7. 已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线 $ y = -2x^2 + 9x $ 相同，且它的顶点坐标为$(-1,6)$，则这条抛物线对应的函数解析式为 $\underline{\hspace{5cm}}$。

$y=-2(x + 1)^{2}+6$

8. (2023·西宁)如图,在平面直角坐标系中,直线$l$与$x$轴交于点$A(6,0)$,与$y$轴交于点$B(0,-6)$,抛物线经过点$A,B$,且对称轴是直线$x=1$.
(1) 求直线$l$对应的函数解析式.
(2) 求抛物线对应的函数解析式.
(3) $P$是直线$l$下方抛物线上的一动点,过点$P$作$PC ⊥ x$轴,垂足为$C$,交直线$l$于点$D$,作$PM ⊥ l$,垂足为$M$.请直接写出$PM$长的最大值及此时点$P$的坐标.

解：（1）设直线$l$对应的函数解析式为$y = mx + n(m\neq0)。$$\because$直线$l$与$x$轴交于点$A(6,0)，$与$y$轴交于点$B(0,-6)，$ $\therefore\begin{cases}6m + n = 0\\n = -6\end{cases}，$解得$\begin{cases}m = 1\\n = -6\end{cases}。$$\therefore$直线$l$对应的函数解析式为$y = x - 6。$ （2）设抛物线对应的函数解析式为$y = a(x - h)^{2}+k(a\neq0)。$$\because$抛物线的对称轴是直线$x = 1，$$\therefore y = a(x - 1)^{2}+k。$ $\because$抛物线经过点$A，$$B，$$\therefore\begin{cases}25a + k = 0\\a + k = -6\end{cases}，$两式相减得$24a = 6，$解得$a=\frac{1}{4}，$把$a=\frac{1}{4}$代入$a + k = -6$得$\frac{1}{4}+k = -6，$$k =-\frac{25}{4}。$$\therefore$抛物线对应的函数解析式为$y=\frac{1}{4}(x - 1)^{2}-\frac{25}{4}。$ （3）$PM$长的最大值是$\frac{9\sqrt{2}}{8}，$此时点$P$的坐标为$(3,-\frac{21}{4})。$

9. 若关于 $ x $ 的二次函数 $ y=\frac{1}{4}mx^2+(m+1)x+m+1 $ 的图象与 $ x $ 轴有两个公共点，则满足条件的 $ m $ 的值可以是（ ）
A. $-1$
B. $0$
C. $1$
D. $-2$

C

10. 如果二次函数$y=ax^2+bx+3$的图象经过点$A(-1,0),B(3,0)$，那么一元二次方程$ax^2+bx=0$的根为______．

$x_{1}=0,x_{2}=2$

11. 如图,抛物线经过 A,C,B 三点,点 A 的坐标为$(-1,0)$,点 B 的坐标为$(2,0)$,点 C 的坐标为$(0,-2)$.
(1) 求抛物线对应的函数解析式;
(2) 将抛物线向上平移$m(m＞0)$个单位长度后恰与坐标轴有两个公共点,求$m$的值.

第11题

解：（1）设抛物线对应的函数解析式为$y = a(x + 1)(x - 2)。$将$(0,-2)$代入$y = a(x + 1)(x - 2)，$得$-2a=-2，$解得$a = 1。$ $\therefore$抛物线对应的函数解析式为$y=(x + 1)(x - 2)=x^{2}-x - 2。$ （2）将抛物线向上平移$m$个单位长度后，得到的抛物线对应的函数解析式为$y=x^{2}-x - 2 + m。$$\because$此抛物线与坐标轴有两个公共点，$\therefore$有$2$种情况： ①抛物线$y=x^{2}-x - 2 + m$与$x$轴只有一个交点，即方程$x^{2}-x - 2 + m = 0$有两个相等的实数根，则$(-1)^{2}-4\times1\times(-2 + m)=9 - 4m = 0，$解得$m=\frac{9}{4}；$ ②抛物线经过原点$O，$则$0 = 0-0 - 2 + m，$解得$m = 2。$ 综上所述，$m$的值为$\frac{9}{4}$或$2。$