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6. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$交于点$O$，$E$为线段$BC$的中点，连接$OE$。若$∠ BAC=90°$，$AE=3$，$AC=4$，则$OE$的长为 （
A.$\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$5$
D.$\dfrac{5}{2}$
（第6题图）
（第7题图）
（第8题图）
（第9题图）
A
）A.$\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$5$
D.$\dfrac{5}{2}$
（第6题图）
（第7题图）
（第8题图）
（第9题图）
答案
6.A
解析
【分析】
解题可按以下思路逐步推导：首先，观察到△BAC是直角三角形，E是斜边BC的中点，可利用直角三角形斜边中线的性质求出BC的长度；接着在Rt△ABC中，结合已知的AC长度，用勾股定理求出AB的长度；再根据平行四边形对角线互相平分的性质，得出O是AC的中点，结合E是BC中点的条件，可知OE是△ABC的中位线，最后利用中位线定理求出OE的长度。
【解析】
1. 已知$∠ BAC=90°$，则$△ ABC$是直角三角形，又因为E是BC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$BC=2AE$，代入$AE=3$，得$BC=2×3=6$。
2. 在$Rt△ ABC$中，$AC=4$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
3. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，平行四边形对角线互相平分，所以对角线交点O是AC的中点，又已知E是BC的中点，因此OE是$△ ABC$的中位线。
4. 根据三角形中位线定理，中位线长度等于第三边的一半，即$OE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}=\sqrt{5}$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是几何基础综合题，结合了平行四边形、直角三角形、三角形中位线的相关性质，解题的关键是找准各线段的数量关系，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路逐步推导：首先，观察到△BAC是直角三角形，E是斜边BC的中点，可利用直角三角形斜边中线的性质求出BC的长度；接着在Rt△ABC中，结合已知的AC长度，用勾股定理求出AB的长度；再根据平行四边形对角线互相平分的性质，得出O是AC的中点，结合E是BC中点的条件，可知OE是△ABC的中位线，最后利用中位线定理求出OE的长度。
【解析】
1. 已知$∠ BAC=90°$，则$△ ABC$是直角三角形，又因为E是BC的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$BC=2AE$，代入$AE=3$，得$BC=2×3=6$。
2. 在$Rt△ ABC$中，$AC=4$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
3. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，平行四边形对角线互相平分，所以对角线交点O是AC的中点，又已知E是BC的中点，因此OE是$△ ABC$的中位线。
4. 根据三角形中位线定理，中位线长度等于第三边的一半，即$OE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{5}=\sqrt{5}$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是几何基础综合题，结合了平行四边形、直角三角形、三角形中位线的相关性质，解题的关键是找准各线段的数量关系，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
7.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$D$为斜边$AC$的中点，$E$为$BD$上一点，$F$为$CE$的中点。若$AE=AD$，$DF=2$，则$BD$的长为（
A.$2\sqrt{2}$
B.$3$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4$
D
）A.$2\sqrt{2}$
B.$3$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4$
答案
7.D
解析
【分析】
解题时首先观察到点D是AC中点、点F是CE中点，可先利用三角形中位线定理求出AE的长度；再结合已知AE=AD得到AD的长度；最后根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到BD与AD相等，即可求出BD的长。
【解析】
1.
∵D是AC的中点，F是CE的中点，
∴DF是△ACE的中位线。根据三角形中位线定理，得$DF=\frac{1}{2}AE$。
2. 已知$DF=2$，代入得$2=\frac{1}{2}AE$，解得$AE=4$。
3.
∵$AE=AD$，
∴$AD=AE=4$。
4.
∵△ABC是直角三角形，D是斜边AC的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，得$BD=AD$，
∴$BD=4$。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是准确识别三角形的中位线，再结合直角三角形的性质进行等量代换，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到点D是AC中点、点F是CE中点，可先利用三角形中位线定理求出AE的长度；再结合已知AE=AD得到AD的长度；最后根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到BD与AD相等，即可求出BD的长。
【解析】
1.
∵D是AC的中点，F是CE的中点，
∴DF是△ACE的中位线。根据三角形中位线定理，得$DF=\frac{1}{2}AE$。
2. 已知$DF=2$，代入得$2=\frac{1}{2}AE$，解得$AE=4$。
3.
∵$AE=AD$，
∴$AD=AE=4$。
4.
∵△ABC是直角三角形，D是斜边AC的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，得$BD=AD$，
∴$BD=4$。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是准确识别三角形的中位线，再结合直角三角形的性质进行等量代换，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
8. 如图，$□ ABCD$的对角线AC，BD相交于点O，$∠ ADC$的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点.若$AD=4$，$CD=6$，则$EO$的长为 （
A.1
B.2
C.3
D.4
A
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
8.A
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用平行四边形的性质，得到对边平行且相等、对角线互相平分的结论；再结合角平分线的定义和平行线的内错角相等，判定△ADP为等腰三角形，求出AP的长度，进而得到PB的长；最后根据E、O分别是PD、BD的中点，判断EO是△DPB的中位线，利用中位线定理即可求出EO的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD=6，对角线AC、BD交于点O，即O为BD的中点。
∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠CDP，
又
∵AB//CD，
∴∠CDP=∠APD（两直线平行，内错角相等），
∴∠ADP=∠APD，
∴AP=AD=4，
∴PB=AB-AP=6-4=2。
∵E是PD的中点，O是BD的中点，
∴EO是△DPB的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴EO=1/2 PB=1/2×2=1。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形中位线定理
【点评】
本题是基础的几何综合题，将平行四边形、角平分线、等腰三角形、中位线的性质结合考查，解题的突破口是通过角平分线和平行线的性质推出等腰三角形，得到PB的长度，再结合中位线定理求解，掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先利用平行四边形的性质，得到对边平行且相等、对角线互相平分的结论；再结合角平分线的定义和平行线的内错角相等，判定△ADP为等腰三角形，求出AP的长度，进而得到PB的长；最后根据E、O分别是PD、BD的中点，判断EO是△DPB的中位线，利用中位线定理即可求出EO的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD=6，对角线AC、BD交于点O，即O为BD的中点。
∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠CDP，
又
∵AB//CD，
∴∠CDP=∠APD（两直线平行，内错角相等），
∴∠ADP=∠APD，
∴AP=AD=4，
∴PB=AB-AP=6-4=2。
∵E是PD的中点，O是BD的中点，
∴EO是△DPB的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴EO=1/2 PB=1/2×2=1。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形中位线定理
【点评】
本题是基础的几何综合题，将平行四边形、角平分线、等腰三角形、中位线的性质结合考查，解题的突破口是通过角平分线和平行线的性质推出等腰三角形，得到PB的长度，再结合中位线定理求解，掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
9.如图,在$△ ABC$中,$M$是$BC$的中点,$AD$平分$∠ BAC$,$BD ⊥ AD$于点$D$.若$AB=4$,$AC=6$,则$MD$的长为（
A.4
B.3
C.2
D.1
D
）A.4
B.3
C.2
D.1
答案
9.D
解析
【分析】
遇到角平分线+该角对边上的垂线的条件时，通常通过延长垂线与角的另一边相交，构造全等三角形和等腰三角形，利用等腰三角形三线合一得到中点，再结合题中给出的M是BC中点的条件，利用三角形中位线定理即可求出MD的长度。
【解析】
延长BD交AC于点E。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=∠ADE=90°。
在△ABD和△AED中：
$\{\begin{array}{l}∠BAD=∠EAD \\AD=AD \\∠ADB=∠ADE\end{array} $
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴AB=AE=4，BD=DE，即D为BE的中点。
∵AC=6，
∴EC=AC-AE=6-4=2。
又
∵M是BC的中点，D是BE的中点，
∴MD是△BCE的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，
∴$MD=\frac{1}{2}EC=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，角平分线的定义
【点评】
本题是几何中常见的线段长度求解题型，解题的突破口是掌握“角平分线+垂线”的辅助线构造方法，结合中点条件利用中位线定理快速求解，需要熟练掌握全等三角形和中位线的相关性质。
【难度系数】
0.7
遇到角平分线+该角对边上的垂线的条件时，通常通过延长垂线与角的另一边相交，构造全等三角形和等腰三角形，利用等腰三角形三线合一得到中点，再结合题中给出的M是BC中点的条件，利用三角形中位线定理即可求出MD的长度。
【解析】
延长BD交AC于点E。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=∠ADE=90°。
在△ABD和△AED中：
$\{\begin{array}{l}∠BAD=∠EAD \\AD=AD \\∠ADB=∠ADE\end{array} $
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴AB=AE=4，BD=DE，即D为BE的中点。
∵AC=6，
∴EC=AC-AE=6-4=2。
又
∵M是BC的中点，D是BE的中点，
∴MD是△BCE的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，
∴$MD=\frac{1}{2}EC=\frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，角平分线的定义
【点评】
本题是几何中常见的线段长度求解题型，解题的突破口是掌握“角平分线+垂线”的辅助线构造方法，结合中点条件利用中位线定理快速求解，需要熟练掌握全等三角形和中位线的相关性质。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=90°$,点$D$,$E$分别在边$AB$和$BC$上,且$AD=4$,$CE=3$,连接$DE$.$M$,$N$分别是$AC$,$DE$的中点,连接$MN$,则$MN$的长为 （
A.$\frac{5}{2}$
B.$\frac{12}{5}$
C.2
D.$\frac{13}{5}$
（第10题图） （第11题图） （第12题图）
A
）A.$\frac{5}{2}$
B.$\frac{12}{5}$
C.2
D.$\frac{13}{5}$
（第10题图） （第11题图） （第12题图）答案
10.A
解析
【分析】
本题已知直角三角形和两条边上的线段长度，且给出两条线段的中点，求解中点连线的长度。我们可以用建立平面直角坐标系的方法，将各点坐标表示出来，再利用中点坐标公式求出M、N的坐标，最后用勾股定理计算MN的长度，该方法直观易理解，符合当前学段知识要求。解题时先将点B设为坐标原点，分别以AB、BC所在直线为y轴、x轴建立平面直角坐标系，设出各点坐标，再分别计算M、N的坐标，最后计算两点距离即可。
【解析】
解：以点B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
设$B(0,0)$，$A(0,b)$，$C(a,0)$，
∵$AD=4$，点D在AB上，
∴D点坐标为$(0, b-4)$，
∵$CE=3$，点E在BC上，
∴E点坐标为$(a-3, 0)$。
∵M是AC的中点，根据中点坐标公式，得M的坐标为$(\frac{0+a}{2}, \frac{b+0}{2})$，即$M(\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$。
∵N是DE的中点，同理得N的坐标为$(\frac{0+a-3}{2}, \frac{b-4+0}{2})$，即$N(\frac{a-3}{2}, \frac{b-4}{2})$。
根据勾股定理，MN的长度为：
$\sqrt{(\frac{a}{2}-\frac{a-3}{2})^2 + (\frac{b}{2}-\frac{b-4}{2})^2} = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系，中点坐标公式，勾股定理
【点评】
本题是几何中点计算的常见题型，既可以通过构造中位线的几何方法求解，也可以通过建立坐标系的代数方法求解，解题关键是将未知线段和已知条件建立关联，考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
本题已知直角三角形和两条边上的线段长度，且给出两条线段的中点，求解中点连线的长度。我们可以用建立平面直角坐标系的方法，将各点坐标表示出来，再利用中点坐标公式求出M、N的坐标，最后用勾股定理计算MN的长度，该方法直观易理解，符合当前学段知识要求。解题时先将点B设为坐标原点，分别以AB、BC所在直线为y轴、x轴建立平面直角坐标系，设出各点坐标，再分别计算M、N的坐标，最后计算两点距离即可。
【解析】
解：以点B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
设$B(0,0)$，$A(0,b)$，$C(a,0)$，
∵$AD=4$，点D在AB上，
∴D点坐标为$(0, b-4)$，
∵$CE=3$，点E在BC上，
∴E点坐标为$(a-3, 0)$。
∵M是AC的中点，根据中点坐标公式，得M的坐标为$(\frac{0+a}{2}, \frac{b+0}{2})$，即$M(\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$。
∵N是DE的中点，同理得N的坐标为$(\frac{0+a-3}{2}, \frac{b-4+0}{2})$，即$N(\frac{a-3}{2}, \frac{b-4}{2})$。
根据勾股定理，MN的长度为：
$\sqrt{(\frac{a}{2}-\frac{a-3}{2})^2 + (\frac{b}{2}-\frac{b-4}{2})^2} = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系，中点坐标公式，勾股定理
【点评】
本题是几何中点计算的常见题型，既可以通过构造中位线的几何方法求解，也可以通过建立坐标系的代数方法求解，解题关键是将未知线段和已知条件建立关联，考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
11.如图，在$△ ABC$中，$E$是$BC$的中点，$AD$平分$∠ BAC$，且$AD ⊥ CD$于点$D$。若$AB=6$，$AC=3$，则$DE$的长为
$\frac{3}{2}$
。答案
11.$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
遇到“角平分线+该角边上的垂线”的几何模型时，可通过延长垂线与角的另一边相交构造全等三角形，得到相等的线段与中点，再结合已知的中点条件，利用三角形中位线定理求解线段长度。具体思路：先延长CD交AB于点F，证明△ADF和△ADC全等，得到D是CF中点、AF=AC，再推导DE为△BCF的中位线，最后计算DE的长度。
【解析】
解：延长CD交AB于点F。
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠CAD。
∵AD⊥CD，
∴∠ADF=∠ADC=90°。
在△ADF和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}∠FAD=∠CAD \\AD=AD \\∠ADF=∠ADC\end{array} $
∴△ADF≌△ADC（ASA），
∴AF=AC=3，DF=DC，即D是CF的中点。
又
∵E是BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴$DE=\frac{1}{2}BF$。
∵BF=AB-AF=6-3=3，
∴$DE=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，角平分线的定义
【点评】
本题是典型的几何综合基础题，解题核心是掌握“角平分线+垂线”的辅助线构造方法，结合中位线定理即可快速求解，能够有效考察学生的几何辅助线构造能力和基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.6
遇到“角平分线+该角边上的垂线”的几何模型时，可通过延长垂线与角的另一边相交构造全等三角形，得到相等的线段与中点，再结合已知的中点条件，利用三角形中位线定理求解线段长度。具体思路：先延长CD交AB于点F，证明△ADF和△ADC全等，得到D是CF中点、AF=AC，再推导DE为△BCF的中位线，最后计算DE的长度。
【解析】
解：延长CD交AB于点F。
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠CAD。
∵AD⊥CD，
∴∠ADF=∠ADC=90°。
在△ADF和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}∠FAD=∠CAD \\AD=AD \\∠ADF=∠ADC\end{array} $
∴△ADF≌△ADC（ASA），
∴AF=AC=3，DF=DC，即D是CF的中点。
又
∵E是BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴$DE=\frac{1}{2}BF$。
∵BF=AB-AF=6-3=3，
∴$DE=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，角平分线的定义
【点评】
本题是典型的几何综合基础题，解题核心是掌握“角平分线+垂线”的辅助线构造方法，结合中位线定理即可快速求解，能够有效考察学生的几何辅助线构造能力和基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.6
12. 如图，在$□ ABCD$中，$AD=4\sqrt{7}$，E，F分别为边BC，CD的中点，连接EF，AE，BD.当AE平分$∠ BEF$时，BD的长为
$6\sqrt{7}$
.答案
12.$6\sqrt{7}$
解析
【分析】
解题时首先结合平行四边形对边平行且相等的性质，求出BE的长度；再利用E、F是边BC、CD的中点，由三角形中位线定理得到EF与BD平行，结合角平分线的性质推导角相等，得到BM=BE；最后根据平行线分线段成比例的关系求出DM的长度，相加即可得到BD的总长。
【解析】
设AE与BD交于点M：
1.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC=$4\sqrt{7}$
∵E是BC的中点
∴$BE=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{7}$
2.
∵E、F分别是BC、CD的中点
∴EF是△BCD的中位线
∴EF//BD，可得∠AEF=∠BME（两直线平行，内错角相等）
3.
∵AE平分∠BEF
∴∠BEA=∠AEF，等量代换得∠BEA=∠BME
∴BM=BE=$2\sqrt{7}$（等角对等边）
4.
∵AD//BC
根据平行线分线段成比例，可得$\frac{DM}{BM}=\frac{AD}{BE}=\frac{4\sqrt{7}}{2\sqrt{7}}=2$
∴$DM=2BM=4\sqrt{7}$
5.
∴$BD=BM+DM=2\sqrt{7}+4\sqrt{7}=6\sqrt{7}$
【答案】
$6\sqrt{7}$
【知识点】
平行四边形的性质、三角形中位线定理、平行线分线段成比例
【点评】
本题是几何综合题，需要结合多个基础几何性质推导边角关系，解题的关键是通过角的等量代换得到BM的长度，再结合线段比例关系求解BD，对学生的几何逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合平行四边形对边平行且相等的性质，求出BE的长度；再利用E、F是边BC、CD的中点，由三角形中位线定理得到EF与BD平行，结合角平分线的性质推导角相等，得到BM=BE；最后根据平行线分线段成比例的关系求出DM的长度，相加即可得到BD的总长。
【解析】
设AE与BD交于点M：
1.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC=$4\sqrt{7}$
∵E是BC的中点
∴$BE=\frac{1}{2}BC=2\sqrt{7}$
2.
∵E、F分别是BC、CD的中点
∴EF是△BCD的中位线
∴EF//BD，可得∠AEF=∠BME（两直线平行，内错角相等）
3.
∵AE平分∠BEF
∴∠BEA=∠AEF，等量代换得∠BEA=∠BME
∴BM=BE=$2\sqrt{7}$（等角对等边）
4.
∵AD//BC
根据平行线分线段成比例，可得$\frac{DM}{BM}=\frac{AD}{BE}=\frac{4\sqrt{7}}{2\sqrt{7}}=2$
∴$DM=2BM=4\sqrt{7}$
5.
∴$BD=BM+DM=2\sqrt{7}+4\sqrt{7}=6\sqrt{7}$
【答案】
$6\sqrt{7}$
【知识点】
平行四边形的性质、三角形中位线定理、平行线分线段成比例
【点评】
本题是几何综合题，需要结合多个基础几何性质推导边角关系，解题的关键是通过角的等量代换得到BM的长度，再结合线段比例关系求解BD，对学生的几何逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
