23. (本题满分 10 分)如图，$D$，$E$，$F$分别是$△ ABC$各边的中点，连接$DE$，$EF$，$AE$。
(1)求证：四边形$ADEF$为平行四边形；
(2)加上条件后，能使得四边形$ADEF$为菱形，请从①$∠ BAC = 90^{\circ}$；②$AE$平分$∠ BAC$；③$AB = AC$这三个条件中选择 1 个条件填空(写序号)，并加以证明。

23. (1) 已知$D$，$E$，$F$为$AB$，$BC$，$AC$的中点，$\therefore DE$为$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线定理，$\therefore DE // AC$，且$DE = \frac{1}{2}AO = AF$，即$DE // AF$，$DE = AF$，$\therefore$四边形$ADEF$为平行四边；
(2) 选②$AE$平分$∠ BAC$，$\because AE$平分$∠ BAC$，$\therefore ∠ DAE = ∠ FAE$。又$\because ADEF$为平行四边形，$\therefore EF // DA$，$\therefore ∠ DAE = ∠ AEF$，$\therefore ∠ FAE = ∠ AEF$，$\therefore AF = EF$，$\therefore □ ADEF$为菱形。
选③$AB = AC$，$\because EF // AB$且$EF = \frac{1}{2}AB$，$DE // AC$且$DE = \frac{1}{2}AC$。又$\because AB = AC$，$\therefore EF = DE$，$\therefore □ ADEF$为菱形。

24. （本题满分 10 分）如图，$O$为线段$PB$上一点，以$O$为圆心，$OB$长为半径的$\odot O$交$PB$于点$A$，点$C$在$\odot O$上，连接$PC$，满足$PC^{2}=PA· PB$。
（1）求证：$PC$是$\odot O$的切线；
（2）若$AB = 3PA$，求$\dfrac{AC}{BC}$的值。

24. (1) 连接$OC$，$\because PC^2 = PA · PB$，$\therefore \frac{PA}{PC} = \frac{PC}{PB}$。$\because ∠ P = ∠ P$，$\therefore △ PAC ∽ △ PCB$，$\therefore ∠ PCA = ∠ B$。$\because ∠ ACB = 90^{\circ}$，$\therefore ∠ CAB + ∠ B = 90^{\circ}$。$\because OA = OC$，$\therefore ∠ CAB = ∠ OCA$，$\therefore ∠ PCA + ∠ OCA = 90^{\circ}$，$\therefore OC ⊥ PC$，$\therefore PC$是$\odot O$的切线；
(2) $\because AB = 3PA$，$\therefore PB = 4PA$，$OA = OC = 1.5PA$，$PO = 2.5PA$。$\because OC ⊥ PC$，$\therefore PC = \sqrt{PO^2 - OC^2} = 2PA$。$\because △ PAC ∽ △ PCB$，$\therefore \frac{AC}{BC} = \frac{PC}{PB} = \frac{2PA}{4PA} = \frac{1}{2}$。

25. （本题满分 10 分）某种落地灯如图 1 所示，$AB$为立杆，其高为$84cm$；$BC$为支杆，它可绕点$B$旋转，其中$BC$长为$54cm$；$DE$为悬杆，滑动悬杆可调节$CD$的长度。支杆$BC$与悬杆$DE$之间的夹角$∠ BCD$为$60^{\circ}$。
（1）如图 2，当支杆$BC$与地面垂直，且$CD$的长为$50cm$时，求灯泡悬挂点$D$距离地面的高度；
（2）在图 2 所示的状态下，将支杆$BC$绕点$B$顺时针旋转$20^{\circ}$，同时调节$CD$的长（如图 3），此时测得灯泡悬挂点$D$到地面的距离为$90cm$，求$CD$的长。（结果精确到$1cm$，参考数据：$\sin 20^{\circ}\approx0.34$，$\cos 20^{\circ}\approx0.94$，$\tan 20^{\circ}\approx0.36$，$\sin 40^{\circ}\approx0.64$，$\cos 40^{\circ}\approx0.77$，$\tan 40^{\circ}\approx0.84$）

25. (1) 过点$D$作$DF ⊥ BC$于点$F$，$\because ∠ FCD = 60^{\circ}$，$∠ CFD = 90^{\circ}$，$\therefore FC = CD × \cos 60^{\circ} = 50 × \frac{1}{2} = 25(cm)$，$\therefore FA = AB + BC - CF = 84 + 54 - 25 = 113(cm)$，答：灯泡悬挂点$D$距离地面的高度为$113cm$；
(2) 如图3，过点$C$作$CG$垂直于地面于点$G$，过点$B$作$BN ⊥ CG$于$N$，过点$D$作$DM ⊥ CG$于$M$，$\because BC = 54cm$，$\therefore CN = BC × \cos 20^{\circ} = 54 × 0.94 = 50.76(cm)$，$\therefore MN = CN + MG - CG = 50.76 + 90 - 50.76 - 84 = 6(cm)$，$\therefore CM = CN - MN = 44.76(cm)$，$\therefore CD = \frac{CM}{\cos 40^{\circ}} = \frac{44.76}{0.77} \approx 58(cm)$，答：$CD$的长为$58cm$。