【感知】如图 $ \textcircled{1} $，在四边形ABCD中， AD=BC，P是对角线BD的中点，M是 DC的中点，N是AB的中点.求证： $ ∠ PMN=∠ PNM $（不用证明）.
【探究】（1）在上面题目的条件下，延长图 $ \textcircled{1} $中的线段 AD交 NM的延长线于点 E，延长线段 BC交 NM的延长线于点 F，如图 $ \textcircled{2} $，请证明 $ ∠ A E N=∠ F. $
【应用】（2）在（1）中，若 $ ∠ A+∠ A B C= $ $ 1 2 2° $ ，则 $ ∠ F $的大小为_______.

(1) 证明因为 P是BD的中点，M是 DC的中点，所以 PM是 $ △ D B C $的中位线.
所以 $ PM / / BC $ ， $ PM=\frac{1}{2} BC. $
所以 $ ∠ PMN=∠ F. $
同理可得 PN//AD， $ P N=\frac{1}{2} A D. $
所以 $ ∠ A E N=∠ P N M. $
因为 AD=BC，所以 PN=PM.所以 $ ∠ P N M=∠ P M N $ ，所以 $ ∠ A E N=∠ F. $
(2) 解析 因为 PM//BC，
所以 $ ∠ M P D=∠ F B D. $
因为 $PN / / AD$ ，所以 $ ∠ PNB=∠ A. $
所以 $ ∠ M P N=∠ M P D+∠ N P D= $ $ ∠ F B D+∠ A+∠ D B A=1 2 2°. $
所以 $ ∠ PMN=\frac{1}{2}×(1 8 0°-1 2 2°)=2 9°. $
所以 $ ∠ F=∠ PMN=29°. $
答案 29°

（1）证明：
∵ P是BD的中点，M是DC的中点，
∴ PM是$△ DBC$的中位线，
∴ $PM// BC$，$PM=\frac{1}{2}BC$，
∴ $∠PMN=∠F$.
同理，PN是$△ ABD$的中位线，
∴ $PN// AD$，$PN=\frac{1}{2}AD$，
∴ $∠AEN=∠PNM$.
∵ $AD=BC$，
∴ $PN=PM$，
∴ $∠PNM=∠PMN$，
∴ $∠AEN=∠F$.
（2）解：
∵ $PM// BC$，
∴ $∠MPD=∠FBD$.
∵ $PN// AD$，
∴ $∠PNB=∠A$.
∴ $∠MPN=∠MPD+∠NPD=∠FBD+∠A+∠DBA=∠A+∠ABC=122°$.
∵ $PN=PM$，
∴ $∠PMN=\frac{1}{2}×(180°-122°)=29°$.
∵ $∠F=∠PMN$，
∴ $∠F=29°$.
答：$∠F$的大小为$\boldsymbol{29°}$.

3. 如图，在菱形 ABCD的外侧，作等边三角形 CDE，连接 AE. 若 $ ∠ B=7 2° $ ，则 $ ∠ A E D= $ ___.

3. $24°$

4. 如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC的垂直平分线分别交 AB，CD，AC于点 E， F，O，连接 AF，CE，若 $ ∠ B C E=2 6° $ ，则 $ ∠ C A F= $ ___.
专题三 图形面积问题

4. $32°$

如图， $ \Box ABCD $的周长为36cm，DE $ \bot $AB于点E，DF $ \bot $BC，交CB的延长线于点F， DE=4cm，DF=5cm，求 $ \Box ABCD $的面积.

解设 AB=x cm，则 BC=（18-x）cm.
由 AB·DE=BC·DF，
得 4x=5（18-x）. 解得 x=10.
所以 $ S_{\Box ABCD}=10×4=40 ( \mathrm{c m}^{2}). $

解：设$ AB = x \ \mathrm{cm} $，
$ \because \Box ABCD $的周长为36cm，
$ \therefore AB + BC = 18\ \mathrm{cm} $，即$ BC = (18 - x)\ \mathrm{cm} $。
由$ \Box ABCD $的面积$ = AB · DE = BC · DF $，得：
$ 4x = 5(18 - x) $，
解得$ x = 10 $。
则$ S_{\Box ABCD} = 10 × 4 = 40\ (\mathrm{cm}^2) $。
答：$ \Box ABCD $的面积为$ 40\ \mathrm{cm}^2 $。