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1. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC, BD$ 相交于点 $O, E$ 是 $BC$ 的中点，$AC=4$。若 $□ ABCD$ 的周长为 12，则 $△ COE$ 的周长为 （
A.4
B.5
C.6
D.8
（第1题图）
（第2题图）
（第3题图）
（第4题图）
B
）A.4
B.5
C.6
D.8
（第1题图）
（第2题图）
（第3题图）
（第4题图）
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先从平行四边形的性质入手：首先平行四边形对角线互相平分，可确定O是AC中点；同时平行四边形对边相等，结合周长为12可推出邻边AB与BC的和；再结合E是BC中点，可判定OE是△ABC的中位线，得到OE、CE分别与AB、BC的数量关系，OC为AC的一半，最后将△COE的三条边转化为已知量的组合即可计算周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线AC、BD互相平分，对边相等，即O是AC中点，$AB=CD$，$AD=BC$，
∵平行四边形ABCD的周长为12，
∴$2(AB+BC)=12$，解得$AB+BC=6$，
∵E是BC的中点，O是AC的中点，
∴OE是$△ ABC$的中位线，$CE=\frac{1}{2}BC$，
∴$OE=\frac{1}{2}AB$，
∵$AC=4$，O是AC中点，
∴$OC=\frac{1}{2}AC=2$，
∴$△ COE$的周长$=OE+CE+OC=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}BC+2=\frac{1}{2}(AB+BC)+2=\frac{1}{2}×6+2=5$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是利用平行四边形性质和中位线定理转化线段关系，解题思路清晰，只要熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从平行四边形的性质入手：首先平行四边形对角线互相平分，可确定O是AC中点；同时平行四边形对边相等，结合周长为12可推出邻边AB与BC的和；再结合E是BC中点，可判定OE是△ABC的中位线，得到OE、CE分别与AB、BC的数量关系，OC为AC的一半，最后将△COE的三条边转化为已知量的组合即可计算周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线AC、BD互相平分，对边相等，即O是AC中点，$AB=CD$，$AD=BC$，
∵平行四边形ABCD的周长为12，
∴$2(AB+BC)=12$，解得$AB+BC=6$，
∵E是BC的中点，O是AC的中点，
∴OE是$△ ABC$的中位线，$CE=\frac{1}{2}BC$，
∴$OE=\frac{1}{2}AB$，
∵$AC=4$，O是AC中点，
∴$OC=\frac{1}{2}AC=2$，
∴$△ COE$的周长$=OE+CE+OC=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}BC+2=\frac{1}{2}(AB+BC)+2=\frac{1}{2}×6+2=5$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题是基础几何综合题，核心是利用平行四边形性质和中位线定理转化线段关系，解题思路清晰，只要熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2.如图，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线.设AC，BC的中点分别为M，N.若MN=3 m，则AB=（
A.4 m
B.6 m
C.8 m
D.10 m
B
）A.4 m
B.6 m
C.8 m
D.10 m
答案
2.B
解析
【分析】
首先观察题目条件，M、N分别是AC、BC的中点，结合三角形中位线的定义可知，MN是△ABC的中位线。再回忆三角形中位线的性质：三角形的中位线等于第三边的一半，因此可以通过已知的MN长度直接计算AB的长度。
【解析】
解：
∵M是AC的中点，N是BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$MN=\frac{1}{2}AB$，
已知$MN=3\mathrm{m}$，
∴$AB=2MN=2×3=6\mathrm{m}$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是识别出三角形的中位线，结合中位线的性质即可快速求解，解题时注意中位线性质的适用条件。
【难度系数】
0.8
首先观察题目条件，M、N分别是AC、BC的中点，结合三角形中位线的定义可知，MN是△ABC的中位线。再回忆三角形中位线的性质：三角形的中位线等于第三边的一半，因此可以通过已知的MN长度直接计算AB的长度。
【解析】
解：
∵M是AC的中点，N是BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$MN=\frac{1}{2}AB$，
已知$MN=3\mathrm{m}$，
∴$AB=2MN=2×3=6\mathrm{m}$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是识别出三角形的中位线，结合中位线的性质即可快速求解，解题时注意中位线性质的适用条件。
【难度系数】
0.8
3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点。若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（
A.6
B.12
C.24
D.48
C
）A.6
B.12
C.24
D.48
答案
3.C
解析
【分析】
首先梳理已知条件：①四边形ABCD是菱形，可联想到菱形对角线互相垂直、四条边长度相等的性质；②对角线AC、BD交于点O，可推出△COD是直角三角形；③E是CD的中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可推出CD的长度，再根据菱形四边相等的性质就能计算出周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=AD（菱形对角线互相垂直，四条边长度相等），
∴△COD为直角三角形，
∵E为CD的中点，即OE是Rt△COD斜边CD上的中线，
∴CD=2OE=2×3=6，
∴菱形ABCD的周长=4×CD=4×6=24。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题属于基础几何题，结合菱形性质与直角三角形斜边中线的性质考察，解题关键是通过直角、中点的条件，建立已知线段OE和菱形边长的关系。
【难度系数】
0.8
首先梳理已知条件：①四边形ABCD是菱形，可联想到菱形对角线互相垂直、四条边长度相等的性质；②对角线AC、BD交于点O，可推出△COD是直角三角形；③E是CD的中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可推出CD的长度，再根据菱形四边相等的性质就能计算出周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=AD（菱形对角线互相垂直，四条边长度相等），
∴△COD为直角三角形，
∵E为CD的中点，即OE是Rt△COD斜边CD上的中线，
∴CD=2OE=2×3=6，
∴菱形ABCD的周长=4×CD=4×6=24。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题属于基础几何题，结合菱形性质与直角三角形斜边中线的性质考察，解题关键是通过直角、中点的条件，建立已知线段OE和菱形边长的关系。
【难度系数】
0.8
4.如图，在$△ ABC$中，$BC=4$，点$D$，$E$分别为$AB$，$AC$的中点，则$DE=$（
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$1$
D.$2$
D
）A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$1$
D.$2$
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件：点D、E分别是AB、AC的中点，可先判断出DE是△ABC的中位线，再回忆三角形中位线的性质：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半，最后代入已知的BC的长度即可求出DE的数值。
【解析】
解：
∵点D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线的性质可得：$DE=\frac{1}{2}BC$，
已知$BC=4$，代入得：
$DE=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础题，直接考查三角形中位线性质的应用，掌握中位线的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察题干条件：点D、E分别是AB、AC的中点，可先判断出DE是△ABC的中位线，再回忆三角形中位线的性质：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半，最后代入已知的BC的长度即可求出DE的数值。
【解析】
解：
∵点D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线的性质可得：$DE=\frac{1}{2}BC$，
已知$BC=4$，代入得：
$DE=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础题，直接考查三角形中位线性质的应用，掌握中位线的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
5.如图,在菱形ABCD中,O为BD的中点,M为BC的中点,AM⊥BC,OM=2,则AM的长为 (
A.$\sqrt{3}$
B.$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C
)A.$\sqrt{3}$
B.$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
答案
5.C
解析
【分析】
解题时先从已知条件和图形性质入手：首先回忆菱形的基本性质，再结合中点条件判断OM是三角形的中位线，先求出菱形的边长；再根据AM垂直且平分BC的特征，推导出△ABC是等边三角形，最后利用勾股定理计算AM的长度即可。
【解析】
1. 解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD，
∵O是BD中点，M是BC中点，
∴OM是△BCD的中位线，
根据三角形中位线性质：中位线长度等于第三边的一半，可得$OM=\frac{1}{2}CD$，
已知$OM=2$，
∴$CD=2OM=4$，即菱形边长$AB=BC=4$。
2.
∵$AM⊥BC$，且M是BC中点，
∴AM是BC的垂直平分线，
根据垂直平分线的性质可得$AB=AC$，
又
∵$AB=BC$，
∴$AB=BC=AC$，即△ABC是等边三角形，$BM=\frac{1}{2}BC=2$。
3. 在Rt△ABM中，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、三角形中位线定理、勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是通过中位线求出菱形边长，再结合垂直平分线的性质判断出等边三角形，将求线段长的问题转化为直角三角形中勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件和图形性质入手：首先回忆菱形的基本性质，再结合中点条件判断OM是三角形的中位线，先求出菱形的边长；再根据AM垂直且平分BC的特征，推导出△ABC是等边三角形，最后利用勾股定理计算AM的长度即可。
【解析】
1. 解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD，
∵O是BD中点，M是BC中点，
∴OM是△BCD的中位线，
根据三角形中位线性质：中位线长度等于第三边的一半，可得$OM=\frac{1}{2}CD$，
已知$OM=2$，
∴$CD=2OM=4$，即菱形边长$AB=BC=4$。
2.
∵$AM⊥BC$，且M是BC中点，
∴AM是BC的垂直平分线，
根据垂直平分线的性质可得$AB=AC$，
又
∵$AB=BC$，
∴$AB=BC=AC$，即△ABC是等边三角形，$BM=\frac{1}{2}BC=2$。
3. 在Rt△ABM中，由勾股定理得：
$AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、三角形中位线定理、勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是通过中位线求出菱形边长，再结合垂直平分线的性质判断出等边三角形，将求线段长的问题转化为直角三角形中勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7
