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1. 如图,平行于$x$轴的直线与函数$y=\dfrac{k_{1}}{x}(k_{1}＞0,$$x＞0)$和$y=\dfrac{k_{2}}{x}(k_{2}＞0,x＞0)$的图象分别相交于$A,B$两点,点$A$在点$B$的右侧,$C$为$x$轴上的一个动点,若$△ ABC$的面积为$4$,则$k_{1}-k_{2}$的值为（
A.5
B.6
C.7
D.8
D
）A.5
B.6
C.7
D.8
答案
1. D 解析:设A,B两点的坐标分别是$(\frac{k_1}{m},m),(\frac{k_2}{m},m)$,
则$AB=\frac{k_1}{m}-\frac{k_2}{m}=\frac{k_1-k_2}{m},y_A=m.\because △ABC$的面积为4,即
$\frac{1}{2}AB· y_A=4,\therefore \frac{1}{2}×\frac{k_1-k_2}{m}· m=4,\therefore k_1-k_2=8$.故选D.
则$AB=\frac{k_1}{m}-\frac{k_2}{m}=\frac{k_1-k_2}{m},y_A=m.\because △ABC$的面积为4,即
$\frac{1}{2}AB· y_A=4,\therefore \frac{1}{2}×\frac{k_1-k_2}{m}· m=4,\therefore k_1-k_2=8$.故选D.
解析
【分析】
要解决本题，首先利用AB平行于x轴的特点，确定A、B两点纵坐标相同，设该纵坐标为参数m；再结合反比例函数表达式表示出A、B的横坐标，进而得到AB的长度；由于点C在x轴上，△ABC中AB边上的高等于A（或B）的纵坐标，最后通过三角形面积公式建立等式，化简后即可求出k₁ -k₂的值。
【解析】
设A、B两点的纵坐标为m（m＞0），
因为点A在函数$y=\dfrac{k_{1}}{x}(k_{1}＞0,x＞0)$的图象上，所以A点坐标为$(\dfrac{k_{1}}{m},m)$；
点B在函数$y=\dfrac{k_{2}}{x}(k_{2}＞0,x＞0)$的图象上，所以B点坐标为$(\dfrac{k_{2}}{m},m)$；
因为A在B右侧，所以AB的长度为：$AB=\dfrac{k_{1}}{m}-\dfrac{k_{2}}{m}=\dfrac{k_{1}-k_{2}}{m}$；
又点C在x轴上，因此△ABC中AB边上的高等于A（或B）的纵坐标m；
已知△ABC的面积为4，根据三角形面积公式$S=\dfrac{1}{2}×底×高$，可得：
$\dfrac{1}{2}×AB×m=4$，
将$AB=\dfrac{k_{1}-k_{2}}{m}$代入得：
$\dfrac{1}{2}×\dfrac{k_{1}-k_{2}}{m}×m=4$，
化简后m约去，解得：$k_{1}-k_{2}=8$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数性质、三角形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数图象特征，通过设参数简化计算，关键是确定三角形的底和高，化简过程中参数可约去，整体难度适中，需掌握反比例函数坐标的求法和三角形面积公式的应用。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先利用AB平行于x轴的特点，确定A、B两点纵坐标相同，设该纵坐标为参数m；再结合反比例函数表达式表示出A、B的横坐标，进而得到AB的长度；由于点C在x轴上，△ABC中AB边上的高等于A（或B）的纵坐标，最后通过三角形面积公式建立等式，化简后即可求出k₁ -k₂的值。
【解析】
设A、B两点的纵坐标为m（m＞0），
因为点A在函数$y=\dfrac{k_{1}}{x}(k_{1}＞0,x＞0)$的图象上，所以A点坐标为$(\dfrac{k_{1}}{m},m)$；
点B在函数$y=\dfrac{k_{2}}{x}(k_{2}＞0,x＞0)$的图象上，所以B点坐标为$(\dfrac{k_{2}}{m},m)$；
因为A在B右侧，所以AB的长度为：$AB=\dfrac{k_{1}}{m}-\dfrac{k_{2}}{m}=\dfrac{k_{1}-k_{2}}{m}$；
又点C在x轴上，因此△ABC中AB边上的高等于A（或B）的纵坐标m；
已知△ABC的面积为4，根据三角形面积公式$S=\dfrac{1}{2}×底×高$，可得：
$\dfrac{1}{2}×AB×m=4$，
将$AB=\dfrac{k_{1}-k_{2}}{m}$代入得：
$\dfrac{1}{2}×\dfrac{k_{1}-k_{2}}{m}×m=4$，
化简后m约去，解得：$k_{1}-k_{2}=8$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数性质、三角形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数图象特征，通过设参数简化计算，关键是确定三角形的底和高，化简过程中参数可约去，整体难度适中，需掌握反比例函数坐标的求法和三角形面积公式的应用。
【难度系数】
0.5
2. (2025·内江期末) 如图,两个反比例函数 $y=$ $\dfrac{6}{x}$ 和 $y=\dfrac{3}{x}$ 在第一象限内的图象依次是 $C_1$ 和 $C_2$,设点 $P$ 在 $C_1$ 上, $PC ⊥ x$ 轴于点 $C$,交 $C_2$ 于点 $A,PD ⊥ y$ 轴于点 $D$,交 $C_2$ 于点 $B$,则四边形$PAOB$ 的面积为
3
.答案
2. 3 解析:$\because S_{矩形OCPD}=6,S_{△ AOC}=S_{△ DOB}=\frac{3}{2},\therefore S_{四边形PAOB}=S_{矩形OCPD}-2S_{△ AOC}=3.$
解析
【分析】首先回忆反比例函数中k的几何意义：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为$|k|$，对应的直角三角形面积为$\frac{|k|}{2}$。本题中，先确定矩形$OCPD$的面积，再求出两个小直角三角形的面积，最后用矩形面积减去两个三角形的面积，即可得到四边形$PAOB$的面积。
【解析】因为点$P$在$C_1:y=\frac{6}{x}$上，且$PC⊥x$轴，$PD⊥y$轴，所以矩形$OCPD$的面积$S_{矩形OCPD}=|k_1|=6$（$k_1=6$）。
点$A$在$C_2:y=\frac{3}{x}$上，且$A$在$PC$上，因此$△ AOC$的面积$S_{△ AOC}=\frac{|k_2|}{2}=\frac{3}{2}$（$k_2=3$）；同理，点$B$在$C_2$上，且$B$在$PD$上，故$△ DOB$的面积$S_{△ DOB}=\frac{3}{2}$。
因此，四边形$PAOB$的面积：
$S_{四边形PAOB}=S_{矩形OCPD}-S_{△ AOC}-S_{△ DOB}=6-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=3$。
【答案】3
【知识点】反比例函数k的几何意义、图形面积计算
【点评】本题考查反比例函数k的几何意义的应用，无需确定点的坐标，直接利用面积与k的关系即可求解，属于基础题型，重点考查对反比例函数性质的理解。
【难度系数】0.3
【解析】因为点$P$在$C_1:y=\frac{6}{x}$上，且$PC⊥x$轴，$PD⊥y$轴，所以矩形$OCPD$的面积$S_{矩形OCPD}=|k_1|=6$（$k_1=6$）。
点$A$在$C_2:y=\frac{3}{x}$上，且$A$在$PC$上，因此$△ AOC$的面积$S_{△ AOC}=\frac{|k_2|}{2}=\frac{3}{2}$（$k_2=3$）；同理，点$B$在$C_2$上，且$B$在$PD$上，故$△ DOB$的面积$S_{△ DOB}=\frac{3}{2}$。
因此，四边形$PAOB$的面积：
$S_{四边形PAOB}=S_{矩形OCPD}-S_{△ AOC}-S_{△ DOB}=6-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=3$。
【答案】3
【知识点】反比例函数k的几何意义、图形面积计算
【点评】本题考查反比例函数k的几何意义的应用，无需确定点的坐标，直接利用面积与k的关系即可求解，属于基础题型，重点考查对反比例函数性质的理解。
【难度系数】0.3
3.（安徽中考）如图，平行四边形$OABC$的顶点$O$是坐标原点，$A$在$x$轴的正半轴上，$B,C$在第一象限，反比例函数$y=\dfrac{1}{x}$的图象经过点$C$，$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$B$. 若$OC=AC$，则$k=$
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3
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答案
3. 3 解析:如图,过点$C$作$CD⊥OA$于点
D,过点$B$作$BE⊥x$轴于点$E,\therefore CD// BE.\because$ 四边形$ABCO$为平行四边形,
$\therefore CB// OA$,即$CB// DE,OC=AB,\therefore$ 四边形$CDEB$为平行四边形.$\because CD⊥OA,\therefore$ 四边形$CDEB$为矩
形,$\therefore CD=BE$.在$Rt△COD$和$Rt△BAE$中,$\begin{cases}OC=AB,\\CD=BE,\end{cases}$
$\therefore Rt△COD≌ Rt△BAE(\mathrm{HL}),\therefore S_{△ OCD}=S_{△ ABE}.\because OC=AC$,
$CD⊥OA,\therefore OD=AD.\because$ 反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象经过点$C$,
$\therefore S_{△ OCD}=S_{△ CAD}=\frac{1}{2},\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{2},S_{平行四边形OCBA}=4S_{△ OCD}=2$,
$\therefore S_{△ OBA}=\frac{1}{2}S_{平行四边形OCBA}=1,\therefore S_{△ OBE}=S_{△ OBA}+S_{△ ABE}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2},\therefore k=2×\frac{3}{2}=3.$
解析
【分析】
要解决本题，需结合图形作辅助线，利用平行四边形、等腰三角形的性质及反比例函数的几何意义推导。首先过C作CD⊥OA，过B作BE⊥OA；由平行四边形性质得CD=BE、OC=AB，结合OC=AC的条件，用等腰三角形三线合一得OD=AD；再根据反比例函数y=1/x的面积性质算出△OCD的面积，进而通过面积关系求出△OBE的面积，最后利用反比例函数y=k/x的面积性质求出k值。
【解析】
解：如图，过点$C$作$CD⊥OA$于点$D$，过点$B$作$BE⊥x$轴于点$E$，
$\therefore CD// BE$。
$\because$ 四边形$OABC$为平行四边形，
$\therefore CB// OA$，即$CB// DE$，$OC=AB$，
$\therefore$ 四边形$CDEB$为平行四边形，
又$\because CD⊥OA$，$\therefore$ 四边形$CDEB$为矩形，$\therefore CD=BE$。
在$Rt△COD$和$Rt△BAE$中，
$\begin{cases} OC=AB \\ CD=BE \end{cases}$
$\therefore Rt△COD≌ Rt△BAE(\mathrm{HL})$，$\therefore S_{△ OCD}=S_{△ ABE}$。
$\because OC=AC$，$CD⊥OA$，根据等腰三角形三线合一，得$OD=AD$。
$\because$ 反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象经过点$C$，由反比例函数的几何意义，$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$，
$\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{2}$，平行四边形$OABC$的面积$S_{平行四边形OCBA}=4S_{△ OCD}=4×\frac{1}{2}=2$，
$\therefore S_{△ OBA}=\frac{1}{2}S_{平行四边形OCBA}=1$，
$\therefore S_{△ OBE}=S_{△ OBA}+S_{△ ABE}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
又$\because$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$B$，由反比例函数的几何意义，$S_{△ OBE}=\frac{1}{2}|k|$，且$k＞0$，
$\therefore \frac{1}{2}k=\frac{3}{2}$，解得$k=3$。
【答案】
3
【知识点】
反比例函数的几何意义，平行四边形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是反比例函数与平行四边形、等腰三角形的综合题，需通过作辅助线转化图形关系，利用反比例函数的面积性质简化计算，考查几何知识的综合运用能力，属于中档题。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需结合图形作辅助线，利用平行四边形、等腰三角形的性质及反比例函数的几何意义推导。首先过C作CD⊥OA，过B作BE⊥OA；由平行四边形性质得CD=BE、OC=AB，结合OC=AC的条件，用等腰三角形三线合一得OD=AD；再根据反比例函数y=1/x的面积性质算出△OCD的面积，进而通过面积关系求出△OBE的面积，最后利用反比例函数y=k/x的面积性质求出k值。
【解析】
解：如图，过点$C$作$CD⊥OA$于点$D$，过点$B$作$BE⊥x$轴于点$E$，
$\therefore CD// BE$。
$\because$ 四边形$OABC$为平行四边形，
$\therefore CB// OA$，即$CB// DE$，$OC=AB$，
$\therefore$ 四边形$CDEB$为平行四边形，
又$\because CD⊥OA$，$\therefore$ 四边形$CDEB$为矩形，$\therefore CD=BE$。
在$Rt△COD$和$Rt△BAE$中，
$\begin{cases} OC=AB \\ CD=BE \end{cases}$
$\therefore Rt△COD≌ Rt△BAE(\mathrm{HL})$，$\therefore S_{△ OCD}=S_{△ ABE}$。
$\because OC=AC$，$CD⊥OA$，根据等腰三角形三线合一，得$OD=AD$。
$\because$ 反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象经过点$C$，由反比例函数的几何意义，$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$，
$\therefore S_{△ ABE}=\frac{1}{2}$，平行四边形$OABC$的面积$S_{平行四边形OCBA}=4S_{△ OCD}=4×\frac{1}{2}=2$，
$\therefore S_{△ OBA}=\frac{1}{2}S_{平行四边形OCBA}=1$，
$\therefore S_{△ OBE}=S_{△ OBA}+S_{△ ABE}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
又$\because$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$B$，由反比例函数的几何意义，$S_{△ OBE}=\frac{1}{2}|k|$，且$k＞0$，
$\therefore \frac{1}{2}k=\frac{3}{2}$，解得$k=3$。
【答案】
3
【知识点】
反比例函数的几何意义，平行四边形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是反比例函数与平行四边形、等腰三角形的综合题，需通过作辅助线转化图形关系，利用反比例函数的面积性质简化计算，考查几何知识的综合运用能力，属于中档题。
【难度系数】
0.4
4. (2025·岳阳期末) 如图,点 A 在双曲线 $y=\dfrac{2}{x}$ $(x＞0)$ 上,点 B 在双曲线 $y=\dfrac{k}{x}(x＜0)$ 上, $AB //$ $x$ 轴,点 $C$ 是 $x$ 轴上一点,连接 $AC,BC$,若 $△ ABC$ 的面积是 6,则 $k$ 的值为
-10
.答案
4. -10 解析:如图,连接$OA,OB$,设$AB$
与$y$轴的交点为$M$,$\because AB// x$轴,
$\therefore AB⊥y$轴,$S_{△ ABC}=S_{△ ABO}=6.\because$ 点$A$
在双曲线$y=\frac{2}{x}(x＞0)$上,点$B$在双
曲线$y=\frac{k}{x}(x＜0)$上,$\therefore S_{△ BMO}=\frac{1}{2}|k|,S_{△ AMO}=\frac{1}{2}×2=1$,
$\therefore S_{△ ABO}=S_{△ BMO}+S_{△ AMO}=\frac{1}{2}|k|+1=6$,解得$k=\pm10.\because$ 双曲线
$y=\frac{k}{x}$分布在第二、四象限,$\therefore k＜0,\therefore k=-10.$
解析
【分析】要解决本题，需利用反比例函数中k的几何意义，结合同底等高三角形面积相等的性质转化面积。首先，AB平行于x轴，因此△ABC与△ABO（O为原点）同底AB且等高，面积相等；接着，AB与y轴交于M，根据反比例函数k的几何意义，过双曲线上一点作y轴垂线形成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，由此建立面积关系求解k，再根据点B所在象限确定k的符号。
【解析】连接OA、OB，设AB与y轴交于点M。
1. 因为$AB // x$轴，所以$△ ABC$和$△ ABO$共享底AB，且高均为AB到x轴的垂直距离，故$S_{△ ABC}=S_{△ ABO}=6$。
2. 点A在双曲线$y=\frac{2}{x}(x＞0)$上，过A作y轴垂线形成的$△ AMO$的面积为$\frac{1}{2} × |2|=1$；点B在双曲线$y=\frac{k}{x}(x＜0)$上，过B作y轴垂线形成的$△ BMO$的面积为$\frac{1}{2}|k|$。
3. $△ ABO$的面积等于$△ AMO$与$△ BMO$的面积之和，即$\frac{1}{2}|k| + 1 = 6$，解得$|k|=10$。
4. 点B在第二象限（$x＜0,y＞0$），故双曲线$y=\frac{k}{x}$分布在第二、四象限，$k＜0$，因此$k=-10$。
【答案】-10
【知识点】反比例函数k的几何意义，三角形面积计算
【点评】本题考查反比例函数k的几何意义，核心是通过同底等高转化三角形面积，再结合k的符号判断，需熟练掌握反比例函数相关性质，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】连接OA、OB，设AB与y轴交于点M。
1. 因为$AB // x$轴，所以$△ ABC$和$△ ABO$共享底AB，且高均为AB到x轴的垂直距离，故$S_{△ ABC}=S_{△ ABO}=6$。
2. 点A在双曲线$y=\frac{2}{x}(x＞0)$上，过A作y轴垂线形成的$△ AMO$的面积为$\frac{1}{2} × |2|=1$；点B在双曲线$y=\frac{k}{x}(x＜0)$上，过B作y轴垂线形成的$△ BMO$的面积为$\frac{1}{2}|k|$。
3. $△ ABO$的面积等于$△ AMO$与$△ BMO$的面积之和，即$\frac{1}{2}|k| + 1 = 6$，解得$|k|=10$。
4. 点B在第二象限（$x＜0,y＞0$），故双曲线$y=\frac{k}{x}$分布在第二、四象限，$k＜0$，因此$k=-10$。
【答案】-10
【知识点】反比例函数k的几何意义，三角形面积计算
【点评】本题考查反比例函数k的几何意义，核心是通过同底等高转化三角形面积，再结合k的符号判断，需熟练掌握反比例函数相关性质，难度适中。
【难度系数】0.5
5. (2025·东莞模拟)如图,正方形的对称中心在原点O,四个顶点分别位于两个反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$和$y=\dfrac{k}{x}$的图象的四个分支上,则实数k的值为
-4
.答案
5. -4 解析:如图所示,连接正方形的对
角线,过点$A,B$分别作$x$轴的垂线,垂
足分别为$C,D$,点$B$在$y=\frac{4}{x}$上,设$AB$
与$y$轴的交点为$E.\because OB=OA,∠AOB=∠BDO=∠ACO=90°,∠AOC+∠AOE=∠AOE+∠BOE=90°,\therefore ∠AOC=∠BOE,\therefore ∠CAO=∠BOD.$
$\therefore △ AOC≌ △ OBD,\therefore S_{△ AOC}=S_{△ OBD}=\frac{4}{2}=\frac{1}{2}|k|,\therefore k=\pm4.$
$\because A$点在第二象限,$\therefore k=-4.$
解析
【分析】首先根据正方形的对称中心在原点，得出OA=OB且∠AOB=90°；通过作垂线构造直角三角形，利用同角的余角相等证明角相等，进而证明三角形全等；再结合反比例函数k的几何意义，得到两个三角形的面积关系，最后根据点所在象限确定k的符号，求出k的值。
【解析】过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D。
∵正方形的对称中心为原点O，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOC + ∠BOD = 90°，又∠AOC + ∠OAC = 90°，
∴∠OAC = ∠BOD。
在△AOC和△OBD中，
∠ACO=∠ODB=90°，∠OAC=∠BOD，OA=OB，
∴△AOC≌△OBD（AAS）。
∵点B在反比例函数y=4/x的图象上，根据反比例函数k的几何意义，S△OBD=1/2×|4|=2，
∴S△AOC=S△OBD=2。
又
∵点A在反比例函数y=k/x的图象上，
∴S△AOC=1/2×|k|=2，
∴|k|=4，即k=±4。
∵点A在第二象限，反比例函数在第二象限的k值为负，
∴k=-4。
【答案】-4
【知识点】反比例函数性质、全等三角形判定、正方形性质
【点评】本题结合正方形的对称性，利用全等三角形的性质和反比例函数k的几何意义求解，关键是构造全等三角形，体现了数形结合的思想。
【难度系数】0.5
【解析】过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D。
∵正方形的对称中心为原点O，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOC + ∠BOD = 90°，又∠AOC + ∠OAC = 90°，
∴∠OAC = ∠BOD。
在△AOC和△OBD中，
∠ACO=∠ODB=90°，∠OAC=∠BOD，OA=OB，
∴△AOC≌△OBD（AAS）。
∵点B在反比例函数y=4/x的图象上，根据反比例函数k的几何意义，S△OBD=1/2×|4|=2，
∴S△AOC=S△OBD=2。
又
∵点A在反比例函数y=k/x的图象上，
∴S△AOC=1/2×|k|=2，
∴|k|=4，即k=±4。
∵点A在第二象限，反比例函数在第二象限的k值为负，
∴k=-4。
【答案】-4
【知识点】反比例函数性质、全等三角形判定、正方形性质
【点评】本题结合正方形的对称性，利用全等三角形的性质和反比例函数k的几何意义求解，关键是构造全等三角形，体现了数形结合的思想。
【难度系数】0.5
6. (2026·安庆期中)如图,
在平面直角坐标系中,过
$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上的
点A,分别作x轴、y轴的
平行线交 $y=-\dfrac{2}{x}$ 的图象
于B,D两点,以AB,AD为邻边的矩形ABCD
被坐标轴分割成四个小矩形,面积分别记
为 $S_1,S_2,S_3,S_4$, 若 $S_2+S_3+S_4=\dfrac{14}{3}$, 则 $k$ 的值
为
在平面直角坐标系中,过
$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上的
点A,分别作x轴、y轴的
平行线交 $y=-\dfrac{2}{x}$ 的图象
于B,D两点,以AB,AD为邻边的矩形ABCD
被坐标轴分割成四个小矩形,面积分别记
为 $S_1,S_2,S_3,S_4$, 若 $S_2+S_3+S_4=\dfrac{14}{3}$, 则 $k$ 的值
为
6
.答案
6. 6 解析:设$A(m,\frac{k}{m})$,在$y=-\frac{2}{x}$中,令$y=\frac{k}{m}$得$x=-\frac{2m}{k}$,
令$x=m$得$y=-\frac{2}{m}$,$\therefore B(-\frac{2m}{k},\frac{k}{m}),D(m,-\frac{2}{m})$,
$\therefore C(-\frac{2m}{k},-\frac{2}{m}),\therefore S_2=S_4=2,S_3=\frac{4}{k}.\because S_2+S_3+S_4=\frac{14}{3}$,
$\therefore 2+\frac{4}{k}+2=\frac{14}{3},\therefore k=6.$
令$x=m$得$y=-\frac{2}{m}$,$\therefore B(-\frac{2m}{k},\frac{k}{m}),D(m,-\frac{2}{m})$,
$\therefore C(-\frac{2m}{k},-\frac{2}{m}),\therefore S_2=S_4=2,S_3=\frac{4}{k}.\because S_2+S_3+S_4=\frac{14}{3}$,
$\therefore 2+\frac{4}{k}+2=\frac{14}{3},\therefore k=6.$
解析
【分析】
要解决本题，需利用反比例函数上点的坐标特征求出相关点的坐标，结合反比例函数k的几何意义确定各小矩形的面积，再根据已知的面积和列方程求解k。具体思路：1. 设点A的坐标，利用A在$y=\frac{k}{x}$上设为$(m,\frac{k}{m})$；2. 根据AB平行y轴、AD平行x轴，结合$y=-\frac{2}{x}$的解析式，求出B、D的坐标；3. 利用反比例函数中|k|的几何意义，得出$S_2$和$S_4$的面积，再计算$S_3$的面积；4. 根据$S_2+S_3+S_4=\frac{14}{3}$，代入面积表达式解方程得到k的值。
【解析】
设点A的坐标为$(m,\frac{k}{m})$（$m＞0$）。
因为AB平行于y轴，B点纵坐标与A相同，将$y=\frac{k}{m}$代入$y=-\frac{2}{x}$，得$x=-\frac{2m}{k}$，故B点坐标为$(-\frac{2m}{k},\frac{k}{m})$；
因为AD平行于x轴，D点横坐标与A相同，将$x=m$代入$y=-\frac{2}{x}$，得$y=-\frac{2}{m}$，故D点坐标为$(m,-\frac{2}{m})$。
根据反比例函数$y=-\frac{2}{x}$的几何意义，图象上的点向坐标轴作垂线形成的矩形面积为$|k|$，因此$S_2=2$，$S_4=2$；
$S_3$的面积为B点横坐标绝对值与D点纵坐标绝对值的乘积，即$\frac{2m}{k} × \frac{2}{m}=\frac{4}{k}$。
已知$S_2+S_3+S_4=\frac{14}{3}$，代入得：
$2+\frac{4}{k}+2=\frac{14}{3}$，
整理得$\frac{4}{k}=\frac{2}{3}$，解得$k=6$。
【答案】
6
【知识点】
反比例函数性质、矩形面积计算
【点评】
本题考查反比例函数k的几何意义的应用，关键是利用反比例函数上点的坐标特征求出相关点坐标，结合面积关系列方程求解，属于中等难度的反比例函数综合题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用反比例函数上点的坐标特征求出相关点的坐标，结合反比例函数k的几何意义确定各小矩形的面积，再根据已知的面积和列方程求解k。具体思路：1. 设点A的坐标，利用A在$y=\frac{k}{x}$上设为$(m,\frac{k}{m})$；2. 根据AB平行y轴、AD平行x轴，结合$y=-\frac{2}{x}$的解析式，求出B、D的坐标；3. 利用反比例函数中|k|的几何意义，得出$S_2$和$S_4$的面积，再计算$S_3$的面积；4. 根据$S_2+S_3+S_4=\frac{14}{3}$，代入面积表达式解方程得到k的值。
【解析】
设点A的坐标为$(m,\frac{k}{m})$（$m＞0$）。
因为AB平行于y轴，B点纵坐标与A相同，将$y=\frac{k}{m}$代入$y=-\frac{2}{x}$，得$x=-\frac{2m}{k}$，故B点坐标为$(-\frac{2m}{k},\frac{k}{m})$；
因为AD平行于x轴，D点横坐标与A相同，将$x=m$代入$y=-\frac{2}{x}$，得$y=-\frac{2}{m}$，故D点坐标为$(m,-\frac{2}{m})$。
根据反比例函数$y=-\frac{2}{x}$的几何意义，图象上的点向坐标轴作垂线形成的矩形面积为$|k|$，因此$S_2=2$，$S_4=2$；
$S_3$的面积为B点横坐标绝对值与D点纵坐标绝对值的乘积，即$\frac{2m}{k} × \frac{2}{m}=\frac{4}{k}$。
已知$S_2+S_3+S_4=\frac{14}{3}$，代入得：
$2+\frac{4}{k}+2=\frac{14}{3}$，
整理得$\frac{4}{k}=\frac{2}{3}$，解得$k=6$。
【答案】
6
【知识点】
反比例函数性质、矩形面积计算
【点评】
本题考查反比例函数k的几何意义的应用，关键是利用反比例函数上点的坐标特征求出相关点坐标，结合面积关系列方程求解，属于中等难度的反比例函数综合题。
【难度系数】
0.5
