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1. 三个连续正整数的和小于 333，则这样的正整数中最大的那组数是
109,110,111
。答案
1. 109,110,111
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确我们需要找和小于333的最大的一组连续正整数。对于三个连续正整数，为了计算简便，我们可以设中间的数为$x$，这样三个数可以表示为$x-1$、$x$、$x+1$，相加时常数项会抵消，方便化简。接下来根据“和小于333”的不等关系列出不等式，解出$x$的取值范围后，找到$x$的最大正整数值，就能对应得到所求的最大那组数。
【解析】
解：设三个连续正整数中间的数为$x$，则另外两个数分别为$x-1$、$x+1$（$x$为大于等于2的正整数，保证$x-1$是正整数）。
根据题意列不等式：
$(x-1)+x+(x+1) ＜ 333$
化简左边得：$3x ＜ 333$
不等式两边同时除以3，得：$x ＜ 111$
因为$x$是正整数，所以$x$的最大值为110。
对应的三个数分别为：$x-1=109$，$x=110$，$x+1=111$。
【答案】
109,110,111
【知识点】
1. 一元一次不等式的应用
2. 连续整数的表示
【点评】
本题属于基础的不等式应用题型，解题核心是合理设未知数简化计算，准确根据题干的不等关系列不等式，同时注意结果要满足正整数的限制条件。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确我们需要找和小于333的最大的一组连续正整数。对于三个连续正整数，为了计算简便，我们可以设中间的数为$x$，这样三个数可以表示为$x-1$、$x$、$x+1$，相加时常数项会抵消，方便化简。接下来根据“和小于333”的不等关系列出不等式，解出$x$的取值范围后，找到$x$的最大正整数值，就能对应得到所求的最大那组数。
【解析】
解：设三个连续正整数中间的数为$x$，则另外两个数分别为$x-1$、$x+1$（$x$为大于等于2的正整数，保证$x-1$是正整数）。
根据题意列不等式：
$(x-1)+x+(x+1) ＜ 333$
化简左边得：$3x ＜ 333$
不等式两边同时除以3，得：$x ＜ 111$
因为$x$是正整数，所以$x$的最大值为110。
对应的三个数分别为：$x-1=109$，$x=110$，$x+1=111$。
【答案】
109,110,111
【知识点】
1. 一元一次不等式的应用
2. 连续整数的表示
【点评】
本题属于基础的不等式应用题型，解题核心是合理设未知数简化计算，准确根据题干的不等关系列不等式，同时注意结果要满足正整数的限制条件。
【难度系数】
0.8
2. 在某次知识竞赛中，共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分.在这次竞赛中，小明如果想被评为优秀（85分或85以上），那么他至少要答对多少道题？若设小明答对x道题，可列出的不等式是
4x-(25-x)×1≥85
.答案
2. 4x-(25-x)×1≥85
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件和未知数含义：题目已经设答对x道题，首先可推出答错或不答的题数为总题数减去答对题数，即(25-x)道；其次按照得分规则分别计算答对的总得分、答错或不答的总扣分，实际总得分=答对总得分-总扣分；最后根据“85分或85以上评为优秀”的要求，可知总得分≥85，将对应量代入不等关系即可列出不等式。
【解析】
1. 确定答错或不答的题数：总题数为25道，答对x道，因此答错或不答的题数为$(25-x)$道；
2. 计算得分与扣分：答对1道得4分，因此答对题总得分是$4x$分；答错或不答1道扣1分，因此总共扣掉的分数为$1×(25-x)$分；
3. 列不等式：实际总得分需大于等于85分，总得分=答对得分-被扣分数，因此可列不等式：$4x-(25-x)×1≥85$。
【答案】
$4x-(25-x)×1≥85$
【知识点】
1. 实际问题列不等式
2. 一元一次不等式应用
【点评】
本题是不等式实际应用的基础题，解题的核心是理清得分、扣分的计算规则，找准题目的不等关系，注意“不低于”“及以上”这类表述对应不等号“≥”。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确已知条件和未知数含义：题目已经设答对x道题，首先可推出答错或不答的题数为总题数减去答对题数，即(25-x)道；其次按照得分规则分别计算答对的总得分、答错或不答的总扣分，实际总得分=答对总得分-总扣分；最后根据“85分或85以上评为优秀”的要求，可知总得分≥85，将对应量代入不等关系即可列出不等式。
【解析】
1. 确定答错或不答的题数：总题数为25道，答对x道，因此答错或不答的题数为$(25-x)$道；
2. 计算得分与扣分：答对1道得4分，因此答对题总得分是$4x$分；答错或不答1道扣1分，因此总共扣掉的分数为$1×(25-x)$分；
3. 列不等式：实际总得分需大于等于85分，总得分=答对得分-被扣分数，因此可列不等式：$4x-(25-x)×1≥85$。
【答案】
$4x-(25-x)×1≥85$
【知识点】
1. 实际问题列不等式
2. 一元一次不等式应用
【点评】
本题是不等式实际应用的基础题，解题的核心是理清得分、扣分的计算规则，找准题目的不等关系，注意“不低于”“及以上”这类表述对应不等号“≥”。
【难度系数】
0.8
3.某种商品的进价为800元，标价为1 200元.由于商品积压，商家准备打折销售，但要保证利润不低于20％，则至少可以打
八
折.答案
3. 八
解析
【分析】
这是一道打折销售的不等式实际应用题，解题思路如下：第一步，明确核心不等关系：利润不低于20%，即利润≥进价×20%；第二步，明确折扣的含义：打x折时，商品售价=标价×$\frac{x}{10}$；第三步，结合“利润=售价-进价”的公式，把对应量代入不等关系列出不等式，求解后取最小的符合要求的解即可。
【解析】
设该商品可以打$x$折销售。
根据“利润不低于20%”可列不等式：
$1200× \frac{x}{10} - 800 ≥ 800× 20\%$
计算右侧：$800× 20\% = 160$，化简不等式得：
$120x - 800 ≥ 160$
移项得：$120x ≥ 160 + 800$
计算得：$120x ≥ 960$
两边同时除以120得：$x ≥ 8$
所以至少可以打八折。
【答案】
八
【知识点】
一元一次不等式应用，销售利润计算，打折问题
【点评】
本题属于销售类基础应用题，解题的关键是准确理解“不低于”的不等含义以及打折的计算规则，避免因混淆折扣的表示方法（如误将x折理解为标价的x倍）导致列式错误。
【难度系数】
0.8
这是一道打折销售的不等式实际应用题，解题思路如下：第一步，明确核心不等关系：利润不低于20%，即利润≥进价×20%；第二步，明确折扣的含义：打x折时，商品售价=标价×$\frac{x}{10}$；第三步，结合“利润=售价-进价”的公式，把对应量代入不等关系列出不等式，求解后取最小的符合要求的解即可。
【解析】
设该商品可以打$x$折销售。
根据“利润不低于20%”可列不等式：
$1200× \frac{x}{10} - 800 ≥ 800× 20\%$
计算右侧：$800× 20\% = 160$，化简不等式得：
$120x - 800 ≥ 160$
移项得：$120x ≥ 160 + 800$
计算得：$120x ≥ 960$
两边同时除以120得：$x ≥ 8$
所以至少可以打八折。
【答案】
八
【知识点】
一元一次不等式应用，销售利润计算，打折问题
【点评】
本题属于销售类基础应用题，解题的关键是准确理解“不低于”的不等含义以及打折的计算规则，避免因混淆折扣的表示方法（如误将x折理解为标价的x倍）导致列式错误。
【难度系数】
0.8
4. 学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品. 已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元,购买5个A奖品和4个B奖品共需210元.
(1)求A,B两种奖品的单价.
(2)学校准备购买A,B两种奖品共30个,且A奖品的数量不少于B奖品数量的$\frac{1}{3}$.
请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.
(1)求A,B两种奖品的单价.
(2)学校准备购买A,B两种奖品共30个,且A奖品的数量不少于B奖品数量的$\frac{1}{3}$.
请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.
答案
(1)A奖品的单价为30元，B奖品的单价为15元。
(2)设购买A奖品z个，则购买B奖品为(30-z)个，由题意，得$z≥\frac{1}{3}(30-z)$，
$\therefore z≥\frac{15}{2}$。设购买奖品的花费为W元，由题意，得$W=30z+15(30-z)=15z+450$，
$\because 15＞0$，$\therefore W$随z的增大而增大。$\therefore$当$z=8$时，W取最小值，此时$30-z=22$。
$\therefore$购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少。
(2)设购买A奖品z个，则购买B奖品为(30-z)个，由题意，得$z≥\frac{1}{3}(30-z)$，
$\therefore z≥\frac{15}{2}$。设购买奖品的花费为W元，由题意，得$W=30z+15(30-z)=15z+450$，
$\because 15＞0$，$\therefore W$随z的增大而增大。$\therefore$当$z=8$时，W取最小值，此时$30-z=22$。
$\therefore$购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少。
解析
【分析】
(1) 第一问求两种奖品单价，属于二元一次方程组的实际应用类问题。解题时先分别设A、B奖品的单价为未知数，再根据题目给出的两个购买总费用的等量关系列出方程组，求解即可得到两种奖品的单价。
(2) 第二问设计最省钱的购买方案，需要先结合不等关系确定A奖品数量的取值范围，再根据总费用表达式的增减性找到费用最低的方案。首先设A奖品的购买数量为z，即可表示出B奖品的数量，根据“A奖品的数量不少于B奖品数量的$\frac{1}{3}$”列不等式求出z的取值范围；再列出总费用关于z的表达式，根据一次项系数的正负判断总费用随z的变化趋势，即可找到最优购买方案。
【解析】
(1) 设A奖品的单价为$x$元，B奖品的单价为$y$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}3x + 2y = 120 \\5x + 4y = 210 \end{cases}$
将第一个方程两边同时乘2，得$6x + 4y = 240$，用该式减去第二个方程：
$(6x + 4y) - (5x + 4y) = 240 - 210$，解得$x=30$
把$x=30$代入$3x + 2y = 120$，得$3×30 + 2y = 120$，解得$y=15$
(2) 设购买A奖品$z$个，则购买B奖品的数量为$(30 - z)$个，根据题意得：
$z ≥ \frac{1}{3}(30 - z)$
解不等式：两边同时乘3得$3z ≥ 30 - z$，移项合并同类项得$4z ≥ 30$，解得$z ≥ 7.5$
因为奖品数量为正整数，所以$z$的最小取值为8。
设购买奖品的总花费为$W$元，则：
$W = 30z + 15(30 - z) = 15z + 450$
因为$15＞0$，所以$W$随$z$的增大而增大，因此当$z$取最小值8时，$W$取得最小值。
此时B奖品的数量为$30 - 8 = 22$个。
【答案】
(1)A奖品的单价为30元，B奖品的单价为15元。
(2)最省钱的购买方案为购买A奖品8个，B奖品22个。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；最优方案设计
【点评】
本题是典型的生活实际应用类题型，综合考查了方程、不等式的列式求解以及一次式的增减性应用，解题核心是准确梳理题目中的等量关系和不等关系，将实际问题转化为数学模型求解，是应用性题型的常规考法。
【难度系数】
0.65
(1) 第一问求两种奖品单价，属于二元一次方程组的实际应用类问题。解题时先分别设A、B奖品的单价为未知数，再根据题目给出的两个购买总费用的等量关系列出方程组，求解即可得到两种奖品的单价。
(2) 第二问设计最省钱的购买方案，需要先结合不等关系确定A奖品数量的取值范围，再根据总费用表达式的增减性找到费用最低的方案。首先设A奖品的购买数量为z，即可表示出B奖品的数量，根据“A奖品的数量不少于B奖品数量的$\frac{1}{3}$”列不等式求出z的取值范围；再列出总费用关于z的表达式，根据一次项系数的正负判断总费用随z的变化趋势，即可找到最优购买方案。
【解析】
(1) 设A奖品的单价为$x$元，B奖品的单价为$y$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}3x + 2y = 120 \\5x + 4y = 210 \end{cases}$
将第一个方程两边同时乘2，得$6x + 4y = 240$，用该式减去第二个方程：
$(6x + 4y) - (5x + 4y) = 240 - 210$，解得$x=30$
把$x=30$代入$3x + 2y = 120$，得$3×30 + 2y = 120$，解得$y=15$
(2) 设购买A奖品$z$个，则购买B奖品的数量为$(30 - z)$个，根据题意得：
$z ≥ \frac{1}{3}(30 - z)$
解不等式：两边同时乘3得$3z ≥ 30 - z$，移项合并同类项得$4z ≥ 30$，解得$z ≥ 7.5$
因为奖品数量为正整数，所以$z$的最小取值为8。
设购买奖品的总花费为$W$元，则：
$W = 30z + 15(30 - z) = 15z + 450$
因为$15＞0$，所以$W$随$z$的增大而增大，因此当$z$取最小值8时，$W$取得最小值。
此时B奖品的数量为$30 - 8 = 22$个。
【答案】
(1)A奖品的单价为30元，B奖品的单价为15元。
(2)最省钱的购买方案为购买A奖品8个，B奖品22个。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；最优方案设计
【点评】
本题是典型的生活实际应用类题型，综合考查了方程、不等式的列式求解以及一次式的增减性应用，解题核心是准确梳理题目中的等量关系和不等关系，将实际问题转化为数学模型求解，是应用性题型的常规考法。
【难度系数】
0.65
5.把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本.这些书共有
26
本.答案
5. 26
解析
【分析】
这是一元一次不等式组的实际应用问题，解题思路如下：第一步，设同学人数为未知数，根据第一种分书方案表示出书的总数量；第二步，根据第二种分书方案的不等关系：最后一人分到的书的数量大于等于0且小于3（分不到3本），列出不等式组；第三步，解不等式组得到人数的取值范围，结合人数为正整数的实际要求确定人数，最后代入计算出书的总数即可。
【解析】
设共有$x$名同学，根据“每人分3本，余8本”，可得书的总数量为$(3x+8)$本。
第二种分书方案中，前$(x-1)$名同学每人分5本，最后一人分到的书的数量为$(3x+8)-5(x-1)$，结合“最后一人分不到3本”列不等式组：
$\begin{cases}(3x+8)-5(x-1) ≥ 0 \\(3x+8)-5(x-1) ＜ 3\end{cases}$
解第一个不等式：
$3x+8-5x+5 ≥ 0$
$-2x+13 ≥ 0$
$x ≤ 6.5$
解第二个不等式：
$3x+8-5x+5 ＜ 3$
$-2x+13 ＜ 3$
$x ＞ 5$
因此不等式组的解集为$5 ＜ x ≤ 6.5$。
由于$x$代表同学人数，必须是正整数，故$x=6$。
代入计算书的总数：$3×6 +8 = 26$（本）。
【答案】
26
【知识点】
一元一次不等式组的应用、不等式组的正整数解
【点评】
本题是不等式组实际应用的经典题型，解题的核心是准确提取题目中的不等关系列出不等式组，同时要注意实际问题中未知数的取值需符合现实意义，避免多解。
【难度系数】
0.65
这是一元一次不等式组的实际应用问题，解题思路如下：第一步，设同学人数为未知数，根据第一种分书方案表示出书的总数量；第二步，根据第二种分书方案的不等关系：最后一人分到的书的数量大于等于0且小于3（分不到3本），列出不等式组；第三步，解不等式组得到人数的取值范围，结合人数为正整数的实际要求确定人数，最后代入计算出书的总数即可。
【解析】
设共有$x$名同学，根据“每人分3本，余8本”，可得书的总数量为$(3x+8)$本。
第二种分书方案中，前$(x-1)$名同学每人分5本，最后一人分到的书的数量为$(3x+8)-5(x-1)$，结合“最后一人分不到3本”列不等式组：
$\begin{cases}(3x+8)-5(x-1) ≥ 0 \\(3x+8)-5(x-1) ＜ 3\end{cases}$
解第一个不等式：
$3x+8-5x+5 ≥ 0$
$-2x+13 ≥ 0$
$x ≤ 6.5$
解第二个不等式：
$3x+8-5x+5 ＜ 3$
$-2x+13 ＜ 3$
$x ＞ 5$
因此不等式组的解集为$5 ＜ x ≤ 6.5$。
由于$x$代表同学人数，必须是正整数，故$x=6$。
代入计算书的总数：$3×6 +8 = 26$（本）。
【答案】
26
【知识点】
一元一次不等式组的应用、不等式组的正整数解
【点评】
本题是不等式组实际应用的经典题型，解题的核心是准确提取题目中的不等关系列出不等式组，同时要注意实际问题中未知数的取值需符合现实意义，避免多解。
【难度系数】
0.65
6.某水果店以4元/kg的价格购进一批水果，由于销售状况良好，该店又再次购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了0.5元，所购水果质量恰好是第一次购进水果质量的2倍.已知该水果店两次购进水果共花去了2200元.
(1)该水果店两次分别购买了多少元的水果？
(2)在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的水果有3%的损耗，第二次购进的水果有5%的损耗，该水果店希望售完这些水果获利不低于1244元，则该水果每千克售价至少为多少元？
(1)该水果店两次分别购买了多少元的水果？
(2)在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的水果有3%的损耗，第二次购进的水果有5%的损耗，该水果店希望售完这些水果获利不低于1244元，则该水果每千克售价至少为多少元？
答案
(1)水果店两次分别购买了800元和1400元的水果。
(2)第一次所购该水果的质量为$800÷4=200(\mathrm{kg})$，第二次所购该水果的质量为$200×2=400(\mathrm{kg})$。设该水果每千克售价为a元，根据题意，得$[200(1-3\%)+400(1-5\%)]a-2200≥1244$。解得$a≥6$。答：该水果每千克售价至少为6元。
(2)第一次所购该水果的质量为$800÷4=200(\mathrm{kg})$，第二次所购该水果的质量为$200×2=400(\mathrm{kg})$。设该水果每千克售价为a元，根据题意，得$[200(1-3\%)+400(1-5\%)]a-2200≥1244$。解得$a≥6$。答：该水果每千克售价至少为6元。
解析
【分析】
(1) 本题第一问属于一元一次方程应用类问题，解题时先梳理已知条件：第一次进货单价4元/kg，第二次进货单价比第一次便宜0.5元即3.5元/kg，第二次进货质量是第一次的2倍，两次进货总花费为2200元。我们可以先设第一次进货质量为未知数，结合“总花费=第一次花费+第二次花费”的等量关系列方程，求出两次进货质量后再分别计算两次的进货费用即可。
(2) 第二问属于一元一次不等式的实际应用，核心要抓住“获利不低于1244元”的不等关系，即“总销售额 - 进货总成本 ≥ 1244元”。首先需要计算两次进货扣除损耗后可实际销售的水果质量，再设售价为未知数，根据不等关系列不等式求解，得到的最小解就是最低售价。
【解析】
(1) 设第一次购进水果的质量为$ x \, \mathrm{kg} $，则第二次购进水果的质量为$ 2x \, \mathrm{kg} $，第二次进货单价为$ 4 - 0.5 = 3.5 \, (\mathrm{元/kg}) $。
根据两次进货总花费为2200元，列方程：
$ 4x + 3.5 × 2x = 2200 $
化简得：$ 4x + 7x = 2200 $
即$ 11x = 2200 $，解得$ x = 200 $
第一次进货花费：$ 200 × 4 = 800 \, (\mathrm{元}) $
第二次进货花费：$ 2200 - 800 = 1400 \, (\mathrm{元}) $
(2) 先计算两次进货扣除损耗后的可销售质量：
第一次可销售质量：$ 200 × (1 - 3\%) = 194 \, (\mathrm{kg}) $
第二次可销售质量：$ 400 × (1 - 5\%) = 380 \, (\mathrm{kg}) $
设该水果每千克售价为$ a $元，根据获利不低于1244元列不等式：
$ (194 + 380)a - 2200 ≥ 1244 $
化简得：$ 574a ≥ 3444 $
解得$ a ≥ 6 $
【答案】
(1) 两次分别购买了800元和1400元的水果；
(2) 该水果每千克售价至少为6元。
【知识点】
一元一次方程应用，一元一次不等式应用，销售利润问题
【点评】
本题结合生活实际的销售场景考查方程与不等式的应用，解题的核心是准确梳理题目中的等量关系和不等关系，计算时需注意损耗部分不计入可销售质量，避免因忽略损耗导致列式错误。
【难度系数】
0.7
(1) 本题第一问属于一元一次方程应用类问题，解题时先梳理已知条件：第一次进货单价4元/kg，第二次进货单价比第一次便宜0.5元即3.5元/kg，第二次进货质量是第一次的2倍，两次进货总花费为2200元。我们可以先设第一次进货质量为未知数，结合“总花费=第一次花费+第二次花费”的等量关系列方程，求出两次进货质量后再分别计算两次的进货费用即可。
(2) 第二问属于一元一次不等式的实际应用，核心要抓住“获利不低于1244元”的不等关系，即“总销售额 - 进货总成本 ≥ 1244元”。首先需要计算两次进货扣除损耗后可实际销售的水果质量，再设售价为未知数，根据不等关系列不等式求解，得到的最小解就是最低售价。
【解析】
(1) 设第一次购进水果的质量为$ x \, \mathrm{kg} $，则第二次购进水果的质量为$ 2x \, \mathrm{kg} $，第二次进货单价为$ 4 - 0.5 = 3.5 \, (\mathrm{元/kg}) $。
根据两次进货总花费为2200元，列方程：
$ 4x + 3.5 × 2x = 2200 $
化简得：$ 4x + 7x = 2200 $
即$ 11x = 2200 $，解得$ x = 200 $
第一次进货花费：$ 200 × 4 = 800 \, (\mathrm{元}) $
第二次进货花费：$ 2200 - 800 = 1400 \, (\mathrm{元}) $
(2) 先计算两次进货扣除损耗后的可销售质量：
第一次可销售质量：$ 200 × (1 - 3\%) = 194 \, (\mathrm{kg}) $
第二次可销售质量：$ 400 × (1 - 5\%) = 380 \, (\mathrm{kg}) $
设该水果每千克售价为$ a $元，根据获利不低于1244元列不等式：
$ (194 + 380)a - 2200 ≥ 1244 $
化简得：$ 574a ≥ 3444 $
解得$ a ≥ 6 $
【答案】
(1) 两次分别购买了800元和1400元的水果；
(2) 该水果每千克售价至少为6元。
【知识点】
一元一次方程应用，一元一次不等式应用，销售利润问题
【点评】
本题结合生活实际的销售场景考查方程与不等式的应用，解题的核心是准确梳理题目中的等量关系和不等关系，计算时需注意损耗部分不计入可销售质量，避免因忽略损耗导致列式错误。
【难度系数】
0.7
