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7. (湘西州中考)如图,点A在函数$y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$的图象上,点B在函数$y=\dfrac{3}{x}(x＞0)$的图象上,且$AB// x$轴,$BC⊥ x$轴于点C,则四边形ABCO的面积为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
7. B 解析:延长BA交y轴于点D.$\because AB// x$轴,$\therefore DA⊥ y$轴.$\because$ 点A在函数$y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$的图象上,$\therefore S_{△ ADO}=\dfrac{1}{2}×2=1$.$\because BC⊥ x$轴于点C,$DB⊥ y$轴,点B在函数$y=\dfrac{3}{x}(x＞0)$的图象上,$\therefore S_{\mathrm{矩形}OCBD}=3$,$\therefore$ 四边形ABCO的面积等于$S_{\mathrm{矩形}OCBD}-S_{△ ADO}=3-1=2$.故选B.
解析
【分析】要计算四边形ABCO的面积，需利用反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图像上一点作坐标轴的垂线，形成的矩形面积为|k|，对应直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。通过延长BA交y轴于点D，构造出矩形OCBD和直角三角形ADO，四边形ABCO的面积等于矩形OCBD的面积减去三角形ADO的面积，结合两个反比例函数的k值即可求解。
【解析】延长BA交y轴于点D。
因为$AB// x$轴，所以$AD⊥ y$轴，又$BC⊥ x$轴，因此四边形OCBD是矩形。
1. 点A在函数$y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$的图象上，根据反比例函数k的几何意义，$S_{△ ADO}=\dfrac{1}{2}×|2|=1$；
2. 点B在函数$y=\dfrac{3}{x}(x＞0)$的图象上，同理，矩形OCBD的面积$S_{矩形OCBD}=|3|=3$；
因此，四边形ABCO的面积为$S_{矩形OCBD} - S_{△ ADO}=3 - 1=2$。
【答案】B
【知识点】反比例函数k的几何意义、矩形面积计算、三角形面积计算
【点评】本题考查反比例函数中k的几何意义的应用，解题核心是通过作辅助线构造规则图形，利用反比例函数的面积性质简化计算，属于基础题型，需熟练掌握反比例函数的相关性质。
【难度系数】0.6
【解析】延长BA交y轴于点D。
因为$AB// x$轴，所以$AD⊥ y$轴，又$BC⊥ x$轴，因此四边形OCBD是矩形。
1. 点A在函数$y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$的图象上，根据反比例函数k的几何意义，$S_{△ ADO}=\dfrac{1}{2}×|2|=1$；
2. 点B在函数$y=\dfrac{3}{x}(x＞0)$的图象上，同理，矩形OCBD的面积$S_{矩形OCBD}=|3|=3$；
因此，四边形ABCO的面积为$S_{矩形OCBD} - S_{△ ADO}=3 - 1=2$。
【答案】B
【知识点】反比例函数k的几何意义、矩形面积计算、三角形面积计算
【点评】本题考查反比例函数中k的几何意义的应用，解题核心是通过作辅助线构造规则图形，利用反比例函数的面积性质简化计算，属于基础题型，需熟练掌握反比例函数的相关性质。
【难度系数】0.6
8. (1) (2026·泰州校级月考) 如图①,反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象经过 $□ ABCD$ 对角线的交点 $P$,已知点 $A,C,D$ 在坐标轴上, $BD ⊥ DC,□ ABCD$ 的面积为 6,则 $k=$
(2) 如图②,反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象经过矩形 $OABC$ 对角线的交点 $M$,分别与 $AB,BC$ 交于点 $D,E$,若四边形 $ODBE$ 的面积为 9,则 $k$ 的值为
-3
.(2) 如图②,反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象经过矩形 $OABC$ 对角线的交点 $M$,分别与 $AB,BC$ 交于点 $D,E$,若四边形 $ODBE$ 的面积为 9,则 $k$ 的值为
3
.答案
8. (1)-3 解析:如图①,过点P作$PE⊥ y$轴于点E.$\because$ 四边形ABCD为平行四边形,$\therefore AB=CD,AB// CD$.又$\because BD⊥ x$轴,$\therefore AB⊥ BD$,$\therefore$ 四边形ABDO为矩形,$\therefore AB=DO$,$\therefore S_{\mathrm{矩形}ABDO}=S_{□ ABCD}=6$.$\because P$为$□ ABCD$对角线交点,$PE⊥ y$轴,$\therefore S_{\mathrm{四边形}PDOE}=3=|k|$.由于函数图象在第二象限,$\therefore k＜0$,$\therefore k=-3$.
(2)3 解析:由题意得,点E,M,D位于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上,则$S_{△ OCE}=\dfrac{|k|}{2}$,$S_{△ OAD}=\dfrac{|k|}{2}$.如图②,过点M作$MG⊥ y$轴于点G,作$MN⊥ x$轴于点N,则$S_{\mathrm{矩形}ONMG}=|k|$.又$\because M$为矩形ABCO对角线的交点,$\therefore S_{\mathrm{矩形}ABCO}=4S_{\mathrm{矩形}ONMG}=4|k|$.由于函数图象在第一象限,$\therefore k＞0$,$\therefore \dfrac{k}{2}+\dfrac{k}{2}+9=4k$,解得$k=3$.
解析
【分析】
(1) 解题时，先利用平行四边形的性质，将平行四边形的面积转化为矩形ABDO的面积；再结合反比例函数k的几何意义，通过平行四边形对角线交点P的性质，得到与反比例函数相关的矩形面积，最后根据反比例函数图象所在象限确定k的符号，从而求出k值。
(2) 本题需利用反比例函数k的几何意义，得到△OCE、△OAD的面积；再结合矩形的性质，得出矩形OABC的面积与k的关系；最后根据四边形ODBE的面积建立方程，求解k值，注意图象在第一象限，k为正数。
【解析】
(1) 如图①，过点P作$PE⊥ y$轴于点E。
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ $AB=CD$，$AB// CD$。
又
∵ $BD⊥ x$轴，
∴ $AB⊥ BD$，
∴ 四边形ABDO为矩形，
∴ $AB=DO$，因此 $S_{\mathrm{矩形}ABDO}=S_{□ ABCD}=6$。
∵ P为$□ ABCD$对角线交点，$PE⊥ y$轴，
∴ 四边形PDOE是矩形，且其面积为矩形ABDO面积的一半，即 $S_{\mathrm{四边形}PDOE}=3=|k|$。
由于反比例函数图象在第二象限，
∴ $k＜0$，故 $k=-3$。
(2) 如图②，由题意，点E、M、D在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上，根据反比例函数k的几何意义，得 $S_{△ OCE}=\dfrac{|k|}{2}$，$S_{△ OAD}=\dfrac{|k|}{2}$。
过点M作$MG⊥ y$轴于点G，作$MN⊥ x$轴于点N，则矩形ONMG的面积为$|k|$。
∵ M为矩形OABC对角线的交点，
∴ 矩形OABC的面积是矩形ONMG面积的4倍，即 $S_{\mathrm{矩形}ABCO}=4|k|$。
由于函数图象在第一象限，故 $k＞0$，根据面积关系：$S_{△ OCE}+S_{△ OAD}+S_{\mathrm{四边形}ODBE}=S_{\mathrm{矩形}ABCO}$，代入得 $\dfrac{k}{2}+\dfrac{k}{2}+9=4k$，化简得 $k +9=4k$，解得 $k=3$。
【答案】
(1)-3；(2)3
【知识点】
反比例函数k的几何意义、平行四边形的性质、矩形的性质
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的典型题，核心是利用反比例函数k的几何意义，结合平行四边形、矩形的性质，将图形面积转化为与k相关的表达式，通过面积关系建立方程求解，需注意反比例函数图象所在象限对k符号的影响，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.5
(1) 解题时，先利用平行四边形的性质，将平行四边形的面积转化为矩形ABDO的面积；再结合反比例函数k的几何意义，通过平行四边形对角线交点P的性质，得到与反比例函数相关的矩形面积，最后根据反比例函数图象所在象限确定k的符号，从而求出k值。
(2) 本题需利用反比例函数k的几何意义，得到△OCE、△OAD的面积；再结合矩形的性质，得出矩形OABC的面积与k的关系；最后根据四边形ODBE的面积建立方程，求解k值，注意图象在第一象限，k为正数。
【解析】
(1) 如图①，过点P作$PE⊥ y$轴于点E。
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ $AB=CD$，$AB// CD$。
又
∵ $BD⊥ x$轴，
∴ $AB⊥ BD$，
∴ 四边形ABDO为矩形，
∴ $AB=DO$，因此 $S_{\mathrm{矩形}ABDO}=S_{□ ABCD}=6$。
∵ P为$□ ABCD$对角线交点，$PE⊥ y$轴，
∴ 四边形PDOE是矩形，且其面积为矩形ABDO面积的一半，即 $S_{\mathrm{四边形}PDOE}=3=|k|$。
由于反比例函数图象在第二象限，
∴ $k＜0$，故 $k=-3$。
(2) 如图②，由题意，点E、M、D在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上，根据反比例函数k的几何意义，得 $S_{△ OCE}=\dfrac{|k|}{2}$，$S_{△ OAD}=\dfrac{|k|}{2}$。
过点M作$MG⊥ y$轴于点G，作$MN⊥ x$轴于点N，则矩形ONMG的面积为$|k|$。
∵ M为矩形OABC对角线的交点，
∴ 矩形OABC的面积是矩形ONMG面积的4倍，即 $S_{\mathrm{矩形}ABCO}=4|k|$。
由于函数图象在第一象限，故 $k＞0$，根据面积关系：$S_{△ OCE}+S_{△ OAD}+S_{\mathrm{四边形}ODBE}=S_{\mathrm{矩形}ABCO}$，代入得 $\dfrac{k}{2}+\dfrac{k}{2}+9=4k$，化简得 $k +9=4k$，解得 $k=3$。
【答案】
(1)-3；(2)3
【知识点】
反比例函数k的几何意义、平行四边形的性质、矩形的性质
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的典型题，核心是利用反比例函数k的几何意义，结合平行四边形、矩形的性质，将图形面积转化为与k相关的表达式，通过面积关系建立方程求解，需注意反比例函数图象所在象限对k符号的影响，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.5
9. 已知一次函数$y_{1}=kx+b$($k,b$为常数,$k≠0$)的图象与反比例函数$y_{2}=\dfrac{m}{x}$($m$是常数,$m≠0$)的图象交于$A(1,t+1),B(t-5,-1)$两点.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)若$y_{1}＞y_{2}$,请直接写出$x$的取值范围:
(3)若$(c,p),(n,q)$是反比例函数$y_{2}=\dfrac{m}{x}(m≠0)$图象上的两点,且满足$c=n+1$,则$\dfrac{q-p}{pq}$的值为
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)若$y_{1}＞y_{2}$,请直接写出$x$的取值范围:
-3＜x＜0或x＞1
;(3)若$(c,p),(n,q)$是反比例函数$y_{2}=\dfrac{m}{x}(m≠0)$图象上的两点,且满足$c=n+1$,则$\dfrac{q-p}{pq}$的值为
$\dfrac{1}{3}$
.答案
9. (1)$\because A(1,t+1),B(t-5,-1)$两点在反比例函数$y_2=\dfrac{m}{x}$的图象上,$\therefore t+1=-(t-5)=m$,解得$t=2$,$\therefore A(1,3),B(-3,-1)$,$m=3$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y_2=\dfrac{3}{x}$.$\because A(1,3),B(-3,-1)$在一次函数$y_1=kx+b$的图象上,$\therefore \begin{cases}k+b=3,\\-3k+b=-1,\end{cases}$$\therefore \begin{cases}k=1,\\b=2,\end{cases}$$\therefore$ 一次函数的表达式为$y_1=x+2$.
(2)$-3＜x＜0$或$x＞1$ 解析:$\because$ 一次函数与反比例函数的图象交于$A(1,3),B(-3,-1)$两点,由图象可得,若$y_1＞y_2$,$x$的取值范围为$-3＜x＜0$或$x＞1$.
(3)$\dfrac{1}{3}$ 解析:$\because$ 点$(c,p)$和点$(n,q)$在反比例函数$y_2=\dfrac{3}{x}$的图象上,$\therefore c=\dfrac{3}{p},n=\dfrac{3}{q}$.$\because c=n+1$,即$\dfrac{3}{p}=\dfrac{3}{q}+1$,$\therefore \dfrac{q-p}{pq}=\dfrac{1}{3}$.
(2)$-3＜x＜0$或$x＞1$ 解析:$\because$ 一次函数与反比例函数的图象交于$A(1,3),B(-3,-1)$两点,由图象可得,若$y_1＞y_2$,$x$的取值范围为$-3＜x＜0$或$x＞1$.
(3)$\dfrac{1}{3}$ 解析:$\because$ 点$(c,p)$和点$(n,q)$在反比例函数$y_2=\dfrac{3}{x}$的图象上,$\therefore c=\dfrac{3}{p},n=\dfrac{3}{q}$.$\because c=n+1$,即$\dfrac{3}{p}=\dfrac{3}{q}+1$,$\therefore \dfrac{q-p}{pq}=\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
本题分三小问，解题思路如下：
1. 第(1)问：利用反比例函数上任意一点的横纵坐标乘积等于比例系数$m$，结合$A$、$B$两点都在反比例函数上，建立关于$t$的方程，求出$t$的值，进而得到$A$、$B$坐标和$m$，确定反比例函数表达式；再将$A$、$B$坐标代入一次函数，解方程组求出$k$、$b$，得到一次函数表达式。
2. 第(2)问：根据一次函数与反比例函数的交点坐标，结合函数图像，找出一次函数图像在反比例函数图像上方时对应的$x$的取值范围。
3. 第(3)问：利用反比例函数表达式，将两点的纵坐标用横坐标表示，再结合已知条件$c=n+1$，对所求代数式进行变形化简，代入计算得到结果。
【解析】
(1) 因为点$A(1,t+1)$、$B(t-5,-1)$在反比例函数$y_2=\dfrac{m}{x}$的图象上，所以两点横纵坐标乘积相等，即：
$1×(t+1)=(t-5)×(-1)$
展开得：$t+1=-t+5$，移项合并得$2t=4$，解得$t=2$。
因此$A$点坐标为$(1,3)$，$B$点坐标为$(-3,-1)$，则$m=1×3=3$，故反比例函数表达式为$y_2=\dfrac{3}{x}$。
将$A(1,3)$、$B(-3,-1)$代入一次函数$y_1=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}k + b = 3 \\ -3k + b = -1\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得$4k=4$，解得$k=1$，代入$k+b=3$得$b=2$，故一次函数表达式为$y_1=x+2$。
(2) 一次函数与反比例函数交于$A(1,3)$、$B(-3,-1)$两点，观察图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，$x$的取值范围是$-3＜x＜0$或$x＞1$，即$y_1＞y_2$时$x$的取值范围为$-3＜x＜0$或$x＞1$。
(3) 因为点$(c,p)$、$(n,q)$在反比例函数$y_2=\dfrac{3}{x}$上，所以$p=\dfrac{3}{c}$，$q=\dfrac{3}{n}$。
已知$c=n+1$，将$p$、$q$代入$\dfrac{q-p}{pq}$：
$\begin{aligned}\dfrac{q-p}{pq}&=\dfrac{\dfrac{3}{n}-\dfrac{3}{c}}{\dfrac{3}{c}·\dfrac{3}{n}}\\&=\dfrac{\dfrac{3(c-n)}{cn}}{\dfrac{9}{cn}}\\&=\dfrac{3(c-n)}{9}\\&=\dfrac{c-n}{3}\end{aligned}$
因为$c=n+1$，所以$c-n=1$，代入得$\dfrac{1}{3}$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y_2=\dfrac{3}{x}$，一次函数表达式为$y_1=x+2$；
(2) $-3＜x＜0$或$x＞1$；
(3) $\dfrac{1}{3}$
【知识点】
反比例函数、一次函数、函数图像的应用
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，主要考查函数上点的坐标特征、函数表达式的求解、利用函数图像解不等式以及代数式的变形化简，需要学生熟练掌握函数的基本性质，细心计算，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题分三小问，解题思路如下：
1. 第(1)问：利用反比例函数上任意一点的横纵坐标乘积等于比例系数$m$，结合$A$、$B$两点都在反比例函数上，建立关于$t$的方程，求出$t$的值，进而得到$A$、$B$坐标和$m$，确定反比例函数表达式；再将$A$、$B$坐标代入一次函数，解方程组求出$k$、$b$，得到一次函数表达式。
2. 第(2)问：根据一次函数与反比例函数的交点坐标，结合函数图像，找出一次函数图像在反比例函数图像上方时对应的$x$的取值范围。
3. 第(3)问：利用反比例函数表达式，将两点的纵坐标用横坐标表示，再结合已知条件$c=n+1$，对所求代数式进行变形化简，代入计算得到结果。
【解析】
(1) 因为点$A(1,t+1)$、$B(t-5,-1)$在反比例函数$y_2=\dfrac{m}{x}$的图象上，所以两点横纵坐标乘积相等，即：
$1×(t+1)=(t-5)×(-1)$
展开得：$t+1=-t+5$，移项合并得$2t=4$，解得$t=2$。
因此$A$点坐标为$(1,3)$，$B$点坐标为$(-3,-1)$，则$m=1×3=3$，故反比例函数表达式为$y_2=\dfrac{3}{x}$。
将$A(1,3)$、$B(-3,-1)$代入一次函数$y_1=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}k + b = 3 \\ -3k + b = -1\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得$4k=4$，解得$k=1$，代入$k+b=3$得$b=2$，故一次函数表达式为$y_1=x+2$。
(2) 一次函数与反比例函数交于$A(1,3)$、$B(-3,-1)$两点，观察图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，$x$的取值范围是$-3＜x＜0$或$x＞1$，即$y_1＞y_2$时$x$的取值范围为$-3＜x＜0$或$x＞1$。
(3) 因为点$(c,p)$、$(n,q)$在反比例函数$y_2=\dfrac{3}{x}$上，所以$p=\dfrac{3}{c}$，$q=\dfrac{3}{n}$。
已知$c=n+1$，将$p$、$q$代入$\dfrac{q-p}{pq}$：
$\begin{aligned}\dfrac{q-p}{pq}&=\dfrac{\dfrac{3}{n}-\dfrac{3}{c}}{\dfrac{3}{c}·\dfrac{3}{n}}\\&=\dfrac{\dfrac{3(c-n)}{cn}}{\dfrac{9}{cn}}\\&=\dfrac{3(c-n)}{9}\\&=\dfrac{c-n}{3}\end{aligned}$
因为$c=n+1$，所以$c-n=1$，代入得$\dfrac{1}{3}$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y_2=\dfrac{3}{x}$，一次函数表达式为$y_1=x+2$；
(2) $-3＜x＜0$或$x＞1$；
(3) $\dfrac{1}{3}$
【知识点】
反比例函数、一次函数、函数图像的应用
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，主要考查函数上点的坐标特征、函数表达式的求解、利用函数图像解不等式以及代数式的变形化简，需要学生熟练掌握函数的基本性质，细心计算，难度适中。
【难度系数】
0.6
10. (泰州中考) 在平面直角坐标系 $xOy$ 中,点$A(m,0),B(m-a,0)(a＞m＞0)$ 的位置和函数$y_{1}=\dfrac{m}{x}(x＞0)$、$y_{2}=\dfrac{m-a}{x}(x＜0)$ 的图象如图所示. 以 $AB$ 为边在 $x$ 轴上方作正方形 $ABCD$,$AD$ 边与函数 $y_{1}$ 的图象相交于点 $E$,$CD$ 边与函数 $y_1,y_2$ 的图象分别相交于点 $G,H$,一次函数 $y_3$ 的图象经过点 $E,G$,与 $y$ 轴相交于点$P$,连接 $PH$.
(1) 若 $m=2,a=4$, 求函数 $y_3$ 的表达式及$△ PGH$ 的面积.
(2) 当 $a,m$ 在满足 $a＞m＞0$ 的条件下任意变化时, $△ PGH$ 的面积是否变化? 请说明理由.
(3) 试判断直线 $PH$ 与 $BC$ 边的交点是否在函数 $y_2$ 的图象上,并说明理由.
(1) 若 $m=2,a=4$, 求函数 $y_3$ 的表达式及$△ PGH$ 的面积.
(2) 当 $a,m$ 在满足 $a＞m＞0$ 的条件下任意变化时, $△ PGH$ 的面积是否变化? 请说明理由.
(3) 试判断直线 $PH$ 与 $BC$ 边的交点是否在函数 $y_2$ 的图象上,并说明理由.
答案
10. (1)$\because m=2,a=4$,$\therefore A(2,0),B(-2,0)$,$y_1=\dfrac{2}{x}$,$y_2=\dfrac{-2}{x}$,$\therefore AB=4$,当$x=2$时,$y_1=\dfrac{2}{2}=1$,则$E(2,1)$;当$y_1=4$时,$4=\dfrac{2}{x}$,解得$x=\dfrac{1}{2}$,则$G(\dfrac{1}{2},4)$;当$y_2=4$时,$4=\dfrac{-2}{x}$,解得$x=-\dfrac{1}{2}$,则$H(-\dfrac{1}{2},4)$.设一次函数$y_3$的表达式为$y_3=kx+b$,将$E(2,1)$,$G(\dfrac{1}{2},4)$代入$y_3=kx+b$,得$\begin{cases}2k+b=1,\\\dfrac{1}{2}k+b=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=5,\end{cases}$$\therefore y_3=-2x+5$,当$x=0$时,$y_3=5$,则$P(0,5)$,$\therefore S_{△ PGH}=\dfrac{1}{2}×[\dfrac{1}{2}-(-\dfrac{1}{2})]×(5-4)=\dfrac{1}{2}$.综上,函数$y_3$的表达式为$y_3=-2x+5$,$△ PGH$的面积为$\dfrac{1}{2}$.
(2)$△ PGH$的面积不变.理由:$\because A(m,0),B(m-a,0)$,$y_1=\dfrac{m}{x}$,$y_2=\dfrac{m-a}{x}$,$\therefore AB=a$,当$x=m$时,$y_1=\dfrac{m}{m}=1$,则$E(m,1)$;当$y_1=a$时,$a=\dfrac{m}{x}$,解得$x=\dfrac{m}{a}$,则$G(\dfrac{m}{a},a)$;当$y_2=a$时,$a=\dfrac{m-a}{x}$,解得$x=\dfrac{m-a}{a}$,则$H(\dfrac{m-a}{a},a)$.设一次函数$y_3$的表达式为$y_3=k_1x+b_1$,将$E(m,1)$,$G(\dfrac{m}{a},a)$代入$y_3=k_1x+b_1$,得$\begin{cases}mk_1+b_1=1,\\\dfrac{m}{a}k_1+b_1=a,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=-\dfrac{a}{m},\\b_1=1+a,\end{cases}$$\therefore y_3=-\dfrac{a}{m}x+1+a$,当$x=0$时,$y_3=1+a$,则$P(0,1+a)$,$\therefore S_{△ PGH}=\dfrac{1}{2}×(\dfrac{m}{a}-\dfrac{m-a}{a})×(1+a-a)=\dfrac{1}{2}$,$\therefore △ PGH$的面积不变.
(3)直线$PH$与$BC$边的交点在函数$y_2$的图象上.理由:设直线$PH$的表达式为$y=k_2x+b_2$,将$P(0,1+a)$,$H(\dfrac{m-a}{a},a)$代入$y=k_2x+b_2$,得$\begin{cases}b_2=1+a,\\\dfrac{m-a}{a}k_2+b_2=a,\end{cases}$解得$\begin{cases}b_2=1+a,\\k_2=\dfrac{a}{a-m},\end{cases}$$\therefore y=\dfrac{a}{a-m}x+1+a$,当$x=m-a$时,$y=\dfrac{a}{a-m}·(m-a)+1+a=1$,$\therefore$ 直线$PH$与$BC$边的交点坐标为$(m-a,1)$,当$x=m-a$时,$y_2=\dfrac{m-a}{m-a}=1$,$\therefore$ 直线$PH$与$BC$边的交点在函数$y_2$的图象上.
(2)$△ PGH$的面积不变.理由:$\because A(m,0),B(m-a,0)$,$y_1=\dfrac{m}{x}$,$y_2=\dfrac{m-a}{x}$,$\therefore AB=a$,当$x=m$时,$y_1=\dfrac{m}{m}=1$,则$E(m,1)$;当$y_1=a$时,$a=\dfrac{m}{x}$,解得$x=\dfrac{m}{a}$,则$G(\dfrac{m}{a},a)$;当$y_2=a$时,$a=\dfrac{m-a}{x}$,解得$x=\dfrac{m-a}{a}$,则$H(\dfrac{m-a}{a},a)$.设一次函数$y_3$的表达式为$y_3=k_1x+b_1$,将$E(m,1)$,$G(\dfrac{m}{a},a)$代入$y_3=k_1x+b_1$,得$\begin{cases}mk_1+b_1=1,\\\dfrac{m}{a}k_1+b_1=a,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=-\dfrac{a}{m},\\b_1=1+a,\end{cases}$$\therefore y_3=-\dfrac{a}{m}x+1+a$,当$x=0$时,$y_3=1+a$,则$P(0,1+a)$,$\therefore S_{△ PGH}=\dfrac{1}{2}×(\dfrac{m}{a}-\dfrac{m-a}{a})×(1+a-a)=\dfrac{1}{2}$,$\therefore △ PGH$的面积不变.
(3)直线$PH$与$BC$边的交点在函数$y_2$的图象上.理由:设直线$PH$的表达式为$y=k_2x+b_2$,将$P(0,1+a)$,$H(\dfrac{m-a}{a},a)$代入$y=k_2x+b_2$,得$\begin{cases}b_2=1+a,\\\dfrac{m-a}{a}k_2+b_2=a,\end{cases}$解得$\begin{cases}b_2=1+a,\\k_2=\dfrac{a}{a-m},\end{cases}$$\therefore y=\dfrac{a}{a-m}x+1+a$,当$x=m-a$时,$y=\dfrac{a}{a-m}·(m-a)+1+a=1$,$\therefore$ 直线$PH$与$BC$边的交点坐标为$(m-a,1)$,当$x=m-a$时,$y_2=\dfrac{m-a}{m-a}=1$,$\therefore$ 直线$PH$与$BC$边的交点在函数$y_2$的图象上.
解析
【分析】
本题是反比例函数与一次函数、正方形结合的综合题，解题思路如下：
(1) 先代入给定的m、a值确定A、B坐标，再根据反比例函数解析式求出E、G、H的坐标，用待定系数法求一次函数y₃的表达式，进而得到P点坐标，最后利用三角形面积公式计算△PGH的面积；
(2) 用参数m、a表示各点坐标，通过待定系数法求出y₃的表达式，得到P点坐标，再计算△PGH的面积，判断其是否随m、a变化；
(3) 求出直线PH的表达式，找到其与BC边的交点坐标，验证该点是否满足y₂的解析式。
【解析】
(1) 已知m=2，a=4，因此A(2,0)，B(-2,0)，反比例函数y₁=2/x，y₂=-2/x。
求E点：AD边为x=2，代入y₁得y=2/2=1，故E(2,1)；
求G点：CD边为y=4，代入y₁得4=2/x，解得x=1/2，故G(1/2,4)；
求H点：CD边为y=4，代入y₂得4=-2/x，解得x=-1/2，故H(-1/2,4)；
设一次函数y₃=kx+b，将E(2,1)、G(1/2,4)代入得：
$\begin{cases}2k+b=1\\\frac{1}{2}k+b=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-2\\b=5\end{cases}$，因此y₃=-2x+5；
当x=0时，y=5，故P(0,5)；
△PGH的底GH长度为$\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})=1$，高为P到GH的垂直距离5-4=1，面积为$\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$。
(2) △PGH的面积不变，理由：
A(m,0)，B(m-a,0)，AB=a，正方形ABCD边长为a，故CD边y=a，AD边x=m；
E点：x=m，代入y₁得y=m/m=1，故E(m,1)；
G点：y=a，代入y₁得a=m/x，解得x=m/a，故G(m/a,a)；
H点：y=a，代入y₂得a=(m-a)/x，解得x=(m-a)/a，故H((m-a)/a,a)；
设y₃=k₁x+b₁，代入E、G得：
$\begin{cases}mk₁+b₁=1\\\frac{m}{a}k₁+b₁=a\end{cases}$，解得$\begin{cases}k₁=-\frac{a}{m}\\b₁=1+a\end{cases}$，因此y₃=-\frac{a}{m}x+1+a；
P点：x=0时，y=1+a，故P(0,1+a)；
GH长度为$\frac{m}{a}-\frac{m-a}{a}=1$，高为(1+a)-a=1，面积为$\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，与m、a无关，故面积不变。
(3) 直线PH与BC边的交点在y₂的图象上，理由：
设直线PH的解析式为y=k₂x+b₂，代入P(0,1+a)、H((m-a)/a,a)得：
$\begin{cases}b₂=1+a\\\frac{m-a}{a}k₂+b₂=a\end{cases}$，解得$\begin{cases}b₂=1+a\\k₂=\frac{a}{a-m}\end{cases}$，故PH解析式为$y=\frac{a}{a-m}x+1+a$；
BC边为x=m-a，代入得$y=\frac{a}{a-m}·(m-a)+1+a=1$，即交点坐标为(m-a,1)；
代入y₂=(m-a)/x，当x=m-a时，y=(m-a)/(m-a)=1，满足y₂的解析式，故该点在y₂的图象上。
【答案】
(1) y₃=-2x+5，△PGH的面积为$\frac{1}{2}$；
(2) △PGH的面积不变；
(3) 直线PH与BC边的交点在函数y₂的图象上。
【知识点】
反比例函数、一次函数、正方形性质
【点评】
本题是函数与几何结合的综合题，需运用坐标法求解各点坐标，结合待定系数法求函数解析式，通过参数分析判断面积变化，考查学生的综合应用能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题是反比例函数与一次函数、正方形结合的综合题，解题思路如下：
(1) 先代入给定的m、a值确定A、B坐标，再根据反比例函数解析式求出E、G、H的坐标，用待定系数法求一次函数y₃的表达式，进而得到P点坐标，最后利用三角形面积公式计算△PGH的面积；
(2) 用参数m、a表示各点坐标，通过待定系数法求出y₃的表达式，得到P点坐标，再计算△PGH的面积，判断其是否随m、a变化；
(3) 求出直线PH的表达式，找到其与BC边的交点坐标，验证该点是否满足y₂的解析式。
【解析】
(1) 已知m=2，a=4，因此A(2,0)，B(-2,0)，反比例函数y₁=2/x，y₂=-2/x。
求E点：AD边为x=2，代入y₁得y=2/2=1，故E(2,1)；
求G点：CD边为y=4，代入y₁得4=2/x，解得x=1/2，故G(1/2,4)；
求H点：CD边为y=4，代入y₂得4=-2/x，解得x=-1/2，故H(-1/2,4)；
设一次函数y₃=kx+b，将E(2,1)、G(1/2,4)代入得：
$\begin{cases}2k+b=1\\\frac{1}{2}k+b=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-2\\b=5\end{cases}$，因此y₃=-2x+5；
当x=0时，y=5，故P(0,5)；
△PGH的底GH长度为$\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})=1$，高为P到GH的垂直距离5-4=1，面积为$\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$。
(2) △PGH的面积不变，理由：
A(m,0)，B(m-a,0)，AB=a，正方形ABCD边长为a，故CD边y=a，AD边x=m；
E点：x=m，代入y₁得y=m/m=1，故E(m,1)；
G点：y=a，代入y₁得a=m/x，解得x=m/a，故G(m/a,a)；
H点：y=a，代入y₂得a=(m-a)/x，解得x=(m-a)/a，故H((m-a)/a,a)；
设y₃=k₁x+b₁，代入E、G得：
$\begin{cases}mk₁+b₁=1\\\frac{m}{a}k₁+b₁=a\end{cases}$，解得$\begin{cases}k₁=-\frac{a}{m}\\b₁=1+a\end{cases}$，因此y₃=-\frac{a}{m}x+1+a；
P点：x=0时，y=1+a，故P(0,1+a)；
GH长度为$\frac{m}{a}-\frac{m-a}{a}=1$，高为(1+a)-a=1，面积为$\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，与m、a无关，故面积不变。
(3) 直线PH与BC边的交点在y₂的图象上，理由：
设直线PH的解析式为y=k₂x+b₂，代入P(0,1+a)、H((m-a)/a,a)得：
$\begin{cases}b₂=1+a\\\frac{m-a}{a}k₂+b₂=a\end{cases}$，解得$\begin{cases}b₂=1+a\\k₂=\frac{a}{a-m}\end{cases}$，故PH解析式为$y=\frac{a}{a-m}x+1+a$；
BC边为x=m-a，代入得$y=\frac{a}{a-m}·(m-a)+1+a=1$，即交点坐标为(m-a,1)；
代入y₂=(m-a)/x，当x=m-a时，y=(m-a)/(m-a)=1，满足y₂的解析式，故该点在y₂的图象上。
【答案】
(1) y₃=-2x+5，△PGH的面积为$\frac{1}{2}$；
(2) △PGH的面积不变；
(3) 直线PH与BC边的交点在函数y₂的图象上。
【知识点】
反比例函数、一次函数、正方形性质
【点评】
本题是函数与几何结合的综合题，需运用坐标法求解各点坐标，结合待定系数法求函数解析式，通过参数分析判断面积变化，考查学生的综合应用能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
