1. (2025·镇江期中) 如图, 反比例函数 $y=\dfrac{6}{x}$ $(x＞0)$ 的图象经过点 $A(2,m)$, 过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线交 $y$ 轴于点 $B$. 当点 $C$ 在 $x$ 轴正半轴上运动时, $△ ABC$ 的面积为（）

A.3
B.6
C.12
D.无法确定

1. A 解析:把 x=2 代入 $y=\dfrac{6}{x}$ 得 y=3,
∴ A(2,3).
∵ AB ⊥ y 轴,
∴ AB//x 轴,
∴ B(0,3),即 OB=3,
∴ $S_{△ABC}=\dfrac{1}{2}AB · OB=\dfrac{1}{2}×2×3=3$.故选 A.

【分析】
要解决本题，需先利用反比例函数解析式求出点A的坐标，再结合AB垂直y轴的条件确定点B的坐标，进而得到三角形ABC的底和高，最后用三角形面积公式计算面积。
【解析】
1. 求点A的坐标：
因为点$A(2,m)$在反比例函数$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$的图象上，将$x=2$代入解析式，得$m=\dfrac{6}{2}=3$，因此点A的坐标为$(2,3)$。
2. 确定点B的坐标：
由于$AB⊥y$轴，所以$AB// x$轴，点B在y轴上，其纵坐标与点A相同，横坐标为0，故点B的坐标为$(0,3)$，由此可得线段$AB=2$，$OB=3$。
3. 计算$△ ABC$的面积：
因为$AB// x$轴，点C在x轴上，所以$△ ABC$中AB边上的高为OB的长度，根据三角形面积公式$S=\dfrac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×AB×OB=\dfrac{1}{2}×2×3=3$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数、三角形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数的坐标特征与三角形面积计算，属于基础题型，核心是确定点的坐标以找到三角形的底和高，难度较低，适合巩固相关知识点。
【难度系数】
0.6

2. 如图,在平面直角坐标系中,点 A,B 在函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象上,过点 A 作 $AC ⊥ x$ 轴于点 C,过点 B 作 $BD ⊥ x$ 轴于点 D,连接 OA,OB 交 AC于点 E,若 $AE=CE$,四边形 BECD 的面积为 3,则 k 的值为.

2. 12 解析:
∵ 点 A,B 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象上,$AC ⊥ x$ 轴,$BD ⊥ x$ 轴,
∴ $S_{△AOC}=S_{△BOD}=\dfrac{1}{2}x · y=\dfrac{1}{2}k$.
∵ $S_{△AOC}=S_{△AOE}+S_{△OEC}=S_{△OEC}+S_{四边形BECD}=S_{△BOD}$,
∴ $S_{△AOE}=S_{四边形BECD}=3$.
∵ $AE=CE$,
∴ $S_{△AOC}=2S_{△AOE}=2×3=6$,
∴ $k=2S_{△AOC}=2×6=12$.

【分析】
本题考查反比例函数k的几何意义，解题思路如下：首先明确反比例函数上的点向坐标轴作垂线形成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，结合图形中面积的和差关系，利用已知$AE=CE$和四边形$BECD$的面积，通过等量代换求出$△ AOC$的面积，进而计算出$k$的值。
【解析】
1. 因为点$A$、$B$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，且$AC ⊥ x$轴，$BD ⊥ x$轴，根据反比例函数$k$的几何意义，可得$S_{△ AOC}=S_{△ BOD}=\frac{1}{2}k$。
2. 观察图形的面积关系：$S_{△ AOC}=S_{△ AOE}+S_{△ OEC}$，$S_{△ BOD}=S_{△ OEC}+S_{四边形BECD}$。
3. 由于$S_{△ AOC}=S_{△ BOD}$，因此$S_{△ AOE}=S_{四边形BECD}=3$。
4. 已知$AE=CE$，即$E$为$AC$的中点，$△ AOE$与$△ OEC$等底同高，面积相等，故$S_{△ AOC}=2S_{△ AOE}=2×3=6$。
5. 又因为$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}k$，所以$\frac{1}{2}k=6$，解得$k=12$。
【答案】
12
【知识点】
反比例函数k的几何意义、三角形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数的面积性质与三角形面积关系，通过等量代换求解参数，重点考查学生对反比例函数核心性质的理解与应用，属于中等难度的常规题型。
【难度系数】
0.5

3. 如图,点$A$是反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上的一点,过点$A$作$□ ABCD$,使点$B,C$在$x$轴上,点$D$在$y$轴上,若$□ ABCD$的面积为$6$,则$k$的值是.

3. -6 解析:作 $AE ⊥ BC$ 于点 E,如图,
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,
∴ $AD// x$ 轴,
∴ 四边形 ADOE 为矩形,
∴ $S_{□ABCD}=S_{矩形ADOE}$,而 $S_{矩形ADOE}=|k|$,
∴ $|k|=6$.
∵ $k＜0$,
∴ $k=-6$.

【分析】要解决本题，需利用平行四边形的性质将其面积转化为反比例函数对应的矩形面积。首先过点A作x轴的垂线，结合平行四边形对边平行的特点，可得到矩形，再利用反比例函数的几何意义，结合点A所在象限确定k的符号，即可求出k的值。
【解析】作$AE ⊥ BC$于点E，如图：
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ $AD// BC$，即$AD// x$轴，
又
∵ $AE ⊥ x$轴，点D在y轴上（$DO ⊥ x$轴），
∴ 四边形ADOE为矩形，
∴ $S_{□ABCD}=AD·AE$，$S_{矩形ADOE}=OE·AE$，且$AD=OE$，
因此$S_{□ABCD}=S_{矩形ADOE}$。
对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，过双曲线上一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为$|k|$，故$S_{矩形ADOE}=|k|$。
已知$□ ABCD$的面积为6，即$|k|=6$。
又
∵ 点A在第二象限，反比例函数图象在第二、四象限，
∴ $k＜0$，因此$k=-6$。
【答案】-6
【知识点】反比例函数性质、平行四边形面积、矩形面积
【点评】本题结合平行四边形与反比例函数的性质，核心是将平行四边形面积转化为反比例函数对应的矩形面积，考查对反比例函数几何意义的理解，属于基础应用题型。
【难度系数】0.5

4. (2026·济南期中)如图,点A,B,C为反比例函数图象上从左到右的三个点,分别过这三个点作x轴,y轴的垂线,与x轴的交点分别为点D,E,F,图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为$S_1,S_2$,其中$OD:DE:EF=1:2:3$,若$S_2=6$,则$S_1=$.

4. 12 解析:如图,设反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$,
∵ $OD:DE:EF=1:2:3$,
∴ $b=\dfrac{1}{6}k,c=\dfrac{1}{3}k,d=\dfrac{1}{2}k$.
∴ $S_1+a+b=b+c+d=k$,$S_2+a+b+c=b+c+d=k$,$2(b+a)=c+S_2$,
∴ $2(\dfrac{1}{6}k+a)=\dfrac{1}{3}k+6$,$6+a+\dfrac{1}{6}k+\dfrac{1}{3}k=k$,
∴ $\dfrac{1}{3}k+2a=\dfrac{1}{3}k+6$,$6+a=\dfrac{1}{2}k$,
∴ $a=3$,$k=18$,
∴ $b=3$,
∴ $S_1+3+3=18$,
∴ $S_1=12$.

【分析】本题考查反比例函数中k的几何意义，解题思路是：先根据线段比例设出各段长度，结合反比例函数表达式表示出各点纵坐标，再利用矩形面积公式，结合已知$ S_2=6 $求出k的值，最后计算$ S_1 $。
【解析】设反比例函数的表达式为$ y = \dfrac{k}{x}(k ≠ 0) $，
因为$ OD:DE:EF = 1:2:3 $，设$ OD = m $，则$ DE = 2m $，$ EF = 3m $，
所以点$ A $、$ B $、$ C $的横坐标分别为$ m $、$ 3m $、$ 6m $，代入反比例函数得纵坐标：
$ y_A = \dfrac{k}{m} $，$ y_B = \dfrac{k}{3m} $，$ y_C = \dfrac{k}{6m} $。
观察图形，$ S_2 $是长为$ DE = 2m $，宽为$ y_B - y_C $的矩形，因此：
$ S_2 = DE × (y_B - y_C) = 2m × ( \dfrac{k}{3m} - \dfrac{k}{6m} ) = 2m × \dfrac{k}{6m} = \dfrac{k}{3} $，
已知$ S_2 = 6 $，则$ \dfrac{k}{3} = 6 $，解得$ k = 18 $。
同理，$ S_1 $是长为$ OD = m $，宽为$ y_A - y_B $的矩形，因此：
$ S_1 = OD × (y_A - y_B) = m × ( \dfrac{k}{m} - \dfrac{k}{3m} ) = m × \dfrac{2k}{3m} = \dfrac{2k}{3} $，
将$ k = 18 $代入得：$ S_1 = \dfrac{2 × 18}{3} = 12 $。
【答案】12
【知识点】反比例函数k的几何意义、矩形面积计算
【点评】本题利用反比例函数中k的几何意义，结合线段比例关系，通过矩形面积建立方程求解，关键是理清阴影面积与反比例函数参数k的关系，难度适中。
【难度系数】0.5

5. 如图, 函数 $y=mx$ 与 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象交于 $A,B$ 两点, 过点 $A$ 作 $AC$ 垂直于 $y$ 轴, 垂足为$C$, 连接 $BC$, 若 $S_{△ ABC}=3$,则 $k=$.

5. 3 解析:
∵ 函数 $y=mx$ 与 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象交于 A,B 两点,
∴ A,B 两点关于原点 O 对称,
∴ $S_{△ABC}=2S_{△ACO}=3$,
∴ $|k|=|xy|=3$.
∵ 反比例函数图象在第一、三象限,
∴ $k＞0$,
∴ $k=3$.

【分析】
要解决本题，需利用正比例函数与反比例函数交点的对称性，结合反比例函数中三角形面积的规律来推导。首先明确：正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称，再结合AC垂直y轴的条件，将△ABC的面积转化为与k相关的表达式，进而求出k的值。
【解析】
1. 因为正比例函数$ y=mx $与反比例函数$ y=\dfrac{k}{x} $的图象交于A、B两点，根据正比例函数和反比例函数的对称性，A、B两点关于原点O对称，即O为AB中点，故$ S_{△ ABC}=2S_{△ ACO} $。
2. 由于AC垂直y轴，垂足为C，根据反比例函数的性质：过双曲线上一点作y轴的垂线，形成的直角三角形面积为$\dfrac{1}{2}|k|$，即$ S_{△ ACO}=\dfrac{1}{2}|k| $。
3. 已知$ S_{△ ABC}=3 $，代入得$ 2×\dfrac{1}{2}|k|=3 $，解得$|k|=3$。
4. 由图象可知反比例函数图象在第一、三象限，因此$ k＞0 $，故$ k=3 $。
【答案】
3
【知识点】
反比例函数性质、一次函数与反比例函数交点
【点评】
本题结合正比例函数与反比例函数的对称性，考查反比例函数中三角形面积的计算，核心是利用对称性转化面积关系，难度适中，需掌握反比例函数的基本性质。
【难度系数】
0.6

6. 点 A, B 分别是双曲线 $y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$ 上的点，$AC ⊥ y$ 轴正半轴于点 $C$，$BD ⊥ y$ 轴负半轴于点$D$, 连接 $AD, BC$, 若四边形 $ACBD$ 是面积为 12的平行四边形, 则 $k=$.

6. 6 解析:如图,
∵ 点 A,B 分别是双曲线 $y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$ 上的点,$AC ⊥ y$ 轴正半轴于点 C,$BD ⊥ y$ 轴负半轴于点 D,
∴ $AC// BD$.
∵ 四边形 ACBD 是面积为 12 的平行四边形,
∴ $AC=BD$,
∴ A,B 关于原点对称,
∴ $OA=OB$, $OC=OD$,
∴ $S_{四边形ACBD}=4S_{△AOC}=12$,
∴ $S_{△AOC}=3$,
∴ $k=2×3=6$.

【分析】
要解决本题，首先由AC、BD都垂直于y轴，得出AC与BD平行；结合平行四边形对边相等的性质，推出A、B关于原点对称；再利用反比例函数k的几何意义，将平行四边形的面积转化为与双曲线上点形成的三角形面积相关的计算，最终求出k的值。
【解析】
∵ $AC ⊥ y$轴，$BD ⊥ y$轴，
∴ $AC // BD$，
又
∵ 四边形ACBD是平行四边形，
∴ $AC=BD$，
∴ 点A、B关于原点O对称，
根据反比例函数k的几何意义，过双曲线上一点作y轴垂线形成的$△ AOC$的面积为$\frac{1}{2}k$，
∵ 平行四边形ACBD的面积为12，且$S_{四边形ACBD}=4S_{△ AOC}$，
∴ $4×\frac{1}{2}k=12$，
解得：$k=6$。
【答案】
6
【知识点】
反比例函数k的几何意义、平行四边形的性质
【点评】
本题是反比例函数与平行四边形的综合题，核心是利用平行四边形的对称性转化点的位置关系，再借助反比例函数k的几何意义完成面积与k值的转化，解题关键在于面积的合理拆分，属于中等难度的常见题型。
【难度系数】
0.5