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5. 下列四组数值中,是方程组$\begin{cases}x + 2y + z = 0, \\2x - y - z = 1, \\3x - y - z = 2\end{cases}$的解的是（ ）
A.$\begin{cases}x = 0, \\y = 1, \\z = -2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 0, \\y = 0, \\z = 1\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 0, \\y = -1, \\z = 0\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 1, \\y = -2, \\z = 3\end{cases}$
A.$\begin{cases}x = 0, \\y = 1, \\z = -2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 0, \\y = 0, \\z = 1\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 0, \\y = -1, \\z = 0\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 1, \\y = -2, \\z = 3\end{cases}$
答案
D
解析
【分析】
判断方程组的解可以采用两种思路：一是将四个选项分别代入三个方程，同时满足所有方程的就是方程组的解；二是通过消元法先解出方程组的解，再匹配选项。观察本题后两个方程，含y、z的项完全相同，直接相减可快速求出x的值，能直接缩小选项范围，简化解题过程。
【解析】
记方程组三个方程分别为：
①$x + 2y + z = 0$
②$2x - y - z = 1$
③$3x - y - z = 2$
用③减去②，左边为$(3x - y - z)-(2x - y - z)=x$，右边为$2-1=1$，可得$x=1$。
四个选项中仅D选项的$x=1$，将D选项的数值代入三个方程验证：
代入①：$1+2×(-2)+3=1-4+3=0$，符合方程①；
代入②：$2×1 - (-2) -3=2+2-3=1$，符合方程②；
代入③：$3×1 - (-2) -3=3+2-3=2$，符合方程③。
因此D选项是方程组的解。
（也可采用代入排除法：A选项代入③得$0 - 1 - (-2)=1≠2$，排除；B选项代入①得$0+0+1=1≠0$，排除；C选项代入①得$0+2×(-1)+0=-2≠0$，排除，最终选D）
【答案】
D
【知识点】
三元一次方程组的解，加减消元法
【点评】
本题解题时可以选择代入验证法，也可以通过观察方程的结构特征，用加减消元法快速求出某个未知数的值，优先观察方程特点能大幅提高解题效率。
【难度系数】
0.8
判断方程组的解可以采用两种思路：一是将四个选项分别代入三个方程，同时满足所有方程的就是方程组的解；二是通过消元法先解出方程组的解，再匹配选项。观察本题后两个方程，含y、z的项完全相同，直接相减可快速求出x的值，能直接缩小选项范围，简化解题过程。
【解析】
记方程组三个方程分别为：
①$x + 2y + z = 0$
②$2x - y - z = 1$
③$3x - y - z = 2$
用③减去②，左边为$(3x - y - z)-(2x - y - z)=x$，右边为$2-1=1$，可得$x=1$。
四个选项中仅D选项的$x=1$，将D选项的数值代入三个方程验证：
代入①：$1+2×(-2)+3=1-4+3=0$，符合方程①；
代入②：$2×1 - (-2) -3=2+2-3=1$，符合方程②；
代入③：$3×1 - (-2) -3=3+2-3=2$，符合方程③。
因此D选项是方程组的解。
（也可采用代入排除法：A选项代入③得$0 - 1 - (-2)=1≠2$，排除；B选项代入①得$0+0+1=1≠0$，排除；C选项代入①得$0+2×(-1)+0=-2≠0$，排除，最终选D）
【答案】
D
【知识点】
三元一次方程组的解，加减消元法
【点评】
本题解题时可以选择代入验证法，也可以通过观察方程的结构特征，用加减消元法快速求出某个未知数的值，优先观察方程特点能大幅提高解题效率。
【难度系数】
0.8
6.若一个三角形的周长为24，其中两条边的长度之和比第三条边多4，而它们的差是第三条边的$\frac{1}{5}$，则三角形中最短的一条边的长度为。
答案
解：
设这个三角形的三条边长分别为$x$，$y$，$z$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y + z = 24 \\x + y - z = 4 \\x - y = \frac{1}{5}z\end{cases}$
将前两个方程相加，得$2(x+y)=28$，即$x+y=14$，代入第一个方程得$14+z=24$，解得$z=10$。
把$z=10$代入$x-y=\frac{1}{5}z$，得$x-y=2$。
联立$\begin{cases}x+y=14 \\ x-y=2\end{cases}$，两式相加得$2x=16$，解得$x=8$，将$x=8$代入$x+y=14$得$y=6$。
该三角形三边长为6，8，10，因此最短的一条边的长度为$\boldsymbol{6}$。
设这个三角形的三条边长分别为$x$，$y$，$z$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y + z = 24 \\x + y - z = 4 \\x - y = \frac{1}{5}z\end{cases}$
将前两个方程相加，得$2(x+y)=28$，即$x+y=14$，代入第一个方程得$14+z=24$，解得$z=10$。
把$z=10$代入$x-y=\frac{1}{5}z$，得$x-y=2$。
联立$\begin{cases}x+y=14 \\ x-y=2\end{cases}$，两式相加得$2x=16$，解得$x=8$，将$x=8$代入$x+y=14$得$y=6$。
该三角形三边长为6，8，10，因此最短的一条边的长度为$\boldsymbol{6}$。
解析
【分析】
解决这道题我们可以按照以下思路思考：首先从题干中提取三个明确的等量关系：一是三角形三边之和等于周长24；二是其中两条边的长度之和比第三条边多4；三是这两条边的差是第三条边的$\frac{1}{5}$。我们可以设三条边的长度为未知数，根据等量关系列出方程组，再通过消元法逐步求出每条边的长度，最后比较三边大小就能得到最短边的长度。
【解析】
设这个三角形的三条边长分别为$x$，$y$，$z$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y + z = 24 \\x + y - z = 4 \\x - y = \frac{1}{5}z\end{cases}$
将前两个方程相加，得$2(x+y)=28$，即$x+y=14$，代入第一个方程得$14+z=24$，解得$z=10$。
把$z=10$代入$x-y=\frac{1}{5}z$，得$x-y=2$。
联立$\begin{cases}x+y=14 \\ x-y=2\end{cases}$，两式相加得$2x=16$，解得$x=8$，将$x=8$代入$x+y=14$得$y=6$。
可知该三角形三边长为6，8，10，因此最短的一条边的长度为6。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
三元一次方程组的应用；消元法解方程组；三角形周长计算
【点评】
本题是方程思想在几何问题中的典型应用，解题核心是准确梳理题干中的等量关系，通过设未知数列方程组，再用消元法逐步求解，最后要注意比对三边长度得到所求的最短边，整体解题逻辑清晰，侧重考查学生提取信息和计算的能力。
【难度系数】
0.7
解决这道题我们可以按照以下思路思考：首先从题干中提取三个明确的等量关系：一是三角形三边之和等于周长24；二是其中两条边的长度之和比第三条边多4；三是这两条边的差是第三条边的$\frac{1}{5}$。我们可以设三条边的长度为未知数，根据等量关系列出方程组，再通过消元法逐步求出每条边的长度，最后比较三边大小就能得到最短边的长度。
【解析】
设这个三角形的三条边长分别为$x$，$y$，$z$，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y + z = 24 \\x + y - z = 4 \\x - y = \frac{1}{5}z\end{cases}$
将前两个方程相加，得$2(x+y)=28$，即$x+y=14$，代入第一个方程得$14+z=24$，解得$z=10$。
把$z=10$代入$x-y=\frac{1}{5}z$，得$x-y=2$。
联立$\begin{cases}x+y=14 \\ x-y=2\end{cases}$，两式相加得$2x=16$，解得$x=8$，将$x=8$代入$x+y=14$得$y=6$。
可知该三角形三边长为6，8，10，因此最短的一条边的长度为6。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
三元一次方程组的应用；消元法解方程组；三角形周长计算
【点评】
本题是方程思想在几何问题中的典型应用，解题核心是准确梳理题干中的等量关系，通过设未知数列方程组，再用消元法逐步求解，最后要注意比对三边长度得到所求的最短边，整体解题逻辑清晰，侧重考查学生提取信息和计算的能力。
【难度系数】
0.7
7.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大1，若将个位与十位数字对调，得到的新数比原数大9.设原数十位上的数字为$ x $，个位上的数字为$ y $，根据题意，可列方程组为。
答案
解：
根据“十位上的数字比个位上的数字大1”，可得方程：$x - y = 1$
原两位数为$10x + y$，对调后得到的新两位数为$10y + x$，根据“新数比原数大9”，可得方程：$10y + x = 10x + y + 9$
所列方程组为
$\begin{cases}x - y = 1 \\10y + x = 10x + y + 9\end{cases}$
根据“十位上的数字比个位上的数字大1”，可得方程：$x - y = 1$
原两位数为$10x + y$，对调后得到的新两位数为$10y + x$，根据“新数比原数大9”，可得方程：$10y + x = 10x + y + 9$
所列方程组为
$\begin{cases}x - y = 1 \\10y + x = 10x + y + 9\end{cases}$
解析
【分析】
解题时先明确题目给出的两个等量关系，再结合两位数的表示方法列方程即可。首先题目已设原数十位数字为$x$，个位数字为$y$，第一个已知条件是“十位上的数字比个位上的数字大1”，可直接得到第一个等量关系；第二个条件是个位与十位对调后的新数比原数大9，需要先明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字，分别表示出原数和对调后的新数，再根据大小关系得到第二个等量关系，两个方程联立就是所求的方程组。
【解析】
1. 根据“十位上的数字比个位上的数字大1”，可得等量关系：十位数字 - 个位数字 = 1，代入$x$、$y$得方程：$x - y = 1$。
2. 表示原数和对调后的新数：原两位数的十位是$x$、个位是$y$，因此原数为$10x + y$；将个位和十位数字对调后，新数的十位是$y$、个位是$x$，因此新数为$10y + x$。
3. 根据“新数比原数大9”，可得等量关系：新数 = 原数 + 9，代入代数式得方程：$10y + x = 10x + y + 9$。
4. 将两个方程联立，得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases}x - y = 1 \\10y + x = 10x + y + 9\end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组列法
2. 两位数表示方法
3. 等量关系提取
【点评】
本题属于数字类的方程应用基础题，解题的核心是正确掌握两位数的表示方法，准确从题干中提取两个对应的等量关系，注意数字对调后十位和个位的位置不要混淆。
【难度系数】
0.8
解题时先明确题目给出的两个等量关系，再结合两位数的表示方法列方程即可。首先题目已设原数十位数字为$x$，个位数字为$y$，第一个已知条件是“十位上的数字比个位上的数字大1”，可直接得到第一个等量关系；第二个条件是个位与十位对调后的新数比原数大9，需要先明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字，分别表示出原数和对调后的新数，再根据大小关系得到第二个等量关系，两个方程联立就是所求的方程组。
【解析】
1. 根据“十位上的数字比个位上的数字大1”，可得等量关系：十位数字 - 个位数字 = 1，代入$x$、$y$得方程：$x - y = 1$。
2. 表示原数和对调后的新数：原两位数的十位是$x$、个位是$y$，因此原数为$10x + y$；将个位和十位数字对调后，新数的十位是$y$、个位是$x$，因此新数为$10y + x$。
3. 根据“新数比原数大9”，可得等量关系：新数 = 原数 + 9，代入代数式得方程：$10y + x = 10x + y + 9$。
4. 将两个方程联立，得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases}x - y = 1 \\10y + x = 10x + y + 9\end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组列法
2. 两位数表示方法
3. 等量关系提取
【点评】
本题属于数字类的方程应用基础题，解题的核心是正确掌握两位数的表示方法，准确从题干中提取两个对应的等量关系，注意数字对调后十位和个位的位置不要混淆。
【难度系数】
0.8
8.把一批图书分给某班学生阅读，若每人发3本，则剩余20本；若每人发4本，则缺25本.这个班有名学生.
答案
解：设这个班有x名学生。
根据图书总数相等列方程：
$3x + 20 = 4x - 25$
移项得：
$3x - 4x = -25 - 20$
合并同类项得：
$-x = -45$
系数化为1得：
$x = 45$
答：这个班有45名学生。
根据图书总数相等列方程：
$3x + 20 = 4x - 25$
移项得：
$3x - 4x = -25 - 20$
合并同类项得：
$-x = -45$
系数化为1得：
$x = 45$
答：这个班有45名学生。
解析
【分析】
这是一道分配类的应用题，解题核心是找到题目中的不变量——图书总数量。我们可以先设这个班的学生人数为未知数x，分别根据两种分书规则表示出图书的总数量，由于总数量是固定的，因此两个表示总数量的式子相等，据此列出一元一次方程，再按一元一次方程的求解步骤计算就能得到学生人数。
【解析】
解：设这个班有x名学生。
根据图书总数相等列方程：
$3x + 20 = 4x - 25$
移项得：
$3x - 4x = -25 - 20$
合并同类项得：
$-x = -45$
系数化为1得：
$x = 45$
答：这个班有45名学生。
【答案】
45
【知识点】
一元一次方程的实际应用，解一元一次方程
【点评】
本题是典型的盈余不足类应用题，解题关键是抓住分配过程中的不变量建立等量关系，能有效考查学生分析问题、用方程求解实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
这是一道分配类的应用题，解题核心是找到题目中的不变量——图书总数量。我们可以先设这个班的学生人数为未知数x，分别根据两种分书规则表示出图书的总数量，由于总数量是固定的，因此两个表示总数量的式子相等，据此列出一元一次方程，再按一元一次方程的求解步骤计算就能得到学生人数。
【解析】
解：设这个班有x名学生。
根据图书总数相等列方程：
$3x + 20 = 4x - 25$
移项得：
$3x - 4x = -25 - 20$
合并同类项得：
$-x = -45$
系数化为1得：
$x = 45$
答：这个班有45名学生。
【答案】
45
【知识点】
一元一次方程的实际应用，解一元一次方程
【点评】
本题是典型的盈余不足类应用题，解题关键是抓住分配过程中的不变量建立等量关系，能有效考查学生分析问题、用方程求解实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
9.为了丰富同学们的课余生活，学校组织开展了篮球赛.为此学校到篮球专卖店购买了A,B两种不同款式的篮球，其中A款每个180元，B款每个120元，学校用2 940元从这家专卖店购买了这两种篮球共17个.学校购买A款、B款篮球各多少个？
答案
解：设学校购买A款篮球x个，则购买B款篮球$(17 - x)$个。
根据题意列方程：
$180x + 120(17 - x) = 2940$
去括号，得：$180x + 2040 - 120x = 2940$
移项、合并同类项，得：$60x = 900$
系数化为1，得：$x = 15$
B款篮球数量为：$17 - 15 = 2$（个）
答：学校购买A款篮球15个，B款篮球2个。
根据题意列方程：
$180x + 120(17 - x) = 2940$
去括号，得：$180x + 2040 - 120x = 2940$
移项、合并同类项，得：$60x = 900$
系数化为1，得：$x = 15$
B款篮球数量为：$17 - 15 = 2$（个）
答：学校购买A款篮球15个，B款篮球2个。
解析
【分析】
这是一元一次方程实际应用类题目，解题时首先要明确题干中的两个核心等量关系：①A款篮球数量+B款篮球数量=17个；②购买A款篮球的总费用+购买B款篮球的总费用=2940元。我们可以先设A款篮球的购买数量为未知数，用总数量表示出B款篮球的数量，再根据总费用的等量关系列方程，最后解方程求出两种篮球的数量即可。
【解析】
解：设学校购买A款篮球x个，则购买B款篮球$(17 - x)$个。
根据题意列方程：
$180x + 120(17 - x) = 2940$
去括号，得：$180x + 2040 - 120x = 2940$
移项、合并同类项，得：$60x = 900$
系数化为1，得：$x = 15$
则B款篮球数量为：$17 - 15 = 2$（个）
答：学校购买A款篮球15个，B款篮球2个。
【答案】
学校购买A款篮球15个，B款篮球2个。
【知识点】
一元一次方程的应用；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础的实际应用题，解题核心是从题干中提取总数量、总费用两个等量关系，严格按照列方程解应用题的“设、列、解、答”步骤规范作答即可。
【难度系数】
0.8
这是一元一次方程实际应用类题目，解题时首先要明确题干中的两个核心等量关系：①A款篮球数量+B款篮球数量=17个；②购买A款篮球的总费用+购买B款篮球的总费用=2940元。我们可以先设A款篮球的购买数量为未知数，用总数量表示出B款篮球的数量，再根据总费用的等量关系列方程，最后解方程求出两种篮球的数量即可。
【解析】
解：设学校购买A款篮球x个，则购买B款篮球$(17 - x)$个。
根据题意列方程：
$180x + 120(17 - x) = 2940$
去括号，得：$180x + 2040 - 120x = 2940$
移项、合并同类项，得：$60x = 900$
系数化为1，得：$x = 15$
则B款篮球数量为：$17 - 15 = 2$（个）
答：学校购买A款篮球15个，B款篮球2个。
【答案】
学校购买A款篮球15个，B款篮球2个。
【知识点】
一元一次方程的应用；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础的实际应用题，解题核心是从题干中提取总数量、总费用两个等量关系，严格按照列方程解应用题的“设、列、解、答”步骤规范作答即可。
【难度系数】
0.8
