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26.如图,直线$y=x+3$与x轴交于点A,与y轴交于点B.
(1)求A,B两点的坐标.
(2)点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线AO方向匀速运动,连接PB,设点P的运动时间为t s,$△ OPB$的面积为S,求S与t的函数解析式.
(3)在(2)的条件下,t为何值时,$△ OPB$的面积等于$△ APB$的面积的$\frac{1}{2}$?请直接写出此时直线PB的解析式.
备用图
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(1)求A,B两点的坐标.
(2)点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线AO方向匀速运动,连接PB,设点P的运动时间为t s,$△ OPB$的面积为S,求S与t的函数解析式.
(3)在(2)的条件下,t为何值时,$△ OPB$的面积等于$△ APB$的面积的$\frac{1}{2}$?请直接写出此时直线PB的解析式.
备用图
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答案
26.解:(1)$A(-3,0),B(0,3)$.
(2)$S=\frac{9}{2}-\frac{3}{2}t(0≤ t＜3)$,
$S=\frac{3}{2}t-\frac{9}{2}(t＞3)$.
(3)$t=2$或6.当$t=2$时,直线PB的解析式为$y=3x+3$;当$t=6$时,直线PB的解析式为$y=-x+3$.
(2)$S=\frac{9}{2}-\frac{3}{2}t(0≤ t＜3)$,
$S=\frac{3}{2}t-\frac{9}{2}(t＞3)$.
(3)$t=2$或6.当$t=2$时,直线PB的解析式为$y=3x+3$;当$t=6$时,直线PB的解析式为$y=-x+3$.
解析
【分析】
(1) 求直线与坐标轴的交点时，利用x轴上点的纵坐标为0、y轴上点的横坐标为0的特征，分别代入直线解析式就能求出A、B两点的坐标。
(2) 点P沿射线AO运动，存在两种位置情况：①点P在线段AO上（还未到达O点）；②点P运动到O点右侧的x轴正半轴上。两种情况分别表示出OP的长度，再结合三角形面积公式（$S=\frac{1}{2}×底×高$，高为OB的固定长度），即可得到S与t的分段函数解析式。
(3) 先求出$△ APB$的面积表达式，根据题目给出的面积关系列方程，分两种情况解方程得到t的值，再结合此时P点和B点的坐标，用待定系数法即可求出对应直线PB的解析式。
【解析】
(1) 对于直线$y=x+3$：
令$y=0$，代入得$0=x+3$，解得$x=-3$，因此A点坐标为$(-3,0)$；
令$x=0$，代入得$y=0+3=3$，因此B点坐标为$(0,3)$。
(2) 由题意得点P的运动路程$AP=t$，结合(1)的结论可知$OA=3$，$OB=3$，且$∠ BOP=90°$，点P坐标为$(-3+t,0)$，分情况讨论：
① 当$0≤ t＜3$时，点P在线段AO上，$OP=OA-AP=3-t$，
则$△ OPB$的面积$S=\frac{1}{2}× OP× OB=\frac{1}{2}×(3-t)×3=\frac{9}{2}-\frac{3}{2}t$；
② 当$t＞3$时，点P在x轴正半轴上，$OP=AP-OA=t-3$，
则$△ OPB$的面积$S=\frac{1}{2}× OP× OB=\frac{1}{2}×(t-3)×3=\frac{3}{2}t-\frac{9}{2}$。
综上可得S与t的函数解析式。
(3) $△ APB$的底为$AP=t$，高为B到x轴的距离即$OB=3$，因此$S_{△ APB}=\frac{1}{2}× t×3=\frac{3}{2}t$。
根据题意$S_{△ OPB}=\frac{1}{2}S_{△ APB}$，分情况解方程：
① 当$0≤ t＜3$时，$\frac{9}{2}-\frac{3}{2}t=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}t$，解得$t=2$，此时P点坐标为$(-1,0)$，
设直线PB解析式为$y=kx+b$，代入$P(-1,0)$、$B(0,3)$，解得$k=3,b=3$，即解析式为$y=3x+3$；
② 当$t＞3$时，$\frac{3}{2}t-\frac{9}{2}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}t$，解得$t=6$，此时P点坐标为$(3,0)$，
设直线PB解析式为$y=kx+b$，代入$P(3,0)$、$B(0,3)$，解得$k=-1,b=3$，即解析式为$y=-x+3$。
【答案】
(1) $A(-3,0),B(0,3)$
(2) $S=\begin{cases}\frac{9}{2}-\frac{3}{2}t&(0≤ t＜3)\\\frac{3}{2}t-\frac{9}{2}&(t＞3)\end{cases}$
(3) $t=2$或$6$；当$t=2$时，直线PB解析式为$y=3x+3$；当$t=6$时，直线PB解析式为$y=-x+3$
【知识点】
一次函数交点求解；分段函数；待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数与动点几何的综合题，解题的核心是根据动点的位置进行分类讨论，避免出现漏解的情况，同时需要熟练掌握一次函数的相关性质和三角形面积的计算方法。
【难度系数】
0.6
(1) 求直线与坐标轴的交点时，利用x轴上点的纵坐标为0、y轴上点的横坐标为0的特征，分别代入直线解析式就能求出A、B两点的坐标。
(2) 点P沿射线AO运动，存在两种位置情况：①点P在线段AO上（还未到达O点）；②点P运动到O点右侧的x轴正半轴上。两种情况分别表示出OP的长度，再结合三角形面积公式（$S=\frac{1}{2}×底×高$，高为OB的固定长度），即可得到S与t的分段函数解析式。
(3) 先求出$△ APB$的面积表达式，根据题目给出的面积关系列方程，分两种情况解方程得到t的值，再结合此时P点和B点的坐标，用待定系数法即可求出对应直线PB的解析式。
【解析】
(1) 对于直线$y=x+3$：
令$y=0$，代入得$0=x+3$，解得$x=-3$，因此A点坐标为$(-3,0)$；
令$x=0$，代入得$y=0+3=3$，因此B点坐标为$(0,3)$。
(2) 由题意得点P的运动路程$AP=t$，结合(1)的结论可知$OA=3$，$OB=3$，且$∠ BOP=90°$，点P坐标为$(-3+t,0)$，分情况讨论：
① 当$0≤ t＜3$时，点P在线段AO上，$OP=OA-AP=3-t$，
则$△ OPB$的面积$S=\frac{1}{2}× OP× OB=\frac{1}{2}×(3-t)×3=\frac{9}{2}-\frac{3}{2}t$；
② 当$t＞3$时，点P在x轴正半轴上，$OP=AP-OA=t-3$，
则$△ OPB$的面积$S=\frac{1}{2}× OP× OB=\frac{1}{2}×(t-3)×3=\frac{3}{2}t-\frac{9}{2}$。
综上可得S与t的函数解析式。
(3) $△ APB$的底为$AP=t$，高为B到x轴的距离即$OB=3$，因此$S_{△ APB}=\frac{1}{2}× t×3=\frac{3}{2}t$。
根据题意$S_{△ OPB}=\frac{1}{2}S_{△ APB}$，分情况解方程：
① 当$0≤ t＜3$时，$\frac{9}{2}-\frac{3}{2}t=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}t$，解得$t=2$，此时P点坐标为$(-1,0)$，
设直线PB解析式为$y=kx+b$，代入$P(-1,0)$、$B(0,3)$，解得$k=3,b=3$，即解析式为$y=3x+3$；
② 当$t＞3$时，$\frac{3}{2}t-\frac{9}{2}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}t$，解得$t=6$，此时P点坐标为$(3,0)$，
设直线PB解析式为$y=kx+b$，代入$P(3,0)$、$B(0,3)$，解得$k=-1,b=3$，即解析式为$y=-x+3$。
【答案】
(1) $A(-3,0),B(0,3)$
(2) $S=\begin{cases}\frac{9}{2}-\frac{3}{2}t&(0≤ t＜3)\\\frac{3}{2}t-\frac{9}{2}&(t＞3)\end{cases}$
(3) $t=2$或$6$；当$t=2$时，直线PB解析式为$y=3x+3$；当$t=6$时，直线PB解析式为$y=-x+3$
【知识点】
一次函数交点求解；分段函数；待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数与动点几何的综合题，解题的核心是根据动点的位置进行分类讨论，避免出现漏解的情况，同时需要熟练掌握一次函数的相关性质和三角形面积的计算方法。
【难度系数】
0.6
