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三、解答题
19. 解下列不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来.
(1) $-3(x+\dfrac{4}{3}) ≤ 5$；
(2) $\begin{cases}x - 3 ＜ 2x, \\1 + \dfrac{$
$ + 2}{4} ≤ 3.\end{cases}$
19. 解下列不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来.
(1) $-3(x+\dfrac{4}{3}) ≤ 5$；
(2) $\begin{cases}x - 3 ＜ 2x, \\1 + \dfrac{$
$ + 2}{4} ≤ 3.\end{cases}$答案
解：
(1) 解不等式 $-3(x+\dfrac{4}{3})≤ 5$：
去括号，得 $-3x -4 ≤ 5$，
移项，得 $-3x ≤ 5+4$，
合并同类项，得 $-3x ≤ 9$，
系数化为1，得 $x≥ -3$。
将解集在数轴上表示：在数轴上对应-3的位置画实心圆点，从该点向右延伸画折线。
(2) 解不等式组 $\begin{cases}x - 3 ＜ 2x &①\\1 + \dfrac{3x + 2}{4} ≤ 3&②\end{cases}$
解不等式①：
移项，得 $x-2x ＜ 3$，
合并同类项，得 $-x ＜ 3$，
系数化为1，得 $x ＞ -3$。
解不等式②：
不等式两边同乘4，得 $4 + 3x + 2 ≤ 12$，
合并同类项，得 $3x + 6 ≤ 12$，
移项化简，得 $3x ≤ 6$，
系数化为1，得 $x ≤ 2$。
取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为 $-3 ＜ x ≤ 2$。
将解集在数轴上表示：在数轴上对应-3的位置画空心圆圈，对应2的位置画实心圆点，连接两点之间的线段表示解集。
(1) 解不等式 $-3(x+\dfrac{4}{3})≤ 5$：
去括号，得 $-3x -4 ≤ 5$，
移项，得 $-3x ≤ 5+4$，
合并同类项，得 $-3x ≤ 9$，
系数化为1，得 $x≥ -3$。
将解集在数轴上表示：在数轴上对应-3的位置画实心圆点，从该点向右延伸画折线。
(2) 解不等式组 $\begin{cases}x - 3 ＜ 2x &①\\1 + \dfrac{3x + 2}{4} ≤ 3&②\end{cases}$
解不等式①：
移项，得 $x-2x ＜ 3$，
合并同类项，得 $-x ＜ 3$，
系数化为1，得 $x ＞ -3$。
解不等式②：
不等式两边同乘4，得 $4 + 3x + 2 ≤ 12$，
合并同类项，得 $3x + 6 ≤ 12$，
移项化简，得 $3x ≤ 6$，
系数化为1，得 $x ≤ 2$。
取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为 $-3 ＜ x ≤ 2$。
将解集在数轴上表示：在数轴上对应-3的位置画空心圆圈，对应2的位置画实心圆点，连接两点之间的线段表示解集。
解析
【分析】
本题包含一元一次不等式求解和一元一次不等式组求解两类问题：
1. 求解单个一元一次不等式时，按“去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的步骤操作即可，注意系数化为1时，若不等式两边同时除以负数，不等号方向要翻转；解集在数轴上表示时，包含边界点用实心圆点，不包含边界点用空心圆圈。
2. 求解不等式组时，先分别计算出每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分作为不等式组的最终解集，再按规则在数轴上表示公共解集即可。
【解析】
(1) 解不等式 $-3(x+\dfrac{4}{3})≤ 5$：
去括号，得 $-3x -4 ≤ 5$，
移项，得 $-3x ≤ 5+4$，
合并同类项，得 $-3x ≤ 9$，
系数化为1（不等式两边同时除以-3，不等号方向改变），得 $x≥ -3$。
将解集在数轴上表示：在数轴上对应-3的位置画实心圆点，从该点向右延伸画射线。
(2) 解不等式组 $\begin{cases}x - 3 ＜ 2x &①\\1 + \dfrac{3x + 2}{4} ≤ 3&②\end{cases}$
解不等式①：
移项，得 $x-2x ＜ 3$，
合并同类项，得 $-x ＜ 3$，
系数化为1（不等号方向改变），得 $x ＞ -3$。
解不等式②：
不等式两边同乘4消去分母，得 $4 + 3x + 2 ≤ 12$，
合并同类项，得 $3x + 6 ≤ 12$，
移项化简，得 $3x ≤ 6$，
系数化为1，得 $x ≤ 2$。
取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为 $-3 ＜ x ≤ 2$。
将解集在数轴上表示：在数轴上对应-3的位置画空心圆圈，对应2的位置画实心圆点，连接两点之间的线段表示解集。
【答案】
(1) $x≥ -3$，数轴上-3处画实心圆点向右延伸；
(2) $-3 ＜ x ≤ 2$，数轴上-3处画空心圆圈、2处画实心圆点，两点间线段为解集。
【知识点】
一元一次不等式解法，一元一次不等式组解法，解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查不等式（组）的求解步骤，解题时需格外注意系数为负时不等号方向的变化，数轴表示解集时要准确区分实心圆点和空心圆圈的适用场景，熟练掌握基础步骤即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
本题包含一元一次不等式求解和一元一次不等式组求解两类问题：
1. 求解单个一元一次不等式时，按“去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的步骤操作即可，注意系数化为1时，若不等式两边同时除以负数，不等号方向要翻转；解集在数轴上表示时，包含边界点用实心圆点，不包含边界点用空心圆圈。
2. 求解不等式组时，先分别计算出每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分作为不等式组的最终解集，再按规则在数轴上表示公共解集即可。
【解析】
(1) 解不等式 $-3(x+\dfrac{4}{3})≤ 5$：
去括号，得 $-3x -4 ≤ 5$，
移项，得 $-3x ≤ 5+4$，
合并同类项，得 $-3x ≤ 9$，
系数化为1（不等式两边同时除以-3，不等号方向改变），得 $x≥ -3$。
将解集在数轴上表示：在数轴上对应-3的位置画实心圆点，从该点向右延伸画射线。
(2) 解不等式组 $\begin{cases}x - 3 ＜ 2x &①\\1 + \dfrac{3x + 2}{4} ≤ 3&②\end{cases}$
解不等式①：
移项，得 $x-2x ＜ 3$，
合并同类项，得 $-x ＜ 3$，
系数化为1（不等号方向改变），得 $x ＞ -3$。
解不等式②：
不等式两边同乘4消去分母，得 $4 + 3x + 2 ≤ 12$，
合并同类项，得 $3x + 6 ≤ 12$，
移项化简，得 $3x ≤ 6$，
系数化为1，得 $x ≤ 2$。
取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为 $-3 ＜ x ≤ 2$。
将解集在数轴上表示：在数轴上对应-3的位置画空心圆圈，对应2的位置画实心圆点，连接两点之间的线段表示解集。
【答案】
(1) $x≥ -3$，数轴上-3处画实心圆点向右延伸；
(2) $-3 ＜ x ≤ 2$，数轴上-3处画空心圆圈、2处画实心圆点，两点间线段为解集。
【知识点】
一元一次不等式解法，一元一次不等式组解法，解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查不等式（组）的求解步骤，解题时需格外注意系数为负时不等号方向的变化，数轴表示解集时要准确区分实心圆点和空心圆圈的适用场景，熟练掌握基础步骤即可轻松得分。
【难度系数】
0.8
20.在一次“猜灯谜”知识竞赛中，竞赛题共20道，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案正确，选对得4分，不选或选错扣2分，得分不低于60分得奖.得奖者至少应选对多少道题？
答案
解：设得奖者选对$x$道题，则不选或选错的题目数为$(20-x)$道。
根据题意列不等式：
$4x - 2(20 - x) ≥ 60$
去括号，得：
$4x - 40 + 2x ≥ 60$
合并同类项，得：
$6x ≥ 100$
系数化为1，得：
$x ≥ \frac{50}{3}$
因为$x$表示选对的题数，必须为正整数，所以$x$的最小取值为17。
答：得奖者至少应选对17道题。
根据题意列不等式：
$4x - 2(20 - x) ≥ 60$
去括号，得：
$4x - 40 + 2x ≥ 60$
合并同类项，得：
$6x ≥ 100$
系数化为1，得：
$x ≥ \frac{50}{3}$
因为$x$表示选对的题数，必须为正整数，所以$x$的最小取值为17。
答：得奖者至少应选对17道题。
解析
【分析】
这是一元一次不等式的实际应用题，解题思路如下：首先明确得分规则：总得分=选对题目得分 - 不选/选错倒扣的分数，题目要求得分不低于60分，即总得分≥60。我们先设选对的题数为x，用x表示出不选或选错的题数，再根据得分规则列出不等式，解出不等式后，要注意题数是正整数，需对结果取符合实际意义的最小正整数即可。
【解析】
解：设得奖者选对$x$道题，则不选或选错的题目数为$(20-x)$道。
根据题意列不等式：
$4x - 2(20 - x) ≥ 60$
去括号，得：
$4x - 40 + 2x ≥ 60$
合并同类项，得：
$6x ≥ 100$
系数化为1，得：
$x ≥ \frac{50}{3}$
因为$x$表示选对的题数，必须为正整数，$\frac{50}{3}\approx16.67$，所以$x$的最小取值为17。
【答案】
得奖者至少应选对17道题
【知识点】
一元一次不等式应用、不等式解法、实际问题取整
【点评】
本题是不等式实际应用的典型题型，解题的核心是找准“得分不低于60分”的不等关系列不等式，易错点是忽略题数为正整数的实际要求，直接取小数结果，解题时需注意结合实际意义对解集进行取舍。
【难度系数】
0.7
这是一元一次不等式的实际应用题，解题思路如下：首先明确得分规则：总得分=选对题目得分 - 不选/选错倒扣的分数，题目要求得分不低于60分，即总得分≥60。我们先设选对的题数为x，用x表示出不选或选错的题数，再根据得分规则列出不等式，解出不等式后，要注意题数是正整数，需对结果取符合实际意义的最小正整数即可。
【解析】
解：设得奖者选对$x$道题，则不选或选错的题目数为$(20-x)$道。
根据题意列不等式：
$4x - 2(20 - x) ≥ 60$
去括号，得：
$4x - 40 + 2x ≥ 60$
合并同类项，得：
$6x ≥ 100$
系数化为1，得：
$x ≥ \frac{50}{3}$
因为$x$表示选对的题数，必须为正整数，$\frac{50}{3}\approx16.67$，所以$x$的最小取值为17。
【答案】
得奖者至少应选对17道题
【知识点】
一元一次不等式应用、不等式解法、实际问题取整
【点评】
本题是不等式实际应用的典型题型，解题的核心是找准“得分不低于60分”的不等关系列不等式，易错点是忽略题数为正整数的实际要求，直接取小数结果，解题时需注意结合实际意义对解集进行取舍。
【难度系数】
0.7
21. 已知关于$x$的方程$\dfrac{x-2}{3} + m = 2$，若该方程的解是不等式$2x -1 ＜ \dfrac{1+3x}{2}$的最大整数解，求$m$的值。
答案
解：
解不等式 $2x - 1 ＜ \frac{1 + 3x}{2}$，
去分母，得 $2(2x - 1) ＜ 1 + 3x$，
去括号，得 $4x - 2 ＜ 1 + 3x$，
移项，得 $4x - 3x ＜ 1 + 2$，
合并同类项，得 $x ＜ 3$。
该不等式的最大整数解为 $x = 2$。
把 $x = 2$ 代入方程 $\frac{x - 2}{3} + m = 2$，
得 $\frac{2 - 2}{3} + m = 2$，
解得 $m = 2$。
解不等式 $2x - 1 ＜ \frac{1 + 3x}{2}$，
去分母，得 $2(2x - 1) ＜ 1 + 3x$，
去括号，得 $4x - 2 ＜ 1 + 3x$，
移项，得 $4x - 3x ＜ 1 + 2$，
合并同类项，得 $x ＜ 3$。
该不等式的最大整数解为 $x = 2$。
把 $x = 2$ 代入方程 $\frac{x - 2}{3} + m = 2$，
得 $\frac{2 - 2}{3} + m = 2$，
解得 $m = 2$。
解析
【分析】
要解决本题需分两步进行：第一步先求解给定的一元一次不等式，找到它的最大整数解；第二步将得到的最大整数解代入含m的方程，得到仅关于m的一元一次方程，解该方程即可求出m的值。解题时要注意解不等式的步骤规范，避免出现去分母漏乘、移项忘变号的错误。
【解析】
先解不等式 $2x - 1 ＜ \frac{1 + 3x}{2}$：
去分母，得 $2(2x - 1) ＜ 1 + 3x$，
去括号，得 $4x - 2 ＜ 1 + 3x$，
移项，得 $4x - 3x ＜ 1 + 2$，
合并同类项，得 $x ＜ 3$。
因此该不等式的最大整数解为 $x = 2$。
把 $x = 2$ 代入方程 $\frac{x - 2}{3} + m = 2$，
得 $\frac{2 - 2}{3} + m = 2$，
解得 $m = 2$。
【答案】
$m=2$
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题是方程与不等式的综合基础题，重点考查一元一次不等式的求解和方程解的应用，解题核心是准确求出不等式的最大整数解，计算时要注意运算规范，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
要解决本题需分两步进行：第一步先求解给定的一元一次不等式，找到它的最大整数解；第二步将得到的最大整数解代入含m的方程，得到仅关于m的一元一次方程，解该方程即可求出m的值。解题时要注意解不等式的步骤规范，避免出现去分母漏乘、移项忘变号的错误。
【解析】
先解不等式 $2x - 1 ＜ \frac{1 + 3x}{2}$：
去分母，得 $2(2x - 1) ＜ 1 + 3x$，
去括号，得 $4x - 2 ＜ 1 + 3x$，
移项，得 $4x - 3x ＜ 1 + 2$，
合并同类项，得 $x ＜ 3$。
因此该不等式的最大整数解为 $x = 2$。
把 $x = 2$ 代入方程 $\frac{x - 2}{3} + m = 2$，
得 $\frac{2 - 2}{3} + m = 2$，
解得 $m = 2$。
【答案】
$m=2$
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题是方程与不等式的综合基础题，重点考查一元一次不等式的求解和方程解的应用，解题核心是准确求出不等式的最大整数解，计算时要注意运算规范，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
