12. 如图,有三个论断:① $∠ 1 = ∠ 2$;② $∠ B = ∠ C$;③ $∠ A = ∠ D$.
(1) 请你从中任选两个作为条件,另一个作为结论构成一个真命题,并加以说明.
已知: ______,结论: ______.
(2) 写出你在(1)中的说明过程中应用了哪些互逆命题的真命题.

（1）已知：∠1=∠2，∠B=∠C；结论：∠A=∠D；（2）同位角相等，两直线平行与两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行与两直线平行，内错角相等。

（1）已知：∠1=∠2，∠B=∠C；结论：∠A=∠D。说明：∵∠1=∠2，∠1=∠CGD（对顶角相等），∴∠2=∠CGD，∴CE//BF（同位角相等，两直线平行），∴∠C=∠BFD（两直线平行，同位角相等）。又∵∠B=∠C，∴∠B=∠BFD，∴AB//CD（内错角相等，两直线平行），∴∠A=∠D（两直线平行，内错角相等）。（2）应用的互逆命题：①同位角相等，两直线平行与两直线平行，同位角相等；②内错角相等，两直线平行与两直线平行，内错角相等。

13. 如图,在$△ ABC$中,$AD$是高,$∠ DAC=10°$,$AE$是$∠ BAC$的外角的平分线,$BF$平分$∠ ABC$交$AE$于点$F$.若$∠ ABC=46°$,求$∠ AFB$的度数.

40°

1. 因为AD是高，所以∠ADC=90°，在Rt△ADC中，∠C=90°−∠DAC=90°−10°=80°。
2. 根据三角形内角和定理，在△ABC中，∠BAC=180°−∠ABC−∠C=180°−46°−80°=54°。
3. ∠BAC的外角∠CAM=180°−∠BAC=180°−54°=126°，因为AE是∠BAC外角的平分线，所以∠CAE=1/2∠CAM=1/2×126°=63°。
4. 因为BF平分∠ABC，所以∠ABF=1/2∠ABC=1/2×46°=23°。
5. 在△ABF中，∠BAF=∠BAC+∠CAE=54°+63°=117°，再由三角形内角和为180°，得∠AFB=180°−∠BAF−∠ABF=180°−117°−23°=40°。

14.【发现】两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
【验证】请你举例验证上述【发现】中的结论.
【探究】设【发现】中的两个已知正整数为$m,n$，请论证【发现】中的结论正确.

验证举例符合结论，探究论证可得结论正确。

验证：选取正整数1和2，计算得：$(1+2)^2 + (2-1)^2 = 9 + 1 = 10$，10是偶数，其一半为5，且$5 = 1^2 + 2^2$，符合结论；再选取正整数2和3，计算得：$(2+3)^2 + (3-2)^2 = 25 + 1 = 26$，26是偶数，其一半为13，且$13 = 2^2 + 3^2$，符合结论。
探究：设两个正整数为$m$、$n$，计算$(m+n)^2 + (m-n)^2$，根据完全平方公式展开：$= m^2 + 2mn + n^2 + m^2 - 2mn + n^2 = 2m^2 + 2n^2 = 2(m^2 + n^2)$。因为$m$、$n$是正整数，所以$2(m^2 + n^2)$是2的倍数，故一定是偶数；该偶数的一半为$m^2 + n^2$，$m$、$n$是正整数，所以$m^2 + n^2$是两个正整数的平方和，因此结论正确。

15. 如图,在六边形$ABCDEF$中,$AF// CD$,
$∠A=140°,∠C=165°.$
(1) 求$∠B$的度数;
(2) 当$∠D=$时,$AB// DE$.

(1) $∠ B = 55°$；
(2) $115°$

(1) 六边形的内角和为 $(6-2) × 180° = 720°$。
过点 $B$ 作 $BG // AF$，因为 $AF // CD$，所以 $BG // CD$。
根据平行线的同旁内角互补，得：
$∠ A + ∠ ABG = 180°$，$∠ C + ∠ CBG = 180°$，
两式相加得：$∠ A + (∠ ABG + ∠ CBG) + ∠ C = 360°$，
即 $∠ A + ∠ B + ∠ C = 360°$。
代入 $∠ A = 140°$，$∠ C = 165°$，得：
$∠ B = 360° - 140° - 165° = 55°$。
(2) 当 $AB // DE$ 时，过点 $E$ 作 $EH // AB$，因为 $AB // DE$，所以 $EH // DE$，结合 $AF // CD$，利用平行线性质和六边形内角和推导：
$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F = 720°$，
由 $AF // CD$ 得 $∠ F + ∠ C = 180°$，故 $∠ F = 15°$；
由 $AB // DE$ 得 $∠ A + ∠ E = 180°$，故 $∠ E = 40°$；
代入得：$∠ D = 720° - 140° - 55° - 165° - 40° - 15° = 115°$。

16. 如图1,在$△ ABC$中,$∠ CBM$和$∠ BCN$是$△ ABC$的外角,$∠ CBM$,$∠ BCN$的平分线$BD$,$CD$交于点$D$.
（1）若$∠ A=62°$,求$∠ BDC$的度数；
（2）过点$D$作$DE ⊥ BD$,垂足为$D$,过点$B$作$BF // DE$交$DC$的延长线于点$F$(如图2),求证:$BF$是$∠ ABC$的平分线.

（1）$∠ BDC$的度数为$59°$；（2）BF是$∠ ABC$的平分线，证明成立。

（1）根据三角形外角性质，$∠ CBM = 180° - ∠ ABC$，$∠ BCN = 180° - ∠ ACB$。因为BD、CD分别平分$∠ CBM$、$∠ BCN$，所以$∠ DBC = \frac{1}{2}∠ CBM$，$∠ DCB = \frac{1}{2}∠ BCN$。则$∠ DBC + ∠ DCB = \frac{1}{2}(∠ CBM + ∠ BCN) = \frac{1}{2}[(180° - ∠ ABC) + (180° - ∠ ACB)] = \frac{1}{2}[360° - (∠ ABC + ∠ ACB)]$。在$△ ABC$中，$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A$，代入得$∠ DBC + ∠ DCB = \frac{1}{2}(180° + ∠ A) = 90° + \frac{1}{2}∠ A$。在$△ BDC$中，$∠ BDC = 180° - (∠ DBC + ∠ DCB) = 180° - (90° + \frac{1}{2}∠ A) = 90° - \frac{1}{2}∠ A$。当$∠ A = 62°$时，$∠ BDC = 90° - \frac{1}{2} × 62° = 59°$。（2）因为$DE ⊥ BD$，$BF // DE$，所以$BF ⊥ BD$，即$∠ DBF = 90°$，故$∠ FBC + ∠ DBC = 90°$。又因为BD平分$∠ CBM$，所以$∠ DBC = \frac{1}{2}∠ CBM$，而$∠ CBM$是$△ ABC$的外角，$∠ CBM = 180° - ∠ ABC$，因此$∠ DBC = \frac{1}{2}(180° - ∠ ABC) = 90° - \frac{1}{2}∠ ABC$。将$∠ DBC$代入$∠ FBC + ∠ DBC = 90°$，得$∠ FBC + 90° - \frac{1}{2}∠ ABC = 90°$，化简得$∠ FBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，所以BF是$∠ ABC$的平分线。