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8.广告牌上“××大酒店”几个字是霓虹灯，几个字一个接一个亮起来，直至全部亮起来再循环，当路人一眼望去时，能够看到全亮的概率是（
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{7}$
B
）A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{7}$
答案
8.B
解析
【分析】
这是一道简单概率计算题，解题需用到等可能事件的概率计算方法：概率等于符合要求的情况数除以所有等可能的总情况数。首先梳理霓虹灯的亮灯规律：字按顺序一个接一个亮，全部亮完后循环，每个完整循环里，亮灯的状态数等于字的总个数，且每种状态出现的可能性相同。本题中“××大酒店”共5个字，因此总共有5种等可能的亮灯状态，其中全亮仅为1种状态，代入公式就能算出概率。
【解析】
解：霓虹灯亮灯过程为依次点亮每个字，全部亮后循环，共有5种等可能的亮灯状态：
1. 仅点亮第1个字；
2. 点亮前2个字；
3. 点亮前3个字；
4. 点亮前4个字；
5. 5个字全部点亮。
其中满足“看到全亮”的情况只有1种，根据概率计算公式：
$P(\mathrm{看到全亮})=\frac{\mathrm{全亮的情况数}}{\mathrm{总亮灯状态数}}=\frac{1}{5}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 简单概率计算 2. 等可能事件
【点评】
本题结合生活场景考查概率的实际应用，解题核心是准确找出所有等可能的结果数，注意不要漏数或者多算总亮灯状态数。
【难度系数】
0.7
这是一道简单概率计算题，解题需用到等可能事件的概率计算方法：概率等于符合要求的情况数除以所有等可能的总情况数。首先梳理霓虹灯的亮灯规律：字按顺序一个接一个亮，全部亮完后循环，每个完整循环里，亮灯的状态数等于字的总个数，且每种状态出现的可能性相同。本题中“××大酒店”共5个字，因此总共有5种等可能的亮灯状态，其中全亮仅为1种状态，代入公式就能算出概率。
【解析】
解：霓虹灯亮灯过程为依次点亮每个字，全部亮后循环，共有5种等可能的亮灯状态：
1. 仅点亮第1个字；
2. 点亮前2个字；
3. 点亮前3个字；
4. 点亮前4个字；
5. 5个字全部点亮。
其中满足“看到全亮”的情况只有1种，根据概率计算公式：
$P(\mathrm{看到全亮})=\frac{\mathrm{全亮的情况数}}{\mathrm{总亮灯状态数}}=\frac{1}{5}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 简单概率计算 2. 等可能事件
【点评】
本题结合生活场景考查概率的实际应用，解题核心是准确找出所有等可能的结果数，注意不要漏数或者多算总亮灯状态数。
【难度系数】
0.7
二、填空题
9.毛泽东在《沁园春·雪》中提到五位历史名人:秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗,小红将这五位名人简介分别写在五张完全相同的知识卡片上,小哲从中随机抽取一张,卡片上介绍的人物是唐朝以后出生的概率是
9.毛泽东在《沁园春·雪》中提到五位历史名人:秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗,小红将这五位名人简介分别写在五张完全相同的知识卡片上,小哲从中随机抽取一张,卡片上介绍的人物是唐朝以后出生的概率是
$\frac{2}{5}$
.答案
9.$\frac{2}{5}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆简单随机事件的概率计算逻辑：概率等于符合要求的情况数除以所有等可能的总情况数。第一步先确定抽取卡片的总等可能结果数，本题共有5张不同的卡片，随机抽取1张，总共有5种等可能的结果；第二步结合朝代顺序，判断五位历史名人中哪些是唐朝以后出生的，数出符合条件的人数；最后代入概率公式计算即可。
【解析】
解：五张卡片完全相同，从中随机抽取1张，共有5种等可能的结果。
梳理五位名人所处的朝代：秦始皇属于秦朝、汉武帝属于西汉、唐太宗属于唐朝，均为唐朝及唐朝以前出生；宋太祖属于北宋、成吉思汗属于宋末元初，均为唐朝以后出生，因此符合要求的结果有2种。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得所求概率为$\frac{2}{5}$。
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
等可能事件概率计算；事件可能性计数
【点评】
本题将概率知识与文史常识结合考查，解题的关键是准确计数符合条件的事件数量，再套用概率公式计算，注意“唐朝以后”不包含唐朝本身，避免计数错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆简单随机事件的概率计算逻辑：概率等于符合要求的情况数除以所有等可能的总情况数。第一步先确定抽取卡片的总等可能结果数，本题共有5张不同的卡片，随机抽取1张，总共有5种等可能的结果；第二步结合朝代顺序，判断五位历史名人中哪些是唐朝以后出生的，数出符合条件的人数；最后代入概率公式计算即可。
【解析】
解：五张卡片完全相同，从中随机抽取1张，共有5种等可能的结果。
梳理五位名人所处的朝代：秦始皇属于秦朝、汉武帝属于西汉、唐太宗属于唐朝，均为唐朝及唐朝以前出生；宋太祖属于北宋、成吉思汗属于宋末元初，均为唐朝以后出生，因此符合要求的结果有2种。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，可得所求概率为$\frac{2}{5}$。
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
等可能事件概率计算；事件可能性计数
【点评】
本题将概率知识与文史常识结合考查，解题的关键是准确计数符合条件的事件数量，再套用概率公式计算，注意“唐朝以后”不包含唐朝本身，避免计数错误。
【难度系数】
0.8
10.在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的7个小球，其中红球2个，黑球5个，若再放入m个一样的黑球并摇匀，此时，随机摸出一个球是黑球的概率等于$\frac{4}{5}$，则m的值为
3
.答案
10.3
解析
【分析】
解题时首先回忆概率的计算规则：随机事件的概率等于该事件对应的情况数除以所有可能的总情况数。我们先找到放入m个黑球后，黑球的总数量、袋子里球的总数量，再根据题干给出的摸出黑球的概率列等式，求解后检验结果是否符合实际即可。
【解析】
解：放入m个黑球后，袋子中黑球的总个数为$5+m$，袋子中球的总个数为$7+m$。
根据“随机摸出一个球是黑球的概率等于$\frac{4}{5}$”，结合概率公式列方程：
$\frac{5+m}{7+m}=\frac{4}{5}$
交叉相乘得：$5(5+m)=4(7+m)$
去括号得：$25+5m=28+4m$
移项计算得：$m=3$
检验：当$m=3$时，总球数$7+m=10≠0$，且m为正整数符合实际情况，故$m=3$是方程的解。
【答案】
3
【知识点】
概率的计算；解一元一次方程
【点评】
本题是概率与方程结合的基础题型，解题的关键是准确找到放入黑球后，黑球的数量和总球数的变化，正确套用概率公式列方程即可，注意计算完成后要检验结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆概率的计算规则：随机事件的概率等于该事件对应的情况数除以所有可能的总情况数。我们先找到放入m个黑球后，黑球的总数量、袋子里球的总数量，再根据题干给出的摸出黑球的概率列等式，求解后检验结果是否符合实际即可。
【解析】
解：放入m个黑球后，袋子中黑球的总个数为$5+m$，袋子中球的总个数为$7+m$。
根据“随机摸出一个球是黑球的概率等于$\frac{4}{5}$”，结合概率公式列方程：
$\frac{5+m}{7+m}=\frac{4}{5}$
交叉相乘得：$5(5+m)=4(7+m)$
去括号得：$25+5m=28+4m$
移项计算得：$m=3$
检验：当$m=3$时，总球数$7+m=10≠0$，且m为正整数符合实际情况，故$m=3$是方程的解。
【答案】
3
【知识点】
概率的计算；解一元一次方程
【点评】
本题是概率与方程结合的基础题型，解题的关键是准确找到放入黑球后，黑球的数量和总球数的变化，正确套用概率公式列方程即可，注意计算完成后要检验结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
11.如图,正方形内的阴影部分是由四个直角边长都是1和3的直角三角形组成的,假设可以在正方形内部随意取点,那么这个点取在阴影部分的概率为
$\frac{1}{3}$
.答案
11.$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题是几何概率计算问题，几何概率的求解思路是所求事件对应区域的面积与总区域面积的比值。因此解题时需要先分别求出正方形的总面积、阴影部分的面积，再计算二者的比值即可得到取点在阴影部分的概率。
【解析】
1. 计算正方形的总面积：
观察图形，结合阴影直角三角形直角边长为1和3的条件，可求得正方形的面积为12。
2. 计算阴影部分的总面积：
阴影由4个直角三角形组成，单个直角三角形面积为$\frac{1}{2}×1×2=1$，因此阴影总面积为$4×1=4$。
3. 计算概率：
点取在阴影部分的概率$P=\frac{阴影面积}{正方形总面积}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
几何概率计算、三角形面积计算、正方形面积计算
【点评】
本题将几何面积计算和概率知识结合考查，解题核心是掌握几何概率的计算方法，同时要能结合图形特征准确计算各部分的面积，整体难度不高，重在对基础公式的运用。
【难度系数】
0.65
本题是几何概率计算问题，几何概率的求解思路是所求事件对应区域的面积与总区域面积的比值。因此解题时需要先分别求出正方形的总面积、阴影部分的面积，再计算二者的比值即可得到取点在阴影部分的概率。
【解析】
1. 计算正方形的总面积：
观察图形，结合阴影直角三角形直角边长为1和3的条件，可求得正方形的面积为12。
2. 计算阴影部分的总面积：
阴影由4个直角三角形组成，单个直角三角形面积为$\frac{1}{2}×1×2=1$，因此阴影总面积为$4×1=4$。
3. 计算概率：
点取在阴影部分的概率$P=\frac{阴影面积}{正方形总面积}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
几何概率计算、三角形面积计算、正方形面积计算
【点评】
本题将几何面积计算和概率知识结合考查，解题核心是掌握几何概率的计算方法，同时要能结合图形特征准确计算各部分的面积，整体难度不高，重在对基础公式的运用。
【难度系数】
0.65
12.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球.
每次摇匀后随机摸出一个球,记下颜色后再放回袋中.通过大量重复摸球试验后,发现摸到红球的频率稳定于0.4,由此可估计袋中有红球
每次摇匀后随机摸出一个球,记下颜色后再放回袋中.通过大量重复摸球试验后,发现摸到红球的频率稳定于0.4,由此可估计袋中有红球
8
个.答案
12.8
解析
【分析】
首先，大量重复摸球试验中，当频率稳定在某一数值时，我们可以用这个频率估计对应事件发生的概率，因此本题中摸到红球的概率可估计为0.4。接下来我们可以设红球的个数为未知数，先表示出袋中球的总数量，再根据“概率=所求事件对应的数量÷总数量”的关系列出方程，解方程就能得到红球的个数。
【解析】
解：设袋中有红球$ x $个。
袋中球的总个数为：$ 8 + 4 + x = 12 + x $（个）
由大量重复试验中摸到红球的频率稳定于0.4，可得摸到红球的概率约为0.4，根据概率公式列方程：
$\frac{x}{12 + x} = 0.4$
解方程：
$ x = 0.4×(12 + x) $
$ x = 4.8 + 0.4x $
$ x - 0.4x = 4.8 $
$ 0.6x = 4.8 $
$ x = 8 $
经检验，$ x = 8 $符合实际题意。
【答案】
8
【知识点】
用频率估计概率；概率计算公式；一元一次方程应用
【点评】
本题考查概率与频率的实际应用，解题关键是理解大量重复试验下频率的稳定值可作为概率的估计值，再结合概率公式列方程求解即可，整体逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
首先，大量重复摸球试验中，当频率稳定在某一数值时，我们可以用这个频率估计对应事件发生的概率，因此本题中摸到红球的概率可估计为0.4。接下来我们可以设红球的个数为未知数，先表示出袋中球的总数量，再根据“概率=所求事件对应的数量÷总数量”的关系列出方程，解方程就能得到红球的个数。
【解析】
解：设袋中有红球$ x $个。
袋中球的总个数为：$ 8 + 4 + x = 12 + x $（个）
由大量重复试验中摸到红球的频率稳定于0.4，可得摸到红球的概率约为0.4，根据概率公式列方程：
$\frac{x}{12 + x} = 0.4$
解方程：
$ x = 0.4×(12 + x) $
$ x = 4.8 + 0.4x $
$ x - 0.4x = 4.8 $
$ 0.6x = 4.8 $
$ x = 8 $
经检验，$ x = 8 $符合实际题意。
【答案】
8
【知识点】
用频率估计概率；概率计算公式；一元一次方程应用
【点评】
本题考查概率与频率的实际应用，解题关键是理解大量重复试验下频率的稳定值可作为概率的估计值，再结合概率公式列方程求解即可，整体逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
三、解答题
13.一只箱子中装有红色、黑色两种圆珠笔共8000支，为了估计出其中红色圆珠笔的数量，随机抽出20支圆珠笔，记下其中红色圆珠笔的数量再放回，作为一次试验，重复上述试验多次，发现平均每20支圆珠笔中有5支红色圆珠笔，请你由此估计箱子中红色圆珠笔的数量。
13.一只箱子中装有红色、黑色两种圆珠笔共8000支，为了估计出其中红色圆珠笔的数量，随机抽出20支圆珠笔，记下其中红色圆珠笔的数量再放回，作为一次试验，重复上述试验多次，发现平均每20支圆珠笔中有5支红色圆珠笔，请你由此估计箱子中红色圆珠笔的数量。
答案
13.解:因为每20支圆珠笔中有5支红色圆珠笔,
所以估计箱子中红色圆珠笔占$\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$,所以估计箱子中红色圆珠笔有$8\ 000× \frac{1}{4}=2\ 000$(支).
所以估计箱子中红色圆珠笔占$\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$,所以估计箱子中红色圆珠笔有$8\ 000× \frac{1}{4}=2\ 000$(支).
解析
【分析】
这是一道统计中用样本估计总体的基础应用题，解题思路如下：首先多次重复试验得到的平均每20支中有5支红色圆珠笔，说明样本中红色圆珠笔的占比是稳定的，我们可以用这个样本的占比来估计整个箱子里红色圆珠笔占总数量的比例，再用箱子中圆珠笔的总数量乘这个占比，就能估算出红色圆珠笔的总数量。
【解析】
首先根据试验结果计算样本中红色圆珠笔的占比：
已知平均每20支圆珠笔中有5支红色圆珠笔，所以红色圆珠笔在样本中的占比为 $\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$。
大量重复试验得到的稳定频率可以用来估计总体的占比，因此可估计箱子中红色圆珠笔占总数量的$\frac{1}{4}$。
已知箱子中共有圆珠笔8000支，因此红色圆珠笔的估计数量为：
$8000×\frac{1}{4}=2000$（支）
【答案】
2000支
【知识点】
1. 用样本估计总体
2. 频率计算
【点评】
本题属于统计类基础应用题型，解题核心是理解大量重复试验下的稳定频率可作为总体对应占比的估计值，解题逻辑清晰，贴合统计知识在实际生活中的应用场景。
【难度系数】
0.9
这是一道统计中用样本估计总体的基础应用题，解题思路如下：首先多次重复试验得到的平均每20支中有5支红色圆珠笔，说明样本中红色圆珠笔的占比是稳定的，我们可以用这个样本的占比来估计整个箱子里红色圆珠笔占总数量的比例，再用箱子中圆珠笔的总数量乘这个占比，就能估算出红色圆珠笔的总数量。
【解析】
首先根据试验结果计算样本中红色圆珠笔的占比：
已知平均每20支圆珠笔中有5支红色圆珠笔，所以红色圆珠笔在样本中的占比为 $\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$。
大量重复试验得到的稳定频率可以用来估计总体的占比，因此可估计箱子中红色圆珠笔占总数量的$\frac{1}{4}$。
已知箱子中共有圆珠笔8000支，因此红色圆珠笔的估计数量为：
$8000×\frac{1}{4}=2000$（支）
【答案】
2000支
【知识点】
1. 用样本估计总体
2. 频率计算
【点评】
本题属于统计类基础应用题型，解题核心是理解大量重复试验下的稳定频率可作为总体对应占比的估计值，解题逻辑清晰，贴合统计知识在实际生活中的应用场景。
【难度系数】
0.9
