为7厘米）；
（2）$y=-\frac{2}{3}x + 6（0≤ x≤9）$，图象略；
（3）3
【知识点】
一次函数的应用，圆柱体体积计算，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合实际注水场景考查一次函数和体积公式的综合应用，解题关键是结合图象理解拐点的实际意义，抓住注水过程中体积不变的等量关系列算式，需要具备一定的图象分析能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
1. 第（1）问：注水过程是将甲槽的水全部注入乙槽，因此甲槽水深随时间增加逐渐减小，乙槽水深随时间增加逐渐增大，结合图2中y随x增大而上升的特征，可判断折线对应乙水槽。乙槽内有铁块，注水初期水未没过铁块时，水的有效底面积为水槽底面积减铁块底面积，相同注水量下水位上升更快；当水位刚好没过铁块后，有效底面积变为水槽的全部底面积，水位上升速度变慢，因此折线拐点B对应水位刚好和铁块高度持平的时刻，其纵坐标就是铁块的高度，也代表此时乙水槽的水深。
2. 第（2）问：另一个水槽是甲，其水深随时间匀速下降，属于一次函数关系。先根据乙槽后3分钟的注水量算出每分钟注水体积，进而算出甲槽原有水的总体积，结合甲槽底面积为S得到甲初始水深；再结合9分钟后甲槽水全部注完（水深为0），用待定系数法即可求出函数解析式。
3. 第（3）问：利用前6分钟的注水量等于乙槽内水增加的体积列等式，前6分钟水位上升阶段水的有效底面积为$S-S_{铁}$，上升高度已知，注水量可由注水速度和时间算出，联立等式即可求出$S$和$S_{铁}$的比值。
【解析】
（1）因为将甲槽的水匀速注入乙槽时，甲槽水深逐渐降低，乙槽水深逐渐升高，图2中y随x增大而升高，所以折线ABC表示乙水槽的水深与注水时间的关系。
乙槽内有铁块，注水前6分钟水位上升速度快，是因为水未没过铁块，水的底面积为$S-S_{铁}$，到x=6分钟时，水位刚好与铁块高度相同，因此点B纵坐标的实际意义是铁块的高度为7厘米（或此时乙水槽中水的深度为7厘米，刚好没过铁块）。
（2）另一个水槽是甲槽，其水深y与x满足一次函数关系：
首先计算注水速度：x在6~9分钟时，乙槽水位从7cm升到9cm，上升了2cm，此时水已没过铁块，3分钟注入的水的体积为$V=S×2$，因此每分钟注水体积为$\frac{2S}{3}$。
9分钟共注入水的体积为$9×\frac{2S}{3}=6S$，即甲槽原有水的体积为6S，甲槽底面积为S，因此甲初始水深为$\frac{6S}{S}=6$cm，即x=0时y=6；x=9时甲槽水全部注完，y=0。
设甲的函数关系式为$y=kx+b$，代入$(0,6)$和$(9,0)$得：
$\begin{cases}b=6 \\ 9k + b = 0\end{cases}$，解得$k=-\frac{2}{3}, b=6$，因此函数关系式为$y=-\frac{2}{3}x + 6$，自变量x的取值范围是$0≤ x≤9$。（图象为连接(0,6)和(9,0)的线段，画图略）
（3）前6分钟注入的水的体积为$6×\frac{2S}{3}=4S$。
前6分钟乙槽水位从1cm上升到7cm，上升高度为$7-1=6$cm，此时水未没过铁块，水增加的体积为$(S - S_{铁})×6$。
由注入水的体积等于乙槽水增加的体积，得：
$6(S - S_{铁}) = 4S$
展开得：$6S - 6S_{铁}=4S$
移项整理得：$2S=6S_{铁}$，因此$\frac{S}{S_{铁}}=\frac{6}{2}=3$，即$S:S_{铁}=3$。
【答案】
（1）乙，点B纵坐标表示铁块的高度为7厘米（或表示此时乙水槽中水的深度为7厘米）；
（2）$y=-\frac{2}{3}x + 6（0≤ x≤9）$，图象略；
（3）3
【知识点】
一次函数的应用，圆柱体体积计算，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合实际注水场景考查一次函数和体积公式的综合应用，解题关键是结合图象理解拐点的实际意义，抓住注水过程中体积不变的等量关系列算式，需要具备一定的图象分析能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
