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13. 如图,在矩形ABCD中,M,N分别为BC,CD的中点,则$\frac{MN}{AC}$的值为
（第13题图）
（第14题图）
（第15题图）
$\frac{1}{2}$
。（第13题图）
（第14题图）
（第15题图）
答案
13.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要求$\frac{MN}{AC}$的比值，可按以下思路推导：首先观察点的位置，M、N分别是BC、CD的中点，首先想到连接BD，利用三角形中位线定理得到MN与BD的数量关系；再结合矩形对角线相等的性质，将BD替换为AC，即可求出两者的比值。
【解析】
解：连接BD，
∵M、N分别为BC、CD的中点，
∴MN是$△ BCD$的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$MN=\frac{1}{2}BD$，
又
∵四边形ABCD是矩形，矩形的对角线相等，
∴$AC=BD$，
∴$MN=\frac{1}{2}AC$，
则$\frac{MN}{AC}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，矩形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是通过连接辅助线BD，结合三角形中位线定理和矩形对角线相等的性质完成等量代换，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
要求$\frac{MN}{AC}$的比值，可按以下思路推导：首先观察点的位置，M、N分别是BC、CD的中点，首先想到连接BD，利用三角形中位线定理得到MN与BD的数量关系；再结合矩形对角线相等的性质，将BD替换为AC，即可求出两者的比值。
【解析】
解：连接BD，
∵M、N分别为BC、CD的中点，
∴MN是$△ BCD$的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$MN=\frac{1}{2}BD$，
又
∵四边形ABCD是矩形，矩形的对角线相等，
∴$AC=BD$，
∴$MN=\frac{1}{2}AC$，
则$\frac{MN}{AC}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，矩形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是通过连接辅助线BD，结合三角形中位线定理和矩形对角线相等的性质完成等量代换，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
14.如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$分别为$AB$，$AC$的中点，点$F$在线段$DE$上，且$AF⊥ BF$.若$AB=4$，$BC=7$，则$EF$的长为________.
答案
14.$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，看到D、E分别是AB、AC的中点，首先联想到三角形中位线定理，可求出中位线DE的长度；再结合AF⊥BF的条件，可知△AFB是直角三角形，D是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可求出DF的长度；最后用DE的长度减去DF的长度，即可得到EF的长。
【解析】
解：
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴$DE=\frac{1}{2}BC$，
∵$BC=7$，
∴$DE=\frac{7}{2}$，
∵$AF⊥BF$，
∴$∠ AFB=90°$，即△AFB是直角三角形，
又
∵D是AB的中点，
∴DF是Rt△AFB斜边AB上的中线，
∴$DF=\frac{1}{2}AB$，
∵$AB=4$，
∴$DF=\frac{1}{2}×4=2$，
∴$EF=DE-DF=\frac{7}{2}-2=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是基础几何计算类题目，核心是结合已知中点条件，对应匹配中位线、直角三角形斜边中线的性质，快速梳理线段之间的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察题干条件，看到D、E分别是AB、AC的中点，首先联想到三角形中位线定理，可求出中位线DE的长度；再结合AF⊥BF的条件，可知△AFB是直角三角形，D是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可求出DF的长度；最后用DE的长度减去DF的长度，即可得到EF的长。
【解析】
解：
∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴$DE=\frac{1}{2}BC$，
∵$BC=7$，
∴$DE=\frac{7}{2}$，
∵$AF⊥BF$，
∴$∠ AFB=90°$，即△AFB是直角三角形，
又
∵D是AB的中点，
∴DF是Rt△AFB斜边AB上的中线，
∴$DF=\frac{1}{2}AB$，
∵$AB=4$，
∴$DF=\frac{1}{2}×4=2$，
∴$EF=DE-DF=\frac{7}{2}-2=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是基础几何计算类题目，核心是结合已知中点条件，对应匹配中位线、直角三角形斜边中线的性质，快速梳理线段之间的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.7
15.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,P,M,N,Q分别是BD,DC,AB,AC的中点.若AD=8,则四边形PMQN的周长为
16
.答案
15.16
解析
【分析】
题目给出多个边的中点条件，优先考虑运用三角形中位线定理解题。三角形中位线定理为：三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半。我们只需将四边形PMQN的四条边分别对应到不同三角形的中位线，结合已知AD=BC=8，即可求出每条边的长度，相加后得到四边形的周长。
【解析】
解：
∵P、M分别是BD、DC的中点，
∴PM是△BCD的中位线，根据中位线性质得$PM=\frac{1}{2}BC$；
同理可得：
Q、N分别是AC、AB的中点，QN是△ABC的中位线，$QN=\frac{1}{2}BC$；
M、Q分别是DC、AC的中点，MQ是△ACD的中位线，$MQ=\frac{1}{2}AD$；
P、N分别是BD、AB的中点，PN是△ABD的中位线，$PN=\frac{1}{2}AD$。
已知AD=BC=8，代入得：
$PM=QN=\frac{1}{2}×8=4$，$MQ=PN=\frac{1}{2}×8=4$，
∴四边形PMQN的周长为$PM+QN+MQ+PN=4+4+4+4=16$。
【答案】
16
【知识点】
三角形中位线定理；中点四边形；周长计算
【点评】
本题是中点相关几何题的基础题型，解题核心是结合中点条件准确定位对应三角形的中位线，利用中位线性质将未知边长和已知线段长度建立关联，整体难度不大。
【难度系数】
0.75
题目给出多个边的中点条件，优先考虑运用三角形中位线定理解题。三角形中位线定理为：三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半。我们只需将四边形PMQN的四条边分别对应到不同三角形的中位线，结合已知AD=BC=8，即可求出每条边的长度，相加后得到四边形的周长。
【解析】
解：
∵P、M分别是BD、DC的中点，
∴PM是△BCD的中位线，根据中位线性质得$PM=\frac{1}{2}BC$；
同理可得：
Q、N分别是AC、AB的中点，QN是△ABC的中位线，$QN=\frac{1}{2}BC$；
M、Q分别是DC、AC的中点，MQ是△ACD的中位线，$MQ=\frac{1}{2}AD$；
P、N分别是BD、AB的中点，PN是△ABD的中位线，$PN=\frac{1}{2}AD$。
已知AD=BC=8，代入得：
$PM=QN=\frac{1}{2}×8=4$，$MQ=PN=\frac{1}{2}×8=4$，
∴四边形PMQN的周长为$PM+QN+MQ+PN=4+4+4+4=16$。
【答案】
16
【知识点】
三角形中位线定理；中点四边形；周长计算
【点评】
本题是中点相关几何题的基础题型，解题核心是结合中点条件准确定位对应三角形的中位线，利用中位线性质将未知边长和已知线段长度建立关联，整体难度不大。
【难度系数】
0.75
16. 如图，点D，E分别是△ABC边AC，BC的中点，在AC的延长线上取一点F，使EF=BC，且∠DEF=∠ACB.若DF=6，则DE=
（第16题图）
（第17题图）
（第18题图）
3
.（第16题图）
（第17题图）
（第18题图）
答案
16.3
解析
【分析】
解题时首先观察到D、E是边的中点，优先想到三角形中位线定理，可得DE与AB平行且DE等于AB的一半；再结合已知的角相等、边相等的条件，利用平行线的性质得到全等所需的角相等条件，证明△ABC和△DFE全等，得到AB与DF相等，最后代入中位线的数量关系即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵点D，E分别是△ABC边AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴$DE// AB$，$DE=\frac{1}{2}AB$，
∴$∠A=∠EDF$（两直线平行，同位角相等）。
在△ABC和△DFE中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠EDF \\∠ACB=∠DEF \\BC=EF\end{array} $
∴$△ ABC≌△ DFE$（AAS），
∴$AB=DF=6$，
∴$DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
3
【知识点】
三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，需要结合中位线性质和全等三角形的知识求解，解题的关键是通过中位线的平行性质推导全等需要的等角条件，再结合已知条件完成证明，整体逻辑连贯，难度适中。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到D、E是边的中点，优先想到三角形中位线定理，可得DE与AB平行且DE等于AB的一半；再结合已知的角相等、边相等的条件，利用平行线的性质得到全等所需的角相等条件，证明△ABC和△DFE全等，得到AB与DF相等，最后代入中位线的数量关系即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵点D，E分别是△ABC边AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴$DE// AB$，$DE=\frac{1}{2}AB$，
∴$∠A=∠EDF$（两直线平行，同位角相等）。
在△ABC和△DFE中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠EDF \\∠ACB=∠DEF \\BC=EF\end{array} $
∴$△ ABC≌△ DFE$（AAS），
∴$AB=DF=6$，
∴$DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
3
【知识点】
三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，需要结合中位线性质和全等三角形的知识求解，解题的关键是通过中位线的平行性质推导全等需要的等角条件，再结合已知条件完成证明，整体逻辑连贯，难度适中。
【难度系数】
0.7
17.如图，D，E分别是$△ ABC$边AB，AC的中点，连接BE，DE.若$∠ AED = ∠ BEC$，$DE=2$，则BE的长为
4
.答案
17.4
解析
【分析】
解题时先从已知条件“D，E分别是AB、AC的中点”入手，联想到三角形中位线定理，可得到DE与BC的平行关系和长度倍数关系，求出BC的长度；再结合∠AED=∠BEC的条件，利用平行线的同位角相等的性质，推导得到△BEC中两角相等，进而根据等角对等边得到BE与BC相等，即可求出BE的长。
【解析】
解：
∵D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：DE//BC，BC=2DE，
已知DE=2，代入得BC=2×2=4。
∵DE//BC，
∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等），
又
∵题目给出∠AED=∠BEC，
∴∠BEC=∠C，
在△BEC中，根据等角对等边可得BE=BC，
∴BE=4。
【答案】
4
【知识点】
三角形中位线定理，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质，通过角的等量关系识别出等腰三角形，整体解题逻辑清晰，只要掌握相关基础知识点就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件“D，E分别是AB、AC的中点”入手，联想到三角形中位线定理，可得到DE与BC的平行关系和长度倍数关系，求出BC的长度；再结合∠AED=∠BEC的条件，利用平行线的同位角相等的性质，推导得到△BEC中两角相等，进而根据等角对等边得到BE与BC相等，即可求出BE的长。
【解析】
解：
∵D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：DE//BC，BC=2DE，
已知DE=2，代入得BC=2×2=4。
∵DE//BC，
∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等），
又
∵题目给出∠AED=∠BEC，
∴∠BEC=∠C，
在△BEC中，根据等角对等边可得BE=BC，
∴BE=4。
【答案】
4
【知识点】
三角形中位线定理，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质，通过角的等量关系识别出等腰三角形，整体解题逻辑清晰，只要掌握相关基础知识点就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
18.如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$交于点$O$，$AC⊥ AB$，点$E$，$F$分别为$BC$，$CD$的中点，连接$AE$，$OF$。若$AE=4$，则$OF$的长为
4
。答案
18.4
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先观察到AC⊥AB，可得△ABC是直角三角形，E是BC中点，可利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，由已知AE的长度求出BC的长度；2. 结合平行四边形的性质，可知对角线交点O是BD的中点，又F是CD中点，可知OF是△BCD的中位线，根据三角形中位线定理即可求出OF的长度。
【解析】
解：
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，即△ABC为直角三角形。
∵E是BC的中点，
∴AE是Rt△ABC斜边BC的中线，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：$AE=\frac{1}{2}BC$，
已知$AE=4$，
∴$BC=2AE=2×4=8$。
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴O是BD的中点，
又
∵F是CD的中点，
∴OF是△BCD的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，可得：
$OF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；平行四边形的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，将多个基础几何知识点结合考查，解题的关键是找准直角三角形斜边中线、三角形中位线这两个特殊线段，对应性质应用即可快速得到答案。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 首先观察到AC⊥AB，可得△ABC是直角三角形，E是BC中点，可利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，由已知AE的长度求出BC的长度；2. 结合平行四边形的性质，可知对角线交点O是BD的中点，又F是CD中点，可知OF是△BCD的中位线，根据三角形中位线定理即可求出OF的长度。
【解析】
解：
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，即△ABC为直角三角形。
∵E是BC的中点，
∴AE是Rt△ABC斜边BC的中线，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：$AE=\frac{1}{2}BC$，
已知$AE=4$，
∴$BC=2AE=2×4=8$。
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴O是BD的中点，
又
∵F是CD的中点，
∴OF是△BCD的中位线，
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，可得：
$OF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；平行四边形的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，将多个基础几何知识点结合考查，解题的关键是找准直角三角形斜边中线、三角形中位线这两个特殊线段，对应性质应用即可快速得到答案。
【难度系数】
0.7
19.如图，已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B'处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB'于点P。若BC=12，则MP+MN=
6
。答案
19.6
解析
【分析】
解题时首先利用折叠的性质推导角和线段的关系：第一次折叠可得AD垂直于BC，BD=DB'；第二次折叠可得M是AD中点，且MN垂直AD，进而推出MN平行于BC。再根据三角形中位线的判定，得到MP是△ADB'的中位线、MN是△ADC的中位线，把MP和MN分别用BC边上的线段表示，相加后即可转化为BC长度的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：由第一次折叠，点B落在BC边上的点B'处，折痕为AD，
∴ ∠ADB=∠ADB'=90°，BD=DB'，即AD⊥BC。
由第二次折叠，点A落在点D处，折痕为MN，
∴ AM=MD，∠AMN=∠DMN=90°，
∴ ∠AMN=∠ADB'=90°，可得MN//BC。
∵ M为AD中点，且MN//BC，
∴ MP是△ADB'的中位线，MN是△ADC的中位线，
∴ MP=½DB'，MN=½DC，
∴ MP+MN=½DB'+½DC=½(DB'+DC)=½BC。
已知BC=12，代入得MP+MN=½×12=6。
【答案】
6
【知识点】
折叠的性质；三角形中位线定理；平行线的判定
【点评】
本题是折叠类的典型几何题，需要结合折叠的性质挖掘隐含的垂直、线段相等关系，再利用中位线定理将未知线段转化为已知线段求解，对几何推理能力有一定的要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用折叠的性质推导角和线段的关系：第一次折叠可得AD垂直于BC，BD=DB'；第二次折叠可得M是AD中点，且MN垂直AD，进而推出MN平行于BC。再根据三角形中位线的判定，得到MP是△ADB'的中位线、MN是△ADC的中位线，把MP和MN分别用BC边上的线段表示，相加后即可转化为BC长度的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：由第一次折叠，点B落在BC边上的点B'处，折痕为AD，
∴ ∠ADB=∠ADB'=90°，BD=DB'，即AD⊥BC。
由第二次折叠，点A落在点D处，折痕为MN，
∴ AM=MD，∠AMN=∠DMN=90°，
∴ ∠AMN=∠ADB'=90°，可得MN//BC。
∵ M为AD中点，且MN//BC，
∴ MP是△ADB'的中位线，MN是△ADC的中位线，
∴ MP=½DB'，MN=½DC，
∴ MP+MN=½DB'+½DC=½(DB'+DC)=½BC。
已知BC=12，代入得MP+MN=½×12=6。
【答案】
6
【知识点】
折叠的性质；三角形中位线定理；平行线的判定
【点评】
本题是折叠类的典型几何题，需要结合折叠的性质挖掘隐含的垂直、线段相等关系，再利用中位线定理将未知线段转化为已知线段求解，对几何推理能力有一定的要求。
【难度系数】
0.6
