登录
10.已知等式 $ y = ax^2 + bx + c $，当 $ x=1 $ 时，$ y=0 $；当 $ x=2 $ 时，$ y=3 $；当 $ x=-3 $ 时，$ y=28 $。
（1）求 $ a,b,c $ 的值；
（2）当 $ x=-2 $ 时，$ y $ 的值是多少？
（1）求 $ a,b,c $ 的值；
（2）当 $ x=-2 $ 时，$ y $ 的值是多少？
答案
解：
(1) 将$x=1,y=0$；$x=2,y=3$；$x=-3,y=28$分别代入$y=ax^2+bx+c$，得方程组：
$\begin{cases}a + b + c = 0 \quad ① \\4a + 2b + c = 3 \quad ② \\9a - 3b + c = 28 \quad ③\end{cases}$
②$-$①，得：$3a + b = 3 \quad ④$
③$-$②，得：$5a - 5b = 25$，化简得$a - b = 5 \quad ⑤$
④$+$⑤，得：$4a = 8$，解得$a=2$
把$a=2$代入⑤，得$2 - b = 5$，解得$b=-3$
把$a=2$，$b=-3$代入①，得$2 - 3 + c = 0$，解得$c=1$
因此$a=2$，$b=-3$，$c=1$。
(2) 将$a=2,b=-3,c=1$代入等式，得$y=2x^2 - 3x + 1$
当$x=-2$时：
$y=2×(-2)^2 - 3×(-2) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15$
答：(1) $a=2$，$b=-3$，$c=1$；(2) 当$x=-2$时，$y$的值为15。
(1) 将$x=1,y=0$；$x=2,y=3$；$x=-3,y=28$分别代入$y=ax^2+bx+c$，得方程组：
$\begin{cases}a + b + c = 0 \quad ① \\4a + 2b + c = 3 \quad ② \\9a - 3b + c = 28 \quad ③\end{cases}$
②$-$①，得：$3a + b = 3 \quad ④$
③$-$②，得：$5a - 5b = 25$，化简得$a - b = 5 \quad ⑤$
④$+$⑤，得：$4a = 8$，解得$a=2$
把$a=2$代入⑤，得$2 - b = 5$，解得$b=-3$
把$a=2$，$b=-3$代入①，得$2 - 3 + c = 0$，解得$c=1$
因此$a=2$，$b=-3$，$c=1$。
(2) 将$a=2,b=-3,c=1$代入等式，得$y=2x^2 - 3x + 1$
当$x=-2$时：
$y=2×(-2)^2 - 3×(-2) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15$
答：(1) $a=2$，$b=-3$，$c=1$；(2) 当$x=-2$时，$y$的值为15。
解析
【分析】
本题考查待定系数法求代数式系数及代数式求值的应用。解题思路：（1）要求a、b、c三个未知数的值，已知三组x、y的对应值，将三组值分别代入等式$y=ax^2+bx+c$，即可得到含三个未知数的三元一次方程组，再通过加减消元法逐步消元，先消去c得到关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值后，再代入求c即可。（2）将第（1）问求出的a、b、c的值代回原式得到y关于x的代数式，再把$x=-2$代入代数式计算就能得到对应的y值。
【解析】
(1) 将$x=1,y=0$；$x=2,y=3$；$x=-3,y=28$分别代入$y=ax^2+bx+c$，得方程组：
$\begin{cases}a + b + c = 0 \quad ① \\4a + 2b + c = 3 \quad ② \\9a - 3b + c = 28 \quad ③\end{cases}$
②$-$①，消去c得：$3a + b = 3 \quad ④$
③$-$②，消去c得：$5a - 5b = 25$，化简得$a - b = 5 \quad ⑤$
④$+$⑤，消去b得：$4a = 8$，解得$a=2$
把$a=2$代入⑤，得$2 - b = 5$，解得$b=-3$
把$a=2$，$b=-3$代入①，得$2 - 3 + c = 0$，解得$c=1$
(2) 将$a=2,b=-3,c=1$代入原等式，得$y=2x^2 - 3x + 1$
当$x=-2$时，代入上式计算：
$y=2×(-2)^2 - 3×(-2) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15$
【答案】
(1) $a=2$，$b=-3$，$c=1$；(2) 当$x=-2$时，$y$的值为15。
【知识点】
待定系数法，三元一次方程组的解法，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是利用已知条件建立方程组求解未知系数，解题时要注意加减消元的计算准确性，代入求值时要注意负数乘方、乘法的符号问题，熟练掌握三元一次方程组的消元方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题考查待定系数法求代数式系数及代数式求值的应用。解题思路：（1）要求a、b、c三个未知数的值，已知三组x、y的对应值，将三组值分别代入等式$y=ax^2+bx+c$，即可得到含三个未知数的三元一次方程组，再通过加减消元法逐步消元，先消去c得到关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值后，再代入求c即可。（2）将第（1）问求出的a、b、c的值代回原式得到y关于x的代数式，再把$x=-2$代入代数式计算就能得到对应的y值。
【解析】
(1) 将$x=1,y=0$；$x=2,y=3$；$x=-3,y=28$分别代入$y=ax^2+bx+c$，得方程组：
$\begin{cases}a + b + c = 0 \quad ① \\4a + 2b + c = 3 \quad ② \\9a - 3b + c = 28 \quad ③\end{cases}$
②$-$①，消去c得：$3a + b = 3 \quad ④$
③$-$②，消去c得：$5a - 5b = 25$，化简得$a - b = 5 \quad ⑤$
④$+$⑤，消去b得：$4a = 8$，解得$a=2$
把$a=2$代入⑤，得$2 - b = 5$，解得$b=-3$
把$a=2$，$b=-3$代入①，得$2 - 3 + c = 0$，解得$c=1$
(2) 将$a=2,b=-3,c=1$代入原等式，得$y=2x^2 - 3x + 1$
当$x=-2$时，代入上式计算：
$y=2×(-2)^2 - 3×(-2) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15$
【答案】
(1) $a=2$，$b=-3$，$c=1$；(2) 当$x=-2$时，$y$的值为15。
【知识点】
待定系数法，三元一次方程组的解法，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心是利用已知条件建立方程组求解未知系数，解题时要注意加减消元的计算准确性，代入求值时要注意负数乘方、乘法的符号问题，熟练掌握三元一次方程组的消元方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
11. 五四青年节某校举办歌咏比赛，为鼓励本班同学积极参加，刘老师花了48元钱买了甲、乙两种（两种都买）中性笔作为奖品。已知甲种笔每支6元，乙种笔每支4元，则老师购买两种笔的方案共有（）
A.4种
B.3种
C.2种
D.1种
A.4种
B.3种
C.2种
D.1种
答案
B
解析
【分析】
解决这道题首先要抓住题目中的等量关系：购买甲种笔的总费用+购买乙种笔的总费用=48元，且两种笔都购买，说明两种笔的数量均为正整数。我们可以先设两种笔的购买数量为未知数，列出二元一次方程，再通过变形方程，结合正整数的限制条件枚举所有符合要求的解，即可得到方案总数。
【解析】
设购买甲种中性笔$x$支，乙种中性笔$y$支，其中$x,y$均为正整数。
根据总费用为48元，可列方程：
$6x + 4y = 48$
化简方程得：$3x + 2y = 24$
将方程变形用$x$表示$y$：$y = 12 - \frac{3x}{2}$
因为$y$是正整数，所以$\frac{3x}{2}$必须是整数，即$x$为偶数，同时满足：
$\begin{cases}x ≥ 1 \\ y = 12 - \frac{3x}{2} ＞ 0 \end{cases}$
解不等式$12 - \frac{3x}{2} ＞ 0$得：$x ＜ 8$
结合$x$是正偶数，可得$x$的取值为2、4、6：
当$x=2$时，$y=12 - \frac{3×2}{2}=9$，符合要求；
当$x=4$时，$y=12 - \frac{3×4}{2}=6$，符合要求；
当$x=6$时，$y=12 - \frac{3×6}{2}=3$，符合要求。
综上，共有3种购买方案。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程应用，二元一次方程正整数解
【点评】
本题是典型的方案类实际应用题，解题的关键是准确提取等量关系列方程，同时不要忽略“两种都买”这一限制条件，避免出现多算$x=0$或$y=0$的错误情况。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要抓住题目中的等量关系：购买甲种笔的总费用+购买乙种笔的总费用=48元，且两种笔都购买，说明两种笔的数量均为正整数。我们可以先设两种笔的购买数量为未知数，列出二元一次方程，再通过变形方程，结合正整数的限制条件枚举所有符合要求的解，即可得到方案总数。
【解析】
设购买甲种中性笔$x$支，乙种中性笔$y$支，其中$x,y$均为正整数。
根据总费用为48元，可列方程：
$6x + 4y = 48$
化简方程得：$3x + 2y = 24$
将方程变形用$x$表示$y$：$y = 12 - \frac{3x}{2}$
因为$y$是正整数，所以$\frac{3x}{2}$必须是整数，即$x$为偶数，同时满足：
$\begin{cases}x ≥ 1 \\ y = 12 - \frac{3x}{2} ＞ 0 \end{cases}$
解不等式$12 - \frac{3x}{2} ＞ 0$得：$x ＜ 8$
结合$x$是正偶数，可得$x$的取值为2、4、6：
当$x=2$时，$y=12 - \frac{3×2}{2}=9$，符合要求；
当$x=4$时，$y=12 - \frac{3×4}{2}=6$，符合要求；
当$x=6$时，$y=12 - \frac{3×6}{2}=3$，符合要求。
综上，共有3种购买方案。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程应用，二元一次方程正整数解
【点评】
本题是典型的方案类实际应用题，解题的关键是准确提取等量关系列方程，同时不要忽略“两种都买”这一限制条件，避免出现多算$x=0$或$y=0$的错误情况。
【难度系数】
0.7
12. 甲、乙两人分别从相距 40 km 的 A,B 两地出发,相向而行,如果甲比乙早出发1 h,那么乙出发后2 h,他们相遇;如果他们同时出发,那么2.5 h后,两人相距5 km,则甲由 A 地到 B 地需要（）
A.$\frac{10}{3}$ h
B.20 h
C.10 h或 20 h
D.$\frac{10}{3}$ h或 10 h
A.$\frac{10}{3}$ h
B.20 h
C.10 h或 20 h
D.$\frac{10}{3}$ h或 10 h
答案
D
解析
【分析】
这是一道行程类的二元一次方程组应用题，解题思路如下：第一步先设甲、乙的速度为未知数，第二步根据“甲早出发1小时，乙出发2小时相遇”列第一个方程，此时甲共走3小时、乙共走2小时，两人路程和等于总路程40km；第三步分析“同时出发2.5小时后相距5km”的两种情况：①两人还未相遇，路程和为40-5=35km；②两人相遇后继续前行错开，路程和为40+5=45km，分别列第二个方程；第四步联立方程组求解甲的速度，最后用总路程除以甲的速度得到走完全程的时间，两种情况均符合题意。
【解析】
解：设甲的速度为$x$ km/h，乙的速度为$y$ km/h。
根据第一个相遇条件，甲共行驶$1+2=3$h，乙行驶2h，总路程为40km，可得方程：
$3x + 2y = 40$ ①
第二种情况分两类讨论：
情况1：两人未相遇，2.5h共行驶$40-5=35$km，可得：
$2.5(x+y)=35$，化简得$x+y=14$ ②
联立①②，将$y=14-x$代入①：
$3x + 2(14-x)=40$
解得$x=12$
甲走完全程的时间为：$40÷12=\frac{10}{3}$ h
情况2：两人相遇后又相距5km，2.5h共行驶$40+5=45$km，可得：
$2.5(x+y)=45$，化简得$x+y=18$ ③
联立①③，将$y=18-x$代入①：
$3x + 2(18-x)=40$
解得$x=4$
甲走完全程的时间为：$40÷4=10$ h
综上，甲由A地到B地需要$\frac{10}{3}$ h或10 h。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组应用，相向行程问题，分类讨论思想
【点评】
本题是行程问题的典型考题，核心是抓住相向而行时路程和与总路程的关系，易错点是容易忽略“相距5km”包含未相遇和相遇后错开两种情况，解题时要考虑全面，避免漏解。
【难度系数】
0.6
这是一道行程类的二元一次方程组应用题，解题思路如下：第一步先设甲、乙的速度为未知数，第二步根据“甲早出发1小时，乙出发2小时相遇”列第一个方程，此时甲共走3小时、乙共走2小时，两人路程和等于总路程40km；第三步分析“同时出发2.5小时后相距5km”的两种情况：①两人还未相遇，路程和为40-5=35km；②两人相遇后继续前行错开，路程和为40+5=45km，分别列第二个方程；第四步联立方程组求解甲的速度，最后用总路程除以甲的速度得到走完全程的时间，两种情况均符合题意。
【解析】
解：设甲的速度为$x$ km/h，乙的速度为$y$ km/h。
根据第一个相遇条件，甲共行驶$1+2=3$h，乙行驶2h，总路程为40km，可得方程：
$3x + 2y = 40$ ①
第二种情况分两类讨论：
情况1：两人未相遇，2.5h共行驶$40-5=35$km，可得：
$2.5(x+y)=35$，化简得$x+y=14$ ②
联立①②，将$y=14-x$代入①：
$3x + 2(14-x)=40$
解得$x=12$
甲走完全程的时间为：$40÷12=\frac{10}{3}$ h
情况2：两人相遇后又相距5km，2.5h共行驶$40+5=45$km，可得：
$2.5(x+y)=45$，化简得$x+y=18$ ③
联立①③，将$y=18-x$代入①：
$3x + 2(18-x)=40$
解得$x=4$
甲走完全程的时间为：$40÷4=10$ h
综上，甲由A地到B地需要$\frac{10}{3}$ h或10 h。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组应用，相向行程问题，分类讨论思想
【点评】
本题是行程问题的典型考题，核心是抓住相向而行时路程和与总路程的关系，易错点是容易忽略“相距5km”包含未相遇和相遇后错开两种情况，解题时要考虑全面，避免漏解。
【难度系数】
0.6
13.某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示（火车、汽车都满载）：
| 批次 | 所用火车车皮数量/节 | 所用汽车数量/辆 | 运输物资总量/t |
| ---- | -------------------- | ---------------- | -------------- |
| 第一批 | 2 |
5 | 130 |
| 第二批 | 4 | 3 | 218 |
则每节火车车皮和每辆汽车分别装物资的吨数是（）
A.40，5
B.50，6
C.50，4
D.45，7
| 批次 | 所用火车车皮数量/节 | 所用汽车数量/辆 | 运输物资总量/t |
| ---- | -------------------- | ---------------- | -------------- |
| 第一批 | 2 |
5 | 130 || 第二批 | 4 | 3 | 218 |
则每节火车车皮和每辆汽车分别装物资的吨数是（）
A.40，5
B.50，6
C.50，4
D.45，7
答案
B
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以通过设未知数，根据表格中两批物资的运输总量找到等量关系，建立二元一次方程组求解。首先设每节火车车皮装物资x吨，每辆汽车装物资y吨，分别根据第一批、第二批的运输总量列出两个方程，组成方程组后解出x、y的值即可。
【解析】
设每节火车车皮装物资$ x $吨，每辆汽车装物资$ y $吨。
根据第一批运输情况，可得方程：$ 2x + 5y = 130 $ ①
根据第二批运输情况，可得方程：$ 4x + 3y = 218 $ ②
将①式两边同时乘2，得：$ 4x + 10y = 260 $ ③
用③式减去②式消去$ x $：
$ (4x + 10y) - (4x + 3y) = 260 - 218 $
化简得：$ 7y = 42 $，解得$ y = 6 $
把$ y = 6 $代入①式：$ 2x + 5×6 = 130 $
计算得：$ 2x = 100 $，解得$ x = 50 $
因此每节火车车皮装50吨，每辆汽车装6吨。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用，解二元一次方程组
【点评】
本题属于表格类基础应用题，解题核心是从表格中提取有效信息，找准等量关系列方程组，掌握消元法解二元一次方程组即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以通过设未知数，根据表格中两批物资的运输总量找到等量关系，建立二元一次方程组求解。首先设每节火车车皮装物资x吨，每辆汽车装物资y吨，分别根据第一批、第二批的运输总量列出两个方程，组成方程组后解出x、y的值即可。
【解析】
设每节火车车皮装物资$ x $吨，每辆汽车装物资$ y $吨。
根据第一批运输情况，可得方程：$ 2x + 5y = 130 $ ①
根据第二批运输情况，可得方程：$ 4x + 3y = 218 $ ②
将①式两边同时乘2，得：$ 4x + 10y = 260 $ ③
用③式减去②式消去$ x $：
$ (4x + 10y) - (4x + 3y) = 260 - 218 $
化简得：$ 7y = 42 $，解得$ y = 6 $
把$ y = 6 $代入①式：$ 2x + 5×6 = 130 $
计算得：$ 2x = 100 $，解得$ x = 50 $
因此每节火车车皮装50吨，每辆汽车装6吨。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用，解二元一次方程组
【点评】
本题属于表格类基础应用题，解题核心是从表格中提取有效信息，找准等量关系列方程组，掌握消元法解二元一次方程组即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
