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1. (2025·滨州中考) 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$A,B$分别在$x$轴和$y$轴上,点$C$为$AB$的中点,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象经过点$C$.若点$B$的坐标为$(0,6)$,$OC=5$,则$k=$
12
.答案
12 解析: 在$\mathrm{Rt} △ AOB$中,点$C$为$AB$的中点,$OC=5$,$\therefore AB=2OC=10.\because$ 点$B$的坐标为$(0,6)$,$\therefore OB=6$,$\therefore OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=8$,$\therefore A(8,0)$,$\therefore$ 点$C$的坐标为$(4,3).\because$ 反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象经过点$C$,$\therefore k=3×4=12$.
解析
【分析】
本题的解题思路是：首先利用直角三角形斜边中线的性质求出斜边AB的长度，再结合勾股定理算出OA的长度得到点A的坐标，接着根据中点坐标公式求出点C的坐标，最后将点C代入反比例函数解析式计算出k的值。
【解析】
1. 因为△AOB是直角三角形，点C为AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，已知OC=5，所以AB=2OC=10。
2. 由点B的坐标为(0,6)，得OB=6，在Rt△AOB中，根据勾股定理：
OA = √(AB² - OB²) = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8，因此点A的坐标为(8,0)。
3. 因为C是AB的中点，根据中点坐标公式，点C的坐标为((8+0)/2, (0+6)/2)=(4,3)。
4. 由于反比例函数y=k/x的图象经过点C(4,3)，将点C代入解析式得：k=4×3=12。
【答案】
12
【知识点】
反比例函数、直角三角形性质、中点坐标公式
【点评】
本题综合考查了直角三角形的性质、勾股定理、中点坐标公式以及反比例函数解析式的求解，解题的关键是利用直角三角形斜边中线的性质求出AB的长度，进而确定点C的坐标，整体难度适中，属于常见的综合题型。
【难度系数】
0.5
本题的解题思路是：首先利用直角三角形斜边中线的性质求出斜边AB的长度，再结合勾股定理算出OA的长度得到点A的坐标，接着根据中点坐标公式求出点C的坐标，最后将点C代入反比例函数解析式计算出k的值。
【解析】
1. 因为△AOB是直角三角形，点C为AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，已知OC=5，所以AB=2OC=10。
2. 由点B的坐标为(0,6)，得OB=6，在Rt△AOB中，根据勾股定理：
OA = √(AB² - OB²) = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8，因此点A的坐标为(8,0)。
3. 因为C是AB的中点，根据中点坐标公式，点C的坐标为((8+0)/2, (0+6)/2)=(4,3)。
4. 由于反比例函数y=k/x的图象经过点C(4,3)，将点C代入解析式得：k=4×3=12。
【答案】
12
【知识点】
反比例函数、直角三角形性质、中点坐标公式
【点评】
本题综合考查了直角三角形的性质、勾股定理、中点坐标公式以及反比例函数解析式的求解，解题的关键是利用直角三角形斜边中线的性质求出AB的长度，进而确定点C的坐标，整体难度适中，属于常见的综合题型。
【难度系数】
0.5
2. (2026·安庆校级月考)如图,点A是双曲线
$y=\dfrac{4}{x}$在第一象限分支上的一动点,连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为斜边作等腰$\mathrm{Rt}△ ABC$,点C在第二象限,随着点A的运动,点C的位置也不断地变化,但始终在一函数图象上运动,则这个函数的表达式为
$y=\dfrac{4}{x}$在第一象限分支上的一动点,连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为斜边作等腰$\mathrm{Rt}△ ABC$,点C在第二象限,随着点A的运动,点C的位置也不断地变化,但始终在一函数图象上运动,则这个函数的表达式为
$y=-\dfrac{4}{x}$
.答案
$y=-\dfrac{4}{x}$ 解析:如图,连接$OC$,作$CD ⊥$$x$轴于点$D$,$AE ⊥ x$轴于点$E$.设点$A$的坐标为$(a,\dfrac{4}{a})$.由题意得点$A$与点$B$关于原点对称,$\therefore OA=OB.\because △ ABC$为等腰直角三角形,$\therefore OC=OA$,$OC ⊥ OA$,$\therefore ∠ DOC+ ∠ AOE=90°.\because ∠ DOC+ ∠ DCO=90°$,$\therefore ∠ DCO= ∠ AOE$.在$△ COD$和$△ OAE$中,$\begin{cases} ∠ CDO= ∠ OEA,\\ ∠ DCO= ∠ EOA,\\ CO=OA,\\ \end{cases} \therefore △ COD ≌ △ OAE (\mathrm{AAS})$,$\therefore OD=AE=\dfrac{4}{a}$,$CD=OE=a$,$\therefore$ 点$C$的坐标为$(-\dfrac{4}{a},a)$.$\because -\dfrac{4}{a}· a=-4$,$\therefore$ 点$C$在反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$的图象上.
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用反比例函数的对称性、等腰直角三角形的性质，通过构造全等三角形实现坐标转化。步骤如下：1. 设点A的坐标为$(a,\frac{4}{a})$；2. 由A、B关于原点对称得$OA=OB$，结合等腰$\mathrm{Rt}△ABC$推出$OC=OA$且$OC⊥OA$；3. 作辅助线$CD⊥x$轴、$AE⊥x$轴，证明$△COD≌△OAE$；4. 根据全等关系得到点C的坐标，进而推导其所在函数表达式。
【解析】
设点A的坐标为$(a,\frac{4}{a})$。
∵ 点A与点B关于原点对称，
∴ $OA=OB$。
又
∵ $△ABC$为等腰直角三角形，
∴ $OC=OA$，且$∠AOC=90°$，即$∠AOE + ∠COD=90°$。
∵ $AE⊥x$轴，$CD⊥x$轴，
∴ $∠AEO=∠ODC=90°$，则$∠AOE + ∠OAE=90°$，故$∠COD=∠OAE$。
在$△COD$和$△OAE$中：
$\begin{cases} ∠ODC=∠AEO \\ ∠COD=∠OAE \\ OC=OA \end{cases}$
∴ $△COD≌△OAE$（AAS），得$OD=AE=\frac{4}{a}$，$CD=OE=a$。
∵ 点C在第二象限，
∴ 点C的坐标为$(-\frac{4}{a},a)$。
设点C的坐标为$(x,y)$，则$x=-\frac{4}{a}$，$y=a$，因此$x·y=(-\frac{4}{a})·a=-4$，即$y=-\frac{4}{x}$。
【答案】
$y=-\dfrac{4}{x}$
【知识点】
反比例函数、全等三角形判定、等腰直角三角形性质
【点评】
本题将反比例函数与几何图形性质结合，核心是利用坐标转化和全等三角形实现点的坐标变换，考查了学生的几何转化能力和反比例函数的应用，综合性较强。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需利用反比例函数的对称性、等腰直角三角形的性质，通过构造全等三角形实现坐标转化。步骤如下：1. 设点A的坐标为$(a,\frac{4}{a})$；2. 由A、B关于原点对称得$OA=OB$，结合等腰$\mathrm{Rt}△ABC$推出$OC=OA$且$OC⊥OA$；3. 作辅助线$CD⊥x$轴、$AE⊥x$轴，证明$△COD≌△OAE$；4. 根据全等关系得到点C的坐标，进而推导其所在函数表达式。
【解析】
设点A的坐标为$(a,\frac{4}{a})$。
∵ 点A与点B关于原点对称，
∴ $OA=OB$。
又
∵ $△ABC$为等腰直角三角形，
∴ $OC=OA$，且$∠AOC=90°$，即$∠AOE + ∠COD=90°$。
∵ $AE⊥x$轴，$CD⊥x$轴，
∴ $∠AEO=∠ODC=90°$，则$∠AOE + ∠OAE=90°$，故$∠COD=∠OAE$。
在$△COD$和$△OAE$中：
$\begin{cases} ∠ODC=∠AEO \\ ∠COD=∠OAE \\ OC=OA \end{cases}$
∴ $△COD≌△OAE$（AAS），得$OD=AE=\frac{4}{a}$，$CD=OE=a$。
∵ 点C在第二象限，
∴ 点C的坐标为$(-\frac{4}{a},a)$。
设点C的坐标为$(x,y)$，则$x=-\frac{4}{a}$，$y=a$，因此$x·y=(-\frac{4}{a})·a=-4$，即$y=-\frac{4}{x}$。
【答案】
$y=-\dfrac{4}{x}$
【知识点】
反比例函数、全等三角形判定、等腰直角三角形性质
【点评】
本题将反比例函数与几何图形性质结合，核心是利用坐标转化和全等三角形实现点的坐标变换，考查了学生的几何转化能力和反比例函数的应用，综合性较强。
【难度系数】
0.5
3. 如图,在平面直角坐标系中,矩形$ABCD$的顶点$A,C$的坐标分别为$(3,5),(4,3)$,且$AB$平行于$x$轴,将矩形$ABCD$向左平移,得到矩形$A'B'C'D'$.若点$A',C'$同时落在函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上,则$k$的值为（
A.$3$
B.$\dfrac{7}{2}$
C.$6$
D.$\dfrac{15}{2}$
D
）A.$3$
B.$\dfrac{7}{2}$
C.$6$
D.$\dfrac{15}{2}$
答案
D 解析:设向左平移$a$个单位.$\because$ 点$A,C$的坐标分别为$(3,5)$,$(4,3)$,且$AB$平行于$x$轴,$\therefore$ 平移后点$A'$,$C'$的坐标分别为$(3-a,5)$,$(4-a,3).\because$ 点$A'$,$C'$同时落在函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上,$\therefore 5(3-a)=3(4-a)$,解得$a=\dfrac{3}{2}$,$\therefore A'(\dfrac{3}{2},5)$,$\therefore k=\dfrac{3}{2} × 5=\dfrac{15}{2}$.故选 D.
解析
【分析】
要解决本题，需先明确矩形向左平移时，各点纵坐标不变、横坐标减去平移单位数的坐标变化规律，再结合反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于$k$的特征，建立方程求解平移单位数，进而算出$k$的值。
【解析】
设矩形向左平移了$a$个单位长度。
已知原矩形顶点$A(3,5)$、$C(4,3)$，向左平移后，横坐标减$a$、纵坐标不变，因此平移后$A'(3 - a,5)$，$C'(4 - a,3)$。
因为点$A'$、$C'$在反比例函数$y = \dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上，根据反比例函数图象上点的坐标特征：横纵坐标之积等于$k$，可得：
$5(3 - a) = 3(4 - a)$
解方程：
$\begin{aligned}15 - 5a &= 12 - 3a\\-2a &= -3\\a &= \dfrac{3}{2}\end{aligned}$
将$a = \dfrac{3}{2}$代入$A'$的坐标，得$A'(\dfrac{3}{2},5)$，因此$k = \dfrac{3}{2} × 5 = \dfrac{15}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数、图形平移
【点评】
本题结合矩形平移与反比例函数性质，考查平移的坐标变化规律和反比例函数的点的特征，解题关键是利用两点在同一反比例函数上建立方程，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需先明确矩形向左平移时，各点纵坐标不变、横坐标减去平移单位数的坐标变化规律，再结合反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于$k$的特征，建立方程求解平移单位数，进而算出$k$的值。
【解析】
设矩形向左平移了$a$个单位长度。
已知原矩形顶点$A(3,5)$、$C(4,3)$，向左平移后，横坐标减$a$、纵坐标不变，因此平移后$A'(3 - a,5)$，$C'(4 - a,3)$。
因为点$A'$、$C'$在反比例函数$y = \dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上，根据反比例函数图象上点的坐标特征：横纵坐标之积等于$k$，可得：
$5(3 - a) = 3(4 - a)$
解方程：
$\begin{aligned}15 - 5a &= 12 - 3a\\-2a &= -3\\a &= \dfrac{3}{2}\end{aligned}$
将$a = \dfrac{3}{2}$代入$A'$的坐标，得$A'(\dfrac{3}{2},5)$，因此$k = \dfrac{3}{2} × 5 = \dfrac{15}{2}$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数、图形平移
【点评】
本题结合矩形平移与反比例函数性质，考查平移的坐标变化规律和反比例函数的点的特征，解题关键是利用两点在同一反比例函数上建立方程，难度适中。
【难度系数】
0.6
4. (2025·济南期中) 如图,正方形$ABCD$和正方形$DEFG$的顶点$A$在$y$轴上,顶点$D,F$在$x$轴上,点$C$在$DE$边上,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$的图象经过点$B$,$C$和边$EF$的中点$M$.若$S_{\mathrm{正方形}ABCD}=2$,则正方形$DEFG$的面积为
$\dfrac{32}{9}$
.答案
$\dfrac{32}{9}$ 解析:作$BH ⊥ y$轴于$H$,连接$EG$交$x$轴于$N$,如图.$\because$ 正方形$ABCD$和正方形$DEFG$的顶点$A$在$y$轴上,顶点$D,F$在$x$轴上,点$C$在$DE$边上,$\therefore ∠ EDF=45°$,$\therefore ∠ ADO=45°$,$\therefore ∠ DAO= ∠ BAH=45°$,$\therefore △ AOD$和$△ ABH$都是等腰直角三角形.$\because S_{\mathrm{正方形}ABCD}=2$,$\therefore AB=AD=\sqrt{2}$,$\therefore OD=OA=AH=BH=\dfrac{1}{\sqrt{2}} × \sqrt{2}=1$,$\therefore B$点坐标为$(1,2)$,把$B(1,2)$代入$y=\dfrac{k}{x}$得$k=1× 2=2$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\dfrac{2}{x}$.设$DN=a$,则$EN=NF=a$,$\therefore E(a+1,a)$,$F(2a+1,0).\because$ 点$M$为$EF$的中点,$\therefore$ 点$M$的坐标为$(\dfrac{3a+2}{2},\dfrac{a}{2}).\because$ 点$M$在反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的图象上,$\therefore \dfrac{3a+2}{2} × \dfrac{a}{2}=2$,整理得$3a^2+2a-8=0$,解得$a_1=\dfrac{4}{3}$,$a_2=-2$(舍去),$\therefore$ 正方形$DEFG$的面积$=2× \dfrac{1}{2}EN· DF=2× \dfrac{1}{2}× \dfrac{4}{3}× \dfrac{8}{3}=\dfrac{32}{9}$.
解析
【分析】
要解决本题，首先根据正方形ABCD的面积求出其边长，结合等腰直角三角形的性质确定点B的坐标，代入反比例函数解析式求出k值；再设正方形DEFG的边长为参数a，用a表示出点M的坐标，利用点M在反比例函数图象上的条件列方程，求解参数后计算正方形DEFG的面积。
【解析】
作$BH ⊥ y$轴于$H$，连接$EG$交$x$轴于$N$，如图。
1. 由正方形$ABCD$的面积为$2$，得边长$AB=AD=\sqrt{2}$。
因为$△ AOD$和$△ ABH$都是等腰直角三角形，所以$OD=OA=AH=BH=1$，故点$B$的坐标为$(1,2)$。
2. 将$B(1,2)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$k=1×2=2$，即反比例函数解析式为$y=\dfrac{2}{x}$。
3. 设$DN=a$，则正方形$DEFG$的边长对应的半边长为$a$，故点$E(a+1,a)$，点$F(2a+1,0)$。
因为$M$是$EF$的中点，所以$M$的坐标为$(\dfrac{3a+2}{2},\dfrac{a}{2})$。
4. 因为点$M$在$y=\dfrac{2}{x}$上，所以$\dfrac{3a+2}{2}×\dfrac{a}{2}=2$，整理得$3a^2+2a-8=0$，解得$a=\dfrac{4}{3}$（舍去负根$a=-2$）。
5. 正方形$DEFG$的面积为$2a^2=2×(\dfrac{4}{3})^2=\dfrac{32}{9}$。
【答案】
$\dfrac{32}{9}$
【知识点】
反比例函数、正方形性质、等腰直角三角形
【点评】
本题结合反比例函数与正方形的性质，通过坐标法建立方程求解，关键是利用等腰直角三角形的性质确定点坐标，再结合反比例函数的$k$值不变性列方程，考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先根据正方形ABCD的面积求出其边长，结合等腰直角三角形的性质确定点B的坐标，代入反比例函数解析式求出k值；再设正方形DEFG的边长为参数a，用a表示出点M的坐标，利用点M在反比例函数图象上的条件列方程，求解参数后计算正方形DEFG的面积。
【解析】
作$BH ⊥ y$轴于$H$，连接$EG$交$x$轴于$N$，如图。
1. 由正方形$ABCD$的面积为$2$，得边长$AB=AD=\sqrt{2}$。
因为$△ AOD$和$△ ABH$都是等腰直角三角形，所以$OD=OA=AH=BH=1$，故点$B$的坐标为$(1,2)$。
2. 将$B(1,2)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$k=1×2=2$，即反比例函数解析式为$y=\dfrac{2}{x}$。
3. 设$DN=a$，则正方形$DEFG$的边长对应的半边长为$a$，故点$E(a+1,a)$，点$F(2a+1,0)$。
因为$M$是$EF$的中点，所以$M$的坐标为$(\dfrac{3a+2}{2},\dfrac{a}{2})$。
4. 因为点$M$在$y=\dfrac{2}{x}$上，所以$\dfrac{3a+2}{2}×\dfrac{a}{2}=2$，整理得$3a^2+2a-8=0$，解得$a=\dfrac{4}{3}$（舍去负根$a=-2$）。
5. 正方形$DEFG$的面积为$2a^2=2×(\dfrac{4}{3})^2=\dfrac{32}{9}$。
【答案】
$\dfrac{32}{9}$
【知识点】
反比例函数、正方形性质、等腰直角三角形
【点评】
本题结合反比例函数与正方形的性质，通过坐标法建立方程求解，关键是利用等腰直角三角形的性质确定点坐标，再结合反比例函数的$k$值不变性列方程，考查了数形结合的思想。
【难度系数】
0.5
5. 如图,已知菱形$ABCD$的对角线$AC$的中点与坐标原点重合,$AF ⊥ AC$交$x$轴于点$F$,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＜0$,$x＜0)$的图象经过点$A$,与$AF$交于点$E$,且$AE=EF$,$△ ADF$的面积为$6$,则$k$的值为
$-4$
.答案
$-4$ 解析:如图,连接$BD$,$\because$ 四边形$ABCD$是菱形,$\therefore BD ⊥ AC$.$\because AF ⊥ AC$,$\therefore BD // AF$.$\because AO ⊥ AF$,$AO ⊥ BD$,$\therefore$ 点$D$到$AF$的距离为$AO$,$\therefore S_{△ ADF}=S_{△ AFO}$.反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＜0,x＜0)$的图象经过点$A$,设点$A(a,\dfrac{k}{a})$,$F(b,0).\because AE=EF$,$\therefore E(\dfrac{a+b}{2},\dfrac{k}{2a}).\because$ 点$E$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＜0,x＜0)$的图象上,$\therefore \dfrac{a+b}{2}· \dfrac{k}{2a}=k$,解得$b=3a$.$\because S_{△ ADF}=S_{△ AFO}=\dfrac{1}{2}OF × y_A=\dfrac{1}{2}×(-3a)× \dfrac{k}{a}=6$,$\therefore k=-4$.
解析
【分析】
要解决本题，需结合菱形的性质、反比例函数的特点，利用坐标法转化几何条件：首先利用菱形对角线垂直的性质，结合AF⊥AC得到BD//AF，进而将△ADF的面积转化为△AOF的面积；再设点A、F的坐标，由AE=EF得到E点坐标，将E点代入反比例函数建立坐标关系，最后利用三角形面积公式求解k的值。
【解析】
连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
又
∵AF⊥AC，
∴BD//AF，
∴点D到AF的距离等于点O到AF的距离，故$S_{△ ADF}=S_{△ AFO}$。
设点$A(a,\dfrac{k}{a})$，点$F(b,0)$，
∵$AE=EF$，
∴E是AF中点，得$E(\dfrac{a+b}{2},\dfrac{k}{2a})$。
∵点E在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＜0,x＜0)$的图象上，
∴$\dfrac{a+b}{2}·\dfrac{k}{2a}=k$，
∵$k≠0$，两边同除以k得$\dfrac{a+b}{4a}=1$，解得$b=3a$。
∵$S_{△ ADF}=S_{△ AFO}=\dfrac{1}{2}·|OF|·|y_A|$，
其中$|OF|=-b=-3a$（因$a＜0$，$b=3a＜0$），$|y_A|=\dfrac{k}{a}$（$k＜0$，$a＜0$，故为正），
代入得：$\dfrac{1}{2}·(-3a)·\dfrac{k}{a}=6$，化简得$\dfrac{1}{2}·(-3k)=6$，
解得$k=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
菱形的性质、反比例函数的性质、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查菱形与反比例函数的结合，核心是利用坐标法转化几何条件，通过中点性质建立坐标关系，再结合面积公式求解，需注意坐标符号的处理，是一道中等难度的函数几何综合题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合菱形的性质、反比例函数的特点，利用坐标法转化几何条件：首先利用菱形对角线垂直的性质，结合AF⊥AC得到BD//AF，进而将△ADF的面积转化为△AOF的面积；再设点A、F的坐标，由AE=EF得到E点坐标，将E点代入反比例函数建立坐标关系，最后利用三角形面积公式求解k的值。
【解析】
连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
又
∵AF⊥AC，
∴BD//AF，
∴点D到AF的距离等于点O到AF的距离，故$S_{△ ADF}=S_{△ AFO}$。
设点$A(a,\dfrac{k}{a})$，点$F(b,0)$，
∵$AE=EF$，
∴E是AF中点，得$E(\dfrac{a+b}{2},\dfrac{k}{2a})$。
∵点E在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＜0,x＜0)$的图象上，
∴$\dfrac{a+b}{2}·\dfrac{k}{2a}=k$，
∵$k≠0$，两边同除以k得$\dfrac{a+b}{4a}=1$，解得$b=3a$。
∵$S_{△ ADF}=S_{△ AFO}=\dfrac{1}{2}·|OF|·|y_A|$，
其中$|OF|=-b=-3a$（因$a＜0$，$b=3a＜0$），$|y_A|=\dfrac{k}{a}$（$k＜0$，$a＜0$，故为正），
代入得：$\dfrac{1}{2}·(-3a)·\dfrac{k}{a}=6$，化简得$\dfrac{1}{2}·(-3k)=6$，
解得$k=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
菱形的性质、反比例函数的性质、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查菱形与反比例函数的结合，核心是利用坐标法转化几何条件，通过中点性质建立坐标关系，再结合面积公式求解，需注意坐标符号的处理，是一道中等难度的函数几何综合题。
【难度系数】
0.5
6. (广东中考) 如图, 点 B 是反比例函数 $y=\dfrac{8}{x}$($x＞0$) 图象上一点, 过点 B 分别向坐标轴作垂线,垂足为 A,C.反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象经过 OB 的中点 M, 与 AB, BC 分别相交于点D,E.连接 DE 并延长交 x 轴于点 F,点 G 与点O 关于点 C 对称,连接 BF,BG.
(1) 填空:$k=$
(2) 求 $△ BDF$ 的面积;
(3) 求证:四边形 BDFG 为平行四边形.
(1) 填空:$k=$
2
;(2) 求 $△ BDF$ 的面积;
(3) 求证:四边形 BDFG 为平行四边形.
答案
(1)2 解析:设点$B(s,t)$,则$st=8$,则点$M(\dfrac{1}{2}s,\dfrac{1}{2}t)$,$\therefore k=\dfrac{1}{2}s· \dfrac{1}{2}t=\dfrac{1}{4}st=2$.
(2) 连接$OD$,则$S_{△ BDF}=S_{△ OBD}=S_{△ BOA}-S_{△ OAD}=\dfrac{1}{2}× 8-\dfrac{1}{2}× 2=3$.
(3) 设点$D(m,\dfrac{2}{m})$,则点$B(4m,\dfrac{2}{m}).\because$ 点$G$与点$O$关于点$C$对称,$\therefore$ 点$G(8m,0)$,易得点$E(4m,\dfrac{1}{2m})$.
设直线$DE$的函数表达式为$y=px+n$,将点$D,E$的坐标代入,得$\begin{cases} \dfrac{2}{m}=mp+n,\\ \dfrac{1}{2m}=4mp+n,\\ \end{cases}$解得$\begin{cases} p=-\dfrac{1}{2m^2},\\ n=\dfrac{5}{2m},\\ \end{cases} \therefore$ 直线$DE$的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{2m^2}x+\dfrac{5}{2m}$.令$y=0$,$\therefore x=5m$,$\therefore$ 点$F(5m,0)$,$\therefore FG=8m-5m=3m$.又$BD=4m-m=3m=FG$,且$FG // BD$,$\therefore$ 四边形$BDFG$为平行四边形.
(2) 连接$OD$,则$S_{△ BDF}=S_{△ OBD}=S_{△ BOA}-S_{△ OAD}=\dfrac{1}{2}× 8-\dfrac{1}{2}× 2=3$.
(3) 设点$D(m,\dfrac{2}{m})$,则点$B(4m,\dfrac{2}{m}).\because$ 点$G$与点$O$关于点$C$对称,$\therefore$ 点$G(8m,0)$,易得点$E(4m,\dfrac{1}{2m})$.
设直线$DE$的函数表达式为$y=px+n$,将点$D,E$的坐标代入,得$\begin{cases} \dfrac{2}{m}=mp+n,\\ \dfrac{1}{2m}=4mp+n,\\ \end{cases}$解得$\begin{cases} p=-\dfrac{1}{2m^2},\\ n=\dfrac{5}{2m},\\ \end{cases} \therefore$ 直线$DE$的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{2m^2}x+\dfrac{5}{2m}$.令$y=0$,$\therefore x=5m$,$\therefore$ 点$F(5m,0)$,$\therefore FG=8m-5m=3m$.又$BD=4m-m=3m=FG$,且$FG // BD$,$\therefore$ 四边形$BDFG$为平行四边形.
解析
【分析】
本题是反比例函数的综合题，分三小问：
1. 求k的值：利用中点坐标公式表示OB中点M，结合反比例函数上点的坐标特征，以及点B在$y=\dfrac{8}{x}$上的$st=8$，即可求出k；
2. 求$△ BDF$的面积：利用反比例函数中k的几何意义，先求$S_{△ OAB}$和$S_{△ OAD}$，再通过同底等高得到$△ BDF$与$△ OBD$面积相等，进而计算；
3. 证明四边形BDFG为平行四边形：设参数表示点D、B、E、G的坐标，求出直线DE的解析式，得到点F的坐标，计算BD和FG的长度，结合平行关系，利用“一组对边平行且相等”判定平行四边形。
【解析】
(1) 设点B的坐标为$(s,t)$，因为点B在$y=\dfrac{8}{x}(x＞0)$上，所以$st=8$。
因为M是OB的中点，根据中点坐标公式，得$M(\dfrac{s}{2},\dfrac{t}{2})$。
又因为点M在$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$上，所以$k=\dfrac{s}{2}·\dfrac{t}{2}=\dfrac{st}{4}=\dfrac{8}{4}=2$。
(2) 连接OD，
因为点D在$y=\dfrac{2}{x}$上，根据反比例函数k的几何意义，$S_{△ OAD}=\dfrac{1}{2}|k|=\dfrac{1}{2}×2=1$；
点B在$y=\dfrac{8}{x}$上，所以$S_{△ OAB}=\dfrac{1}{2}×8=4$；
则$S_{△ OBD}=S_{△ OAB}-S_{△ OAD}=4-1=3$。
因为$△ BDF$和$△ OBD$同底（BD为底），且高相等，所以$S_{△ BDF}=S_{△ OBD}=3$。
(3) 设点D的坐标为$(m,\dfrac{2}{m})$，因为AB平行于x轴，点B的纵坐标与点D相同，将$y=\dfrac{2}{m}$代入$y=\dfrac{8}{x}$，得$x=4m$，所以点B的坐标为$(4m,\dfrac{2}{m})$。
因为点G与点O关于点C对称，C是B在x轴的垂足，所以C的坐标为$(4m,0)$，则点G的坐标为$(8m,0)$。
点E在BC上，BC的横坐标为$4m$，代入$y=\dfrac{2}{x}$，得$y=\dfrac{2}{4m}=\dfrac{1}{2m}$，所以点E的坐标为$(4m,\dfrac{1}{2m})$。
设直线DE的解析式为$y=px+n$，将D、E坐标代入得：
$\begin{cases}\dfrac{2}{m}=mp+n\\\dfrac{1}{2m}=4mp+n\end{cases}$，
解得$\begin{cases}p=-\dfrac{1}{2m^2}\\n=\dfrac{5}{2m}\end{cases}$，
所以直线DE的解析式为$y=-\dfrac{1}{2m^2}x+\dfrac{5}{2m}$。
令$y=0$，解得$x=5m$，即点F的坐标为$(5m,0)$。
计算得：$BD=4m - m=3m$，$FG=8m -5m=3m$，所以$BD=FG$；
又因为BD平行于x轴，FG在x轴上，所以$BD// FG$，
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形BDFG为平行四边形。
【答案】
(1) $2$；(2) $3$；(3) 四边形BDFG为平行四边形。
【知识点】
反比例函数性质、平行四边形判定、一次函数解析式
【点评】
本题综合考查反比例函数的性质、坐标与图形的结合、平行四边形的判定，解题时需灵活运用反比例函数k的几何意义、中点坐标公式，通过设参数简化计算，是一道综合性较强的中考题。
【难度系数】
0.5
本题是反比例函数的综合题，分三小问：
1. 求k的值：利用中点坐标公式表示OB中点M，结合反比例函数上点的坐标特征，以及点B在$y=\dfrac{8}{x}$上的$st=8$，即可求出k；
2. 求$△ BDF$的面积：利用反比例函数中k的几何意义，先求$S_{△ OAB}$和$S_{△ OAD}$，再通过同底等高得到$△ BDF$与$△ OBD$面积相等，进而计算；
3. 证明四边形BDFG为平行四边形：设参数表示点D、B、E、G的坐标，求出直线DE的解析式，得到点F的坐标，计算BD和FG的长度，结合平行关系，利用“一组对边平行且相等”判定平行四边形。
【解析】
(1) 设点B的坐标为$(s,t)$，因为点B在$y=\dfrac{8}{x}(x＞0)$上，所以$st=8$。
因为M是OB的中点，根据中点坐标公式，得$M(\dfrac{s}{2},\dfrac{t}{2})$。
又因为点M在$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$上，所以$k=\dfrac{s}{2}·\dfrac{t}{2}=\dfrac{st}{4}=\dfrac{8}{4}=2$。
(2) 连接OD，
因为点D在$y=\dfrac{2}{x}$上，根据反比例函数k的几何意义，$S_{△ OAD}=\dfrac{1}{2}|k|=\dfrac{1}{2}×2=1$；
点B在$y=\dfrac{8}{x}$上，所以$S_{△ OAB}=\dfrac{1}{2}×8=4$；
则$S_{△ OBD}=S_{△ OAB}-S_{△ OAD}=4-1=3$。
因为$△ BDF$和$△ OBD$同底（BD为底），且高相等，所以$S_{△ BDF}=S_{△ OBD}=3$。
(3) 设点D的坐标为$(m,\dfrac{2}{m})$，因为AB平行于x轴，点B的纵坐标与点D相同，将$y=\dfrac{2}{m}$代入$y=\dfrac{8}{x}$，得$x=4m$，所以点B的坐标为$(4m,\dfrac{2}{m})$。
因为点G与点O关于点C对称，C是B在x轴的垂足，所以C的坐标为$(4m,0)$，则点G的坐标为$(8m,0)$。
点E在BC上，BC的横坐标为$4m$，代入$y=\dfrac{2}{x}$，得$y=\dfrac{2}{4m}=\dfrac{1}{2m}$，所以点E的坐标为$(4m,\dfrac{1}{2m})$。
设直线DE的解析式为$y=px+n$，将D、E坐标代入得：
$\begin{cases}\dfrac{2}{m}=mp+n\\\dfrac{1}{2m}=4mp+n\end{cases}$，
解得$\begin{cases}p=-\dfrac{1}{2m^2}\\n=\dfrac{5}{2m}\end{cases}$，
所以直线DE的解析式为$y=-\dfrac{1}{2m^2}x+\dfrac{5}{2m}$。
令$y=0$，解得$x=5m$，即点F的坐标为$(5m,0)$。
计算得：$BD=4m - m=3m$，$FG=8m -5m=3m$，所以$BD=FG$；
又因为BD平行于x轴，FG在x轴上，所以$BD// FG$，
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形BDFG为平行四边形。
【答案】
(1) $2$；(2) $3$；(3) 四边形BDFG为平行四边形。
【知识点】
反比例函数性质、平行四边形判定、一次函数解析式
【点评】
本题综合考查反比例函数的性质、坐标与图形的结合、平行四边形的判定，解题时需灵活运用反比例函数k的几何意义、中点坐标公式，通过设参数简化计算，是一道综合性较强的中考题。
【难度系数】
0.5
