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1. 甲是乙现在的年龄时，乙8岁；乙是甲现在的年龄时，甲26岁。现在 （）
A.甲20岁，乙14岁
B.甲22岁，乙16岁
C.乙比甲大18岁
D.乙比甲大34岁
A.甲20岁，乙14岁
B.甲22岁，乙16岁
C.乙比甲大18岁
D.乙比甲大34岁
答案
A
解析
【分析】
本题为年龄问题，解题核心是两人的年龄差始终固定不变。我们可以通过设未知数表示甲乙现在的年龄，结合题干给出的两种假设情况列二元一次方程组求解，也可以直接将选项代入验证，两种方法都符合当前学段的知识要求，解题时注意时间向前推则年龄减少，时间向后推则年龄增加即可。
【解析】
方法一：方程法
设现在甲的年龄为$x$岁，乙的年龄为$y$岁，甲乙的年龄差为$(x-y)$岁。
①当甲是乙现在的年龄时，相当于时间往前推移了$(x-y)$年，此时乙的年龄为$y-(x-y)=8$，整理得：$2y - x = 8$；
②当乙是甲现在的年龄时，相当于时间往后推移了$(x-y)$年，此时甲的年龄为$x+(x-y)=26$，整理得：$2x - y = 26$。
联立两个方程，将$x=2y-8$代入$2x - y =26$，得：
$2(2y-8)-y=26$
$4y-16-y=26$
$3y=42$，解得$y=14$
将$y=14$代入$x=2y-8$，得$x=2×14-8=20$
即甲20岁，乙14岁。
方法二：代入排除法
首先判断年龄大小：由“乙是甲现在的年龄时，甲26岁”可知甲年龄比乙大，直接排除C、D选项。
代入A选项：甲20岁，乙14岁，年龄差为6岁。甲是乙现在的14岁时，是6年前，乙的年龄为$14-6=8$岁，符合第一个条件；乙是甲现在的20岁时，是6年后，甲的年龄为$20+6=26$岁，符合第二个条件，A正确。
代入B选项：甲22岁，乙16岁，年龄差为6岁。甲是乙现在的16岁时，是6年前，乙的年龄为$16-6=10≠8$，不符合条件，排除B。
【答案】
A
【知识点】
年龄差不变，二元一次方程组应用，代入排除法
【点评】
本题是年龄问题的常规考法，难度不高，只要抓住年龄差不变的核心规律，就能快速梳理等量关系解题，代入验证法也能帮助同学们快速排查错误选项，提高解题效率。
【难度系数】
0.7
本题为年龄问题，解题核心是两人的年龄差始终固定不变。我们可以通过设未知数表示甲乙现在的年龄，结合题干给出的两种假设情况列二元一次方程组求解，也可以直接将选项代入验证，两种方法都符合当前学段的知识要求，解题时注意时间向前推则年龄减少，时间向后推则年龄增加即可。
【解析】
方法一：方程法
设现在甲的年龄为$x$岁，乙的年龄为$y$岁，甲乙的年龄差为$(x-y)$岁。
①当甲是乙现在的年龄时，相当于时间往前推移了$(x-y)$年，此时乙的年龄为$y-(x-y)=8$，整理得：$2y - x = 8$；
②当乙是甲现在的年龄时，相当于时间往后推移了$(x-y)$年，此时甲的年龄为$x+(x-y)=26$，整理得：$2x - y = 26$。
联立两个方程，将$x=2y-8$代入$2x - y =26$，得：
$2(2y-8)-y=26$
$4y-16-y=26$
$3y=42$，解得$y=14$
将$y=14$代入$x=2y-8$，得$x=2×14-8=20$
即甲20岁，乙14岁。
方法二：代入排除法
首先判断年龄大小：由“乙是甲现在的年龄时，甲26岁”可知甲年龄比乙大，直接排除C、D选项。
代入A选项：甲20岁，乙14岁，年龄差为6岁。甲是乙现在的14岁时，是6年前，乙的年龄为$14-6=8$岁，符合第一个条件；乙是甲现在的20岁时，是6年后，甲的年龄为$20+6=26$岁，符合第二个条件，A正确。
代入B选项：甲22岁，乙16岁，年龄差为6岁。甲是乙现在的16岁时，是6年前，乙的年龄为$16-6=10≠8$，不符合条件，排除B。
【答案】
A
【知识点】
年龄差不变，二元一次方程组应用，代入排除法
【点评】
本题是年龄问题的常规考法，难度不高，只要抓住年龄差不变的核心规律，就能快速梳理等量关系解题，代入验证法也能帮助同学们快速排查错误选项，提高解题效率。
【难度系数】
0.7
2. 我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载:今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺,木长几何? 其大意是:用一根绳子去量一根木条,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量,木条还剩余1尺.问木条长多少尺? 设木条长为$x$尺,绳子长为$y$尺,依题意,可列方程组为 ()
A.$\begin{cases} y = x - 4.5, \\ \dfrac{1}{2}y = x + 1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} y = x + 4.5, \\ \dfrac{1}{2}y = x - 1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} y = x + 4.5, \\ y = 2x - 1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} y = x - 4.5, \\ y = 2x - 1 \end{cases}$
A.$\begin{cases} y = x - 4.5, \\ \dfrac{1}{2}y = x + 1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} y = x + 4.5, \\ \dfrac{1}{2}y = x - 1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} y = x + 4.5, \\ y = 2x - 1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} y = x - 4.5, \\ y = 2x - 1 \end{cases}$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先明确本题要求是根据题意列二元一次方程组，核心是找到两个对应绳长和木长的等量关系。已知设木条长$x$尺，绳子长$y$尺：
第一步分析第一个测量情况：用整根绳子量木条，绳子还剩4.5尺，说明绳子的长度比木条的长度多4.5尺，据此可以列出第一个方程；
第二步分析对折测量的情况：绳子对折后长度变为原来的$\frac{1}{2}$，此时量木条，木条还多1尺，也就是对折后的绳子长度比木条长度少1尺，据此列出第二个方程，联立两个方程即可得到对应方程组，再匹配选项即可。
【解析】
1. 根据“引绳度之，余绳四尺五寸”，绳长比木条长4.5尺，列方程：$y = x + 4.5$；
2. 根据“屈绳量之，不足一尺”，绳子对折后长度为$\frac{1}{2}y$，此时比木条短1尺，列方程：$\frac{1}{2}y = x - 1$；
联立两个方程可得方程组$\begin{cases} y = x + 4.5, \\ \dfrac{1}{2}y = x - 1 \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组应用、等量关系提取
【点评】
本题以古代数学问题为背景，解题关键是准确理解文言描述的含义，理清绳长和木长之间的数量关系，避免将“余”“不足”对应的加减关系搞反。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确本题要求是根据题意列二元一次方程组，核心是找到两个对应绳长和木长的等量关系。已知设木条长$x$尺，绳子长$y$尺：
第一步分析第一个测量情况：用整根绳子量木条，绳子还剩4.5尺，说明绳子的长度比木条的长度多4.5尺，据此可以列出第一个方程；
第二步分析对折测量的情况：绳子对折后长度变为原来的$\frac{1}{2}$，此时量木条，木条还多1尺，也就是对折后的绳子长度比木条长度少1尺，据此列出第二个方程，联立两个方程即可得到对应方程组，再匹配选项即可。
【解析】
1. 根据“引绳度之，余绳四尺五寸”，绳长比木条长4.5尺，列方程：$y = x + 4.5$；
2. 根据“屈绳量之，不足一尺”，绳子对折后长度为$\frac{1}{2}y$，此时比木条短1尺，列方程：$\frac{1}{2}y = x - 1$；
联立两个方程可得方程组$\begin{cases} y = x + 4.5, \\ \dfrac{1}{2}y = x - 1 \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组应用、等量关系提取
【点评】
本题以古代数学问题为背景，解题关键是准确理解文言描述的含义，理清绳长和木长之间的数量关系，避免将“余”“不足”对应的加减关系搞反。
【难度系数】
0.8
3.若$3x+7y+z=5,4x+10y+z=3$,则$x+y+z$的值等于 （）
A.9
B.2
C.$-9$
D.不能求出
A.9
B.2
C.$-9$
D.不能求出
答案
【解析】: 令$3x+7y+z=5$为①式，$4x+10y+z=3$为②式，
用②-①得：$x+3y=-2$ ③，
将①式乘3得：$9x+21y+3z=15$，
将②式乘2得：$8x+20y+2z=6$，
两式相减可得：$x+y+z=9$。
【答案】: A
用②-①得：$x+3y=-2$ ③，
将①式乘3得：$9x+21y+3z=15$，
将②式乘2得：$8x+20y+2z=6$，
两式相减可得：$x+y+z=9$。
【答案】: A
解析
【分析】
题目给出两个含三个未知数的等式，无法直接求出x、y、z的单独取值，因此考虑用整体思想求解目标式x+y+z。解题时先通过两个已知等式相减消去z，得到x与y的数量关系，再对原等式乘适当的系数后相减，凑出x+y+z的整体，即可求出结果。
【解析】
令$3x+7y+z=5$为①式，$4x+10y+z=3$为②式。
1. 消去z得到x和y的关系：用②$-$①得：
$(4x+10y+z)-(3x+7y+z)=3-5$，化简得$x+3y=-2$ ③。
2. 凑出$x+y+z$的整体：将①式两边同时乘3得：$9x+21y+3z=15$ ④，
将②式两边同时乘2得：$8x+20y+2z=6$ ⑤，
用④$-$⑤得：$(9x+21y+3z)-(8x+20y+2z)=15-6$，化简得$x+y+z=9$。
【答案】
A
【知识点】
消元法解方程组，整体思想求值，整式的加减运算
【点评】
本题重点考察消元法的应用和整体求值的思维，不需要单独求解每个未知数，通过对已知等式变形凑出目标式即可简化计算，避免了常规解方程组的复杂步骤。
【难度系数】
0.7
题目给出两个含三个未知数的等式，无法直接求出x、y、z的单独取值，因此考虑用整体思想求解目标式x+y+z。解题时先通过两个已知等式相减消去z，得到x与y的数量关系，再对原等式乘适当的系数后相减，凑出x+y+z的整体，即可求出结果。
【解析】
令$3x+7y+z=5$为①式，$4x+10y+z=3$为②式。
1. 消去z得到x和y的关系：用②$-$①得：
$(4x+10y+z)-(3x+7y+z)=3-5$，化简得$x+3y=-2$ ③。
2. 凑出$x+y+z$的整体：将①式两边同时乘3得：$9x+21y+3z=15$ ④，
将②式两边同时乘2得：$8x+20y+2z=6$ ⑤，
用④$-$⑤得：$(9x+21y+3z)-(8x+20y+2z)=15-6$，化简得$x+y+z=9$。
【答案】
A
【知识点】
消元法解方程组，整体思想求值，整式的加减运算
【点评】
本题重点考察消元法的应用和整体求值的思维，不需要单独求解每个未知数，通过对已知等式变形凑出目标式即可简化计算，避免了常规解方程组的复杂步骤。
【难度系数】
0.7
4.如图,两架天平均保持平衡,且每块巧克力的质量相等,每个果冻的质量也相等,则一块巧克力的质量是 ()
A.10 g
B.20 g
C.25 g
D.30 g
A.10 g
B.20 g
C.25 g
D.30 g
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用天平平衡时左右两侧质量相等的原理，找到两个等量关系：①3块巧克力的总质量=2个果冻的总质量；②1块巧克力的质量+1个果冻的质量=50g。我们可以通过设未知数，列方程（组）的方式求解巧克力的质量。
【解析】
设一块巧克力的质量为$x\ \mathrm{g}$，一个果冻的质量为$y\ \mathrm{g}$。
根据第一架天平的平衡关系可得：$3x=2y$ ①
根据第二架天平的平衡关系可得：$x+y=50$ ②
将②式变形为$y=50-x$，代入①式得：
$3x=2(50-x)$
展开计算：$3x=100-2x$
移项合并同类项：$5x=100$
解得：$x=20$
即一块巧克力的质量为20g。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用、天平平衡原理、等式的性质
【点评】
本题是结合生活场景的基础应用题，解题关键是从天平平衡的状态中提取正确的等量关系，建立方程求解，考查了学生的读图能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先利用天平平衡时左右两侧质量相等的原理，找到两个等量关系：①3块巧克力的总质量=2个果冻的总质量；②1块巧克力的质量+1个果冻的质量=50g。我们可以通过设未知数，列方程（组）的方式求解巧克力的质量。
【解析】
设一块巧克力的质量为$x\ \mathrm{g}$，一个果冻的质量为$y\ \mathrm{g}$。
根据第一架天平的平衡关系可得：$3x=2y$ ①
根据第二架天平的平衡关系可得：$x+y=50$ ②
将②式变形为$y=50-x$，代入①式得：
$3x=2(50-x)$
展开计算：$3x=100-2x$
移项合并同类项：$5x=100$
解得：$x=20$
即一块巧克力的质量为20g。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用、天平平衡原理、等式的性质
【点评】
本题是结合生活场景的基础应用题，解题关键是从天平平衡的状态中提取正确的等量关系，建立方程求解，考查了学生的读图能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
