登录
五、如图,在正方形铁皮的四个角分别剪去一个边长是5 cm 的小正方形,剩下部分正好可以折成一个无盖的正方体铁盒,这个铁盒的表面积是多少？
答案
$125\ cm^2$
解析
【分析】
要计算这个无盖正方体铁盒的表面积，首先得确定铁盒的棱长：四个角剪去的是边长5cm的小正方形，折叠后正好是无盖正方体，说明这个正方体的棱长就等于剪去的小正方形的边长，也就是5cm。无盖正方体只有5个完全相同的正方形面，算出5个边长为5cm的正方形的面积之和，就能得到铁盒的表面积，也可以用原来大正方形铁皮的总面积减去四个剪去的小正方形的面积计算，结果一致。
【解析】
1. 确定无盖正方体铁盒的棱长
由折叠特征可知，折成的无盖正方体铁盒的棱长等于剪去的小正方形的边长，即棱长为5cm。
2. 计算铁盒的表面积
无盖正方体共有5个面积相等的面，单个面的面积为：
$5×5=25\ (\mathrm{cm}^2)$
铁盒的表面积为5个面的总面积：
$25×5=125\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$125\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
正方体表面积计算，正方形面积计算，图形折叠特征
【点评】
这道题需要结合立体图形折叠的特点找到解题突破口，重点考查正方体表面积的灵活应用，解题时要注意无盖正方体只需计算5个面的面积，避免按照完整正方体6个面计算出错。
【难度系数】
0.7
要计算这个无盖正方体铁盒的表面积，首先得确定铁盒的棱长：四个角剪去的是边长5cm的小正方形，折叠后正好是无盖正方体，说明这个正方体的棱长就等于剪去的小正方形的边长，也就是5cm。无盖正方体只有5个完全相同的正方形面，算出5个边长为5cm的正方形的面积之和，就能得到铁盒的表面积，也可以用原来大正方形铁皮的总面积减去四个剪去的小正方形的面积计算，结果一致。
【解析】
1. 确定无盖正方体铁盒的棱长
由折叠特征可知，折成的无盖正方体铁盒的棱长等于剪去的小正方形的边长，即棱长为5cm。
2. 计算铁盒的表面积
无盖正方体共有5个面积相等的面，单个面的面积为：
$5×5=25\ (\mathrm{cm}^2)$
铁盒的表面积为5个面的总面积：
$25×5=125\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$125\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
正方体表面积计算，正方形面积计算，图形折叠特征
【点评】
这道题需要结合立体图形折叠的特点找到解题突破口，重点考查正方体表面积的灵活应用，解题时要注意无盖正方体只需计算5个面的面积，避免按照完整正方体6个面计算出错。
【难度系数】
0.7
六、暑假的一天，小培和小优在一起复习长方体和正方体的知识。小培用3个一样的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是112 dm²。
答案
$48\ dm^2$
解析
【分析】
我们可以先思考3个相同小正方体拼成长方体时面的变化规律：每两个小正方体拼接一次，就会有2个面重合，不再算在表面积里。3个小正方体拼接需要拼2次，先算出拼成的长方体的表面积一共对应多少个小正方体的面的面积，再用长方体的表面积除以这个数量，就能得到小正方体单个面的面积，最后乘6就能算出小正方体的表面积。
【解析】
1. 计算3个小正方体原本的总面数：
每个小正方体有6个面，3个的总面数为 $ 3 × 6 = 18 $（个）
2. 计算拼接后减少的面数：
3个小正方体拼成长方体需要拼接 $ 3-1=2 $ 次，每次拼接减少2个面，总共减少的面数为 $ 2 × 2 = 4 $（个）
3. 计算长方体表面积对应的小正方形面数：
$ 18 - 4 = 14 $（个）
4. 计算小正方体单个面的面积：
$ 112 ÷ 14 = 8 $（$ \mathrm{dm}^2 $）
5. 计算小正方体的表面积：
$ 8 × 6 = 48 $（$ \mathrm{dm}^2 $）
【答案】
$ 48\ \mathrm{dm}^2 $
【知识点】
1. 正方体表面积计算
2. 拼接图形面数变化
【点评】
本题核心是掌握立体图形拼接时表面积的变化规律，解题关键是准确算出拼接后减少的重合面数量，从而建立长方体表面积和小正方体单个面面积的关系，解题时注意不要遗漏拼接处的重合面即可。
【难度系数】
0.7
我们可以先思考3个相同小正方体拼成长方体时面的变化规律：每两个小正方体拼接一次，就会有2个面重合，不再算在表面积里。3个小正方体拼接需要拼2次，先算出拼成的长方体的表面积一共对应多少个小正方体的面的面积，再用长方体的表面积除以这个数量，就能得到小正方体单个面的面积，最后乘6就能算出小正方体的表面积。
【解析】
1. 计算3个小正方体原本的总面数：
每个小正方体有6个面，3个的总面数为 $ 3 × 6 = 18 $（个）
2. 计算拼接后减少的面数：
3个小正方体拼成长方体需要拼接 $ 3-1=2 $ 次，每次拼接减少2个面，总共减少的面数为 $ 2 × 2 = 4 $（个）
3. 计算长方体表面积对应的小正方形面数：
$ 18 - 4 = 14 $（个）
4. 计算小正方体单个面的面积：
$ 112 ÷ 14 = 8 $（$ \mathrm{dm}^2 $）
5. 计算小正方体的表面积：
$ 8 × 6 = 48 $（$ \mathrm{dm}^2 $）
【答案】
$ 48\ \mathrm{dm}^2 $
【知识点】
1. 正方体表面积计算
2. 拼接图形面数变化
【点评】
本题核心是掌握立体图形拼接时表面积的变化规律，解题关键是准确算出拼接后减少的重合面数量，从而建立长方体表面积和小正方体单个面面积的关系，解题时注意不要遗漏拼接处的重合面即可。
【难度系数】
0.7
下图是由20个棱长是1 cm的小正方体重叠堆成的，求这个立体图形的表面积。
答案
$52\ cm^2$
解析
【分析】
要求这个不规则立体图形的表面积，我们可以用“三视图法”求解：首先明确每个棱长1cm的小正方体的一个面的面积是1cm²，相对的两个方向看到的小正方形数量相等，只需要分别数出前、左、上三个方向看到的小正方形个数，各乘2得到六个方向的总个数，再乘单个小正方形的面积就能得到总表面积。
【解析】
1. 计算单个小正方形的面积：
$1×1=1(\mathrm{cm}^2)$
2. 计算前后两面的总面积：
前面可看到的小正方形：底座部分有$4×2=8$个，上方突出部分有$2×2=4$个，共$8+4=12$个，前后两面总个数为$12×2=24$个，面积为$24×1=24(\mathrm{cm}^2)$。
3. 计算左右两面的总面积：
左面可看到的小正方形共$4+2=6$个，左右两面总个数为$6×2=12$个，面积为$12×1=12(\mathrm{cm}^2)$。
4. 计算上下两面的总面积：
上面可看到的小正方形共$4×2=8$个，上下两面总个数为$8×2=16$个，面积为$16×1=16(\mathrm{cm}^2)$。
5. 计算总表面积：
$24+12+16=52(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$52\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
正方体表面积计算，不规则立体图形表面积，三视图法
【点评】
本题用三视图法简化不规则立体图形的表面积计算，避免了漏算、重复计算面的问题，解题核心是准确数出三个不同方向上的小正方形数量。
【难度系数】
0.7
要求这个不规则立体图形的表面积，我们可以用“三视图法”求解：首先明确每个棱长1cm的小正方体的一个面的面积是1cm²，相对的两个方向看到的小正方形数量相等，只需要分别数出前、左、上三个方向看到的小正方形个数，各乘2得到六个方向的总个数，再乘单个小正方形的面积就能得到总表面积。
【解析】
1. 计算单个小正方形的面积：
$1×1=1(\mathrm{cm}^2)$
2. 计算前后两面的总面积：
前面可看到的小正方形：底座部分有$4×2=8$个，上方突出部分有$2×2=4$个，共$8+4=12$个，前后两面总个数为$12×2=24$个，面积为$24×1=24(\mathrm{cm}^2)$。
3. 计算左右两面的总面积：
左面可看到的小正方形共$4+2=6$个，左右两面总个数为$6×2=12$个，面积为$12×1=12(\mathrm{cm}^2)$。
4. 计算上下两面的总面积：
上面可看到的小正方形共$4×2=8$个，上下两面总个数为$8×2=16$个，面积为$16×1=16(\mathrm{cm}^2)$。
5. 计算总表面积：
$24+12+16=52(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$52\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
正方体表面积计算，不规则立体图形表面积，三视图法
【点评】
本题用三视图法简化不规则立体图形的表面积计算，避免了漏算、重复计算面的问题，解题核心是准确数出三个不同方向上的小正方形数量。
【难度系数】
0.7
