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24.如图所示的折线ABC表示从甲地向乙地打长途电话所需的电话费y(单位：元)与通话时间t(单位：min)之间的函数关系的图象.
(1)写出y与t之间的函数解析式.
(2)通话2 min应付通话费多少元？通话7 min呢？
(1)写出y与t之间的函数解析式.
(2)通话2 min应付通话费多少元？通话7 min呢？
答案
24.解:(1)当$0＜ t≤3$时,$y=2.4$;
当$t＞3$时,$y=t-0.6$.
(2)通话2 min应付2.4元,通话7 min应付6.4元.
当$t＞3$时,$y=t-0.6$.
(2)通话2 min应付2.4元,通话7 min应付6.4元.
解析
【分析】
这是一道分段函数的实际应用题，解题思路如下：1. 先观察图像，电话费随通话时间的变化分两段：①通话时间不超过3min时，话费固定不变；②通话时间超过3min时，话费随时间增加呈线性增长，属于一次函数。2. 第一段可直接根据图像确定固定函数值；第二段用待定系数法，代入已知的点B(3,2.4)、C(5,4.4)即可求出一次函数解析式，注意标注清楚各段自变量的取值范围。3. 求解第二问时，先判断给定的通话时间属于哪个分段区间，再代入对应解析式计算话费即可。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当$0 ＜ t ≤ 3$时，由图象可知话费固定为2.4元，因此$y = 2.4$；
② 当$t ＞ 3$时，设函数解析式为$y = kt + b$（$k ≠ 0$），
将点$B(3,2.4)$、$C(5,4.4)$代入解析式得方程组：
$\begin{cases}3k + b = 2.4 \\5k + b = 4.4 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$2k = 2$，解得$k = 1$，
把$k=1$代入$3k + b = 2.4$，得$3 + b = 2.4$，解得$b = -0.6$，
因此此时函数解析式为$y = t - 0.6$。
综上，y与t的函数解析式为：
$\begin{cases} y=2.4 & (0 ＜ t ≤ 3) \\ y = t - 0.6 & (t ＞ 3) \end{cases}$
(2) ① 通话2min时，$t=2$满足$0 ＜ t ≤ 3$，因此应付话费$y = 2.4$元；
② 通话7min时，$t=7$满足$t ＞ 3$，代入$y = t - 0.6$得：
$y = 7 - 0.6 = 6.4$元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\begin{cases}2.4&(0＜ t≤3)\\t-0.6&(t＞3)\end{cases}}$
(2) 通话2 min应付通话费2.4元，通话7 min应付通话费6.4元。
【知识点】
分段函数；待定系数法求一次函数解析式；一次函数实际应用
【点评】
本题结合长途电话收费的生活场景，考查分段函数的分析与求解能力，解题核心是准确识别不同自变量区间对应的函数类型，正确计算解析式，代入求值时注意匹配对应区间的解析式，避免因忽略取值范围出错。
【难度系数】
0.7
这是一道分段函数的实际应用题，解题思路如下：1. 先观察图像，电话费随通话时间的变化分两段：①通话时间不超过3min时，话费固定不变；②通话时间超过3min时，话费随时间增加呈线性增长，属于一次函数。2. 第一段可直接根据图像确定固定函数值；第二段用待定系数法，代入已知的点B(3,2.4)、C(5,4.4)即可求出一次函数解析式，注意标注清楚各段自变量的取值范围。3. 求解第二问时，先判断给定的通话时间属于哪个分段区间，再代入对应解析式计算话费即可。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当$0 ＜ t ≤ 3$时，由图象可知话费固定为2.4元，因此$y = 2.4$；
② 当$t ＞ 3$时，设函数解析式为$y = kt + b$（$k ≠ 0$），
将点$B(3,2.4)$、$C(5,4.4)$代入解析式得方程组：
$\begin{cases}3k + b = 2.4 \\5k + b = 4.4 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$2k = 2$，解得$k = 1$，
把$k=1$代入$3k + b = 2.4$，得$3 + b = 2.4$，解得$b = -0.6$，
因此此时函数解析式为$y = t - 0.6$。
综上，y与t的函数解析式为：
$\begin{cases} y=2.4 & (0 ＜ t ≤ 3) \\ y = t - 0.6 & (t ＞ 3) \end{cases}$
(2) ① 通话2min时，$t=2$满足$0 ＜ t ≤ 3$，因此应付话费$y = 2.4$元；
② 通话7min时，$t=7$满足$t ＞ 3$，代入$y = t - 0.6$得：
$y = 7 - 0.6 = 6.4$元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\begin{cases}2.4&(0＜ t≤3)\\t-0.6&(t＞3)\end{cases}}$
(2) 通话2 min应付通话费2.4元，通话7 min应付通话费6.4元。
【知识点】
分段函数；待定系数法求一次函数解析式；一次函数实际应用
【点评】
本题结合长途电话收费的生活场景，考查分段函数的分析与求解能力，解题核心是准确识别不同自变量区间对应的函数类型，正确计算解析式，代入求值时注意匹配对应区间的解析式，避免因忽略取值范围出错。
【难度系数】
0.7
25.某公司在甲、乙两仓库分别存有相同型号的机器17台和15台，现要运往A地18台，B地14台，从甲、乙两仓库运往A地和B地的费用如下表所示.
(1)如果从甲仓库运往A地x台，求完成以上调运所需总费用y(单位：元)与x(单位：台)的函数解析式；
(2)若该公司设计了一种最佳调运方案，使总的费用最少，则该公司完成以上调运方案至少需要多少费用？
(1)如果从甲仓库运往A地x台，求完成以上调运所需总费用y(单位：元)与x(单位：台)的函数解析式；
(2)若该公司设计了一种最佳调运方案，使总的费用最少，则该公司完成以上调运方案至少需要多少费用？
答案
25.解:(1)$y=500x+13400(3≤ x≤17)$.
(2)从甲仓库运往A地3台,运往B地14台,从乙仓库运往A地15台,运往B地0台时,总的费用最少,至少需要14900元.
(2)从甲仓库运往A地3台,运往B地14台,从乙仓库运往A地15台,运往B地0台时,总的费用最少,至少需要14900元.
解析
【分析】
(1) 要求总费用的函数解析式，首先需明确四条调运路线各自的运输数量：已知从甲仓库运往A地x台，结合甲仓库总存量17台，可得甲运往B地的数量为(17-x)台；结合A地总需求18台，可得乙运往A地的数量为(18-x)台；结合乙仓库总存量15台，可得乙运往B地的数量为15-(18-x)=x-3台。再结合各路线的运费单价，将四条路线的费用相加即可得到总费用y的表达式，同时要注意所有运输数量不能为负数，据此求出x的取值范围。
(2) 第一问得到的是一次函数，根据一次函数的增减性，结合x的取值范围，就能找到使总费用最小的x值，代入解析式即可求出最低费用，同时得到对应的调运方案。
【解析】
(1) 由题意可知：
甲仓库运往A地x台，则甲仓库运往B地$(17-x)$台，
乙仓库运往A地$(18-x)$台，乙仓库运往B地$15-(18-x)=x-3$台。
根据运输数量非负，可得不等式组：
$\begin{cases}x≥0\\17-x≥0\\18-x≥0\\x-3≥0\end{cases}$，解得$3≤ x≤17$。
总费用$y$为四条路线运费之和：
$\begin{aligned}y&=600x + 400(17-x) + 500(18-x) + 800(x-3)\\&=600x + 6800 - 400x + 9000 - 500x + 800x - 2400\\&=500x + 13400\end{aligned}$
因此函数解析式为$y=500x+13400\ (3≤ x≤17)$。
(2) 对于一次函数$y=500x+13400$，其中$k=500＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大。
要使总费用最少，需取$x$的最小值$x=3$，
代入解析式得最低费用：$y=500×3 + 13400=14900$（元）。
对应的调运方案为：从甲仓库运往A地3台，运往B地$17-3=14$台；从乙仓库运往A地$18-3=15$台，运往B地$3-3=0$台。
【答案】
(1) $y=500x+13400(3≤ x≤17)$；
(2) 至少需要14900元，对应调运方案为从甲仓库运往A地3台、运往B地14台，从乙仓库运往A地15台、运往B地0台。
【知识点】
一次函数应用，一次函数性质，最优方案求解
【点评】
本题属于调运类的函数应用问题，解题关键是理清各调运路线的数量关系，正确列出函数解析式并确定自变量的取值范围，再结合一次函数的增减性求解最值，计算时注意不要漏算任意一条路线的运费。
【难度系数】
0.7
(1) 要求总费用的函数解析式，首先需明确四条调运路线各自的运输数量：已知从甲仓库运往A地x台，结合甲仓库总存量17台，可得甲运往B地的数量为(17-x)台；结合A地总需求18台，可得乙运往A地的数量为(18-x)台；结合乙仓库总存量15台，可得乙运往B地的数量为15-(18-x)=x-3台。再结合各路线的运费单价，将四条路线的费用相加即可得到总费用y的表达式，同时要注意所有运输数量不能为负数，据此求出x的取值范围。
(2) 第一问得到的是一次函数，根据一次函数的增减性，结合x的取值范围，就能找到使总费用最小的x值，代入解析式即可求出最低费用，同时得到对应的调运方案。
【解析】
(1) 由题意可知：
甲仓库运往A地x台，则甲仓库运往B地$(17-x)$台，
乙仓库运往A地$(18-x)$台，乙仓库运往B地$15-(18-x)=x-3$台。
根据运输数量非负，可得不等式组：
$\begin{cases}x≥0\\17-x≥0\\18-x≥0\\x-3≥0\end{cases}$，解得$3≤ x≤17$。
总费用$y$为四条路线运费之和：
$\begin{aligned}y&=600x + 400(17-x) + 500(18-x) + 800(x-3)\\&=600x + 6800 - 400x + 9000 - 500x + 800x - 2400\\&=500x + 13400\end{aligned}$
因此函数解析式为$y=500x+13400\ (3≤ x≤17)$。
(2) 对于一次函数$y=500x+13400$，其中$k=500＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大。
要使总费用最少，需取$x$的最小值$x=3$，
代入解析式得最低费用：$y=500×3 + 13400=14900$（元）。
对应的调运方案为：从甲仓库运往A地3台，运往B地$17-3=14$台；从乙仓库运往A地$18-3=15$台，运往B地$3-3=0$台。
【答案】
(1) $y=500x+13400(3≤ x≤17)$；
(2) 至少需要14900元，对应调运方案为从甲仓库运往A地3台、运往B地14台，从乙仓库运往A地15台、运往B地0台。
【知识点】
一次函数应用，一次函数性质，最优方案求解
【点评】
本题属于调运类的函数应用问题，解题关键是理清各调运路线的数量关系，正确列出函数解析式并确定自变量的取值范围，再结合一次函数的增减性求解最值，计算时注意不要漏算任意一条路线的运费。
【难度系数】
0.7
