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9. 如图所示,已知△ABC(AC＜AB＜BC),用尺规在线段BC上确定一点P,使得PA+PC=BC,则符合要求的作图痕迹是 (
A
)答案
9.A
解析
【分析】
首先对已知条件PA+PC=BC进行转化：因为点P在BC上，所以BC=BP+PC，代入等式可得PA=BP，即点P到A、B两点的距离相等。根据线段垂直平分线的判定，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需找到AB的垂直平分线与BC的交点即为所求点P，再对照各选项的作图痕迹判断即可。
【解析】
解：
∵点P在线段BC上，
∴BC = BP + PC，
又
∵要求PA + PC = BC，
∴PA + PC = BP + PC，化简得PA = BP。
根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可知点P在AB的垂直平分线上。
观察选项：
A选项的作图痕迹是AB的垂直平分线，它与BC的交点为P，满足PA=BP，因此PA+PC=BP+PC=BC，符合要求；
B选项所作是AC的垂直平分线，此时PA=PC，无法推出PA+PC=BC，不符合要求；
C、D选项为画弧痕迹，无法得到PA=BP的关系，不符合要求。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的判定、尺规作图、等量代换
【点评】
本题核心是通过等量代换将陌生的线段和条件转化为熟悉的线段相等关系，再结合线段垂直平分线的判定对应作图痕迹，解题时要先转化条件再匹配对应的作图方法。
【难度系数】
0.7
首先对已知条件PA+PC=BC进行转化：因为点P在BC上，所以BC=BP+PC，代入等式可得PA=BP，即点P到A、B两点的距离相等。根据线段垂直平分线的判定，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此只需找到AB的垂直平分线与BC的交点即为所求点P，再对照各选项的作图痕迹判断即可。
【解析】
解：
∵点P在线段BC上，
∴BC = BP + PC，
又
∵要求PA + PC = BC，
∴PA + PC = BP + PC，化简得PA = BP。
根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可知点P在AB的垂直平分线上。
观察选项：
A选项的作图痕迹是AB的垂直平分线，它与BC的交点为P，满足PA=BP，因此PA+PC=BP+PC=BC，符合要求；
B选项所作是AC的垂直平分线，此时PA=PC，无法推出PA+PC=BC，不符合要求；
C、D选项为画弧痕迹，无法得到PA=BP的关系，不符合要求。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的判定、尺规作图、等量代换
【点评】
本题核心是通过等量代换将陌生的线段和条件转化为熟悉的线段相等关系，再结合线段垂直平分线的判定对应作图痕迹，解题时要先转化条件再匹配对应的作图方法。
【难度系数】
0.7
10.如图,在$△ ABC$中,AD垂直平分BC,在$△ ACF$中,CE垂直平分AF,若$CF=5$,$CD=4$,则$△ ABC$的周长为 (
A.24
B.20
C.18
D.16
C
)A.24
B.20
C.18
D.16
答案
10.C
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。第一步先根据CE垂直平分AF，推出AC和CF相等，得到AC的长度；再根据AD垂直平分BC，推出AB=AC，同时得到BC的长度是CD的2倍，最后将△ABC的三边相加即可得到周长。
【解析】
∵CE垂直平分AF，根据线段垂直平分线的性质，可得AC=CF，
已知CF=5，
∴AC=5。
又
∵AD垂直平分BC，
∴AB=AC=5，BC=2CD，
已知CD=4，
∴BC=2×4=8。
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=5+5+8=18。
最终本题选择C。
【答案】
C
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质；2.三角形周长计算
【点评】
本题侧重考查线段垂直平分线性质的应用，解题的核心是利用性质快速得到相等的线段，进而求出三角形各边长度，掌握相关性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。第一步先根据CE垂直平分AF，推出AC和CF相等，得到AC的长度；再根据AD垂直平分BC，推出AB=AC，同时得到BC的长度是CD的2倍，最后将△ABC的三边相加即可得到周长。
【解析】
∵CE垂直平分AF，根据线段垂直平分线的性质，可得AC=CF，
已知CF=5，
∴AC=5。
又
∵AD垂直平分BC，
∴AB=AC=5，BC=2CD，
已知CD=4，
∴BC=2×4=8。
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=5+5+8=18。
最终本题选择C。
【答案】
C
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质；2.三角形周长计算
【点评】
本题侧重考查线段垂直平分线性质的应用，解题的核心是利用性质快速得到相等的线段，进而求出三角形各边长度，掌握相关性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
11.如图,已知线段AB,分别以点A,B为圆心,以5为半径作弧,相交于点C,D.连接CD,点E在CD上,连接CA,CB,EA,EB.若△ABC与△ABE的周长之差为4,则AE的长为
3
.答案
11.3
解析
【分析】
首先根据作图规则可直接得出AC=BC=5，且CD是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得EA=EB。接下来分别写出△ABC和△ABE的周长表达式，两个周长作差时公共边AB会抵消，结合已知的周长差为4的条件，代入数值即可求解AE的长度。
【解析】
由作图可知：AC=BC=5，且CD是线段AB的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AE=BE。
△ABC的周长为：$C_{△ ABC}=AC+BC+AB=5+5+AB=10+AB$，
△ABE的周长为：$C_{△ ABE}=AE+BE+AB=AE+AE+AB=2AE+AB$，
已知两个三角形周长之差为4，即$C_{△ ABC}-C_{△ ABE}=4$，
代入周长表达式得：$(10+AB)-(2AE+AB)=4$，
化简得：$10-2AE=4$，
解得：$2AE=6$，$AE=3$。
【答案】
3
【知识点】
线段垂直平分线性质；三角形周长计算；一元一次方程求解
【点评】
本题结合尺规作图考查基础几何性质的应用，解题的关键是识别出CD是AB的垂直平分线，同时通过作差消去公共边AB简化计算，属于基础类的几何应用题。
【难度系数】
0.7
首先根据作图规则可直接得出AC=BC=5，且CD是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得EA=EB。接下来分别写出△ABC和△ABE的周长表达式，两个周长作差时公共边AB会抵消，结合已知的周长差为4的条件，代入数值即可求解AE的长度。
【解析】
由作图可知：AC=BC=5，且CD是线段AB的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AE=BE。
△ABC的周长为：$C_{△ ABC}=AC+BC+AB=5+5+AB=10+AB$，
△ABE的周长为：$C_{△ ABE}=AE+BE+AB=AE+AE+AB=2AE+AB$，
已知两个三角形周长之差为4，即$C_{△ ABC}-C_{△ ABE}=4$，
代入周长表达式得：$(10+AB)-(2AE+AB)=4$，
化简得：$10-2AE=4$，
解得：$2AE=6$，$AE=3$。
【答案】
3
【知识点】
线段垂直平分线性质；三角形周长计算；一元一次方程求解
【点评】
本题结合尺规作图考查基础几何性质的应用，解题的关键是识别出CD是AB的垂直平分线，同时通过作差消去公共边AB简化计算，属于基础类的几何应用题。
【难度系数】
0.7
12. 如图,用直尺和圆规作$∠ MAN$的平分线,根据作图痕迹,下列结论不一定正确的是 (
A.$AD=AE$
B.$AD=DF$
C.$DF=EF$
D.$AF⊥ DE$
B
)A.$AD=AE$
B.$AD=DF$
C.$DF=EF$
D.$AF⊥ DE$
答案
12.B
解析
【分析】
解决本题首先要回忆角平分线的尺规作图步骤，结合作图痕迹推导各线段、角的关系，再逐一验证选项：首先由第一步以A为圆心画弧可得AD=AE；第二步分别以D、E为圆心画弧可得DF=EF；再通过全等三角形判定证明△ADF≌△AEF，结合等腰三角形三线合一的性质可判断AF与DE的位置关系，最后分析AD和DF的长度关系即可得出答案。
【解析】
根据角平分线的尺规作图过程推导：
1. 第一步以点A为圆心，相同长度为半径画弧，分别交AM、AN于D、E，因此$\boldsymbol{AD=AE}$，故A选项结论正确，不符合题意；
2. 第二步分别以D、E为圆心，大于$\frac{1}{2}DE$的相同长度为半径画弧，两弧交于F，因此$\boldsymbol{DF=EF}$，故C选项结论正确，不符合题意；
3. 在$△ ADF$和$△ AEF$中：
$\{\begin{array}{l}AD=AE\\DF=EF\\AF=AF\end{array} $
∴$△ ADF≌△ AEF$（SSS），可得AF平分$∠ MAN$；
4. 已知$AD=AE$，$△ ADE$是等腰三角形，AF平分顶角$∠ DAE$，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得$\boldsymbol{AF⊥DE}$，故D选项结论正确，不符合题意；
5. 对于B选项，AD是第一步画弧的半径，DF是第二步画弧的半径，二者长度没有必然相等的关系，仅在特殊角度下才相等，因此$AD=DF$不一定成立，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的尺规作图；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题围绕角平分线的尺规作图原理设题，将作图过程与全等三角形、等腰三角形的性质结合考查，熟练掌握尺规作图的每一步操作对应的几何结论是解题的核心。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要回忆角平分线的尺规作图步骤，结合作图痕迹推导各线段、角的关系，再逐一验证选项：首先由第一步以A为圆心画弧可得AD=AE；第二步分别以D、E为圆心画弧可得DF=EF；再通过全等三角形判定证明△ADF≌△AEF，结合等腰三角形三线合一的性质可判断AF与DE的位置关系，最后分析AD和DF的长度关系即可得出答案。
【解析】
根据角平分线的尺规作图过程推导：
1. 第一步以点A为圆心，相同长度为半径画弧，分别交AM、AN于D、E，因此$\boldsymbol{AD=AE}$，故A选项结论正确，不符合题意；
2. 第二步分别以D、E为圆心，大于$\frac{1}{2}DE$的相同长度为半径画弧，两弧交于F，因此$\boldsymbol{DF=EF}$，故C选项结论正确，不符合题意；
3. 在$△ ADF$和$△ AEF$中：
$\{\begin{array}{l}AD=AE\\DF=EF\\AF=AF\end{array} $
∴$△ ADF≌△ AEF$（SSS），可得AF平分$∠ MAN$；
4. 已知$AD=AE$，$△ ADE$是等腰三角形，AF平分顶角$∠ DAE$，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得$\boldsymbol{AF⊥DE}$，故D选项结论正确，不符合题意；
5. 对于B选项，AD是第一步画弧的半径，DF是第二步画弧的半径，二者长度没有必然相等的关系，仅在特殊角度下才相等，因此$AD=DF$不一定成立，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的尺规作图；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题围绕角平分线的尺规作图原理设题，将作图过程与全等三角形、等腰三角形的性质结合考查，熟练掌握尺规作图的每一步操作对应的几何结论是解题的核心。
【难度系数】
0.7
13.如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,若$AB=10$,$AC=8$,则$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=$ (
A.$25:16$
B.$5:4$
C.$16:25$
D.$4:5$
B
)A.$25:16$
B.$5:4$
C.$16:25$
D.$4:5$
答案
13.B
解析
【分析】
要计算△ABD与△ACD的面积比，首先回忆三角形面积公式：三角形面积=1/2×底×高。已知AD平分∠BAC，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点D到AB、AC的距离相等，即两个三角形分别以AB、AC为底时，对应的高相等，此时面积比就等于对应底AB与AC的长度比，代入数值计算即可。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。
∵AD平分∠BAC，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DE=DF。
根据三角形面积公式：
$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×DE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×DF$
∴$S_{△ABD}:S_{△ACD}=(\frac{1}{2}×AB×DE):(\frac{1}{2}×AC×DF)=AB:AC$
代入AB=10，AC=8，得：
$S_{△ABD}:S_{△ACD}=10:8=5:4$
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，比的化简
【点评】
本题解题的核心是利用角平分线的性质得到两个三角形的高相等，将面积比转化为对应底边长的比，简化了计算过程，属于对基础性质应用的考查。
【难度系数】
0.7
要计算△ABD与△ACD的面积比，首先回忆三角形面积公式：三角形面积=1/2×底×高。已知AD平分∠BAC，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点D到AB、AC的距离相等，即两个三角形分别以AB、AC为底时，对应的高相等，此时面积比就等于对应底AB与AC的长度比，代入数值计算即可。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。
∵AD平分∠BAC，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DE=DF。
根据三角形面积公式：
$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×DE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×DF$
∴$S_{△ABD}:S_{△ACD}=(\frac{1}{2}×AB×DE):(\frac{1}{2}×AC×DF)=AB:AC$
代入AB=10，AC=8，得：
$S_{△ABD}:S_{△ACD}=10:8=5:4$
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，比的化简
【点评】
本题解题的核心是利用角平分线的性质得到两个三角形的高相等，将面积比转化为对应底边长的比，简化了计算过程，属于对基础性质应用的考查。
【难度系数】
0.7
14. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C = 90°$,$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$,$DE ⊥ AB$,垂足为$E$,若$BC = 4$,$DE = 1.6$,则$BD$的长为
2.4
.答案
14.2.4
解析
【分析】
解题时先观察题目给出的条件：AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°即DC垂直AC，DE垂直AB，首先想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可得到DC和DE长度相等，再结合BC的总长度，用BC减去DC的长度就能求出BD的长。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，∠C=90°（DC⊥AC），DE⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DC = DE。
已知DE=1.6，
∴DC=1.6，
又
∵BC=4，
∴BD = BC - DC = 4 - 1.6 = 2.4。
【答案】
2.4
【知识点】
角平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是熟练运用角平分线的性质得到相等线段，再结合线段的和差关系求解，属于对基础知识点的直接考查。
【难度系数】
0.8
解题时先观察题目给出的条件：AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°即DC垂直AC，DE垂直AB，首先想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可得到DC和DE长度相等，再结合BC的总长度，用BC减去DC的长度就能求出BD的长。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，∠C=90°（DC⊥AC），DE⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DC = DE。
已知DE=1.6，
∴DC=1.6，
又
∵BC=4，
∴BD = BC - DC = 4 - 1.6 = 2.4。
【答案】
2.4
【知识点】
角平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题是基础几何计算题，解题核心是熟练运用角平分线的性质得到相等线段，再结合线段的和差关系求解，属于对基础知识点的直接考查。
【难度系数】
0.8
15. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=6$,$AB=10$,$AD$平分$∠ CAB$,$△ ABC$的面积为24,则线段$CD$的长为________.
答案
15.3
解析
【分析】
解题时首先根据直角三角形的勾股定理计算出BC的长度，看到AD是∠CAB的角平分线，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点D到AB的距离等于CD的长度。接着将△ABC的面积拆分为△ACD和△ABD的面积之和，利用两个小三角形的面积和等于大三角形面积的等量关系列方程，即可求出CD的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$
过点D作$DE⊥ AB$于点E，
∵AD平分∠CAB，$DC⊥ AC$，$DE⊥ AB$
∴根据角平分线的性质可得$CD=DE$
设$CD=DE=x$，
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ACD}+S_{△ ABD}$，且$S_{△ ABC}=24$
又
∵$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× CD=\frac{1}{2}×6× x=3x$，$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE=\frac{1}{2}×10× x=5x$
∴$3x+5x=24$
解得$x=3$，即CD的长为3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质与面积法结合的典型题型，解题的关键是合理拆分三角形面积，利用角平分线性质得到两个小三角形的高相等，从而建立方程求解，这种面积法是求线段长度的常用技巧。
【难度系数】
0.65
解题时首先根据直角三角形的勾股定理计算出BC的长度，看到AD是∠CAB的角平分线，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点D到AB的距离等于CD的长度。接着将△ABC的面积拆分为△ACD和△ABD的面积之和，利用两个小三角形的面积和等于大三角形面积的等量关系列方程，即可求出CD的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$
过点D作$DE⊥ AB$于点E，
∵AD平分∠CAB，$DC⊥ AC$，$DE⊥ AB$
∴根据角平分线的性质可得$CD=DE$
设$CD=DE=x$，
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ACD}+S_{△ ABD}$，且$S_{△ ABC}=24$
又
∵$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× CD=\frac{1}{2}×6× x=3x$，$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE=\frac{1}{2}×10× x=5x$
∴$3x+5x=24$
解得$x=3$，即CD的长为3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质与面积法结合的典型题型，解题的关键是合理拆分三角形面积，利用角平分线性质得到两个小三角形的高相等，从而建立方程求解，这种面积法是求线段长度的常用技巧。
【难度系数】
0.65
