一、选择题
1. 某类股票每天的涨幅、跌幅均不能超过 $10\%$。当涨了原价的 $10\%$后，便不能再涨，叫作涨停；当跌了原价的 $10\%$后，便不能再跌，叫作跌停。现有一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价。设这两天此股票股价的平均增长率为 $x$，则 $x$ 满足的方程是()。
A.$(1 - 10\%)(1 + x)^2 = 1$
B.$(1 - 10\%)[(1 + x)×2] = 1$
C.$(1 - 10\%)(1 + 2x) = 1$
D.$(1 + x)^2 = (1 + 10\%)$

1. A

设股票原价为单位“1”。
跌停后股价为：$1×(1 - 10\%)$
之后两天以平均增长率$x$增长，两天后股价为：$(1 - 10\%)(1 + x)^2$
因为两天后涨回到原价，所以方程为：$(1 - 10\%)(1 + x)^2 = 1$
A

2. 用换元法解方程 $x^2 - 2x + \frac{7}{x^2 - 2x} = 8$，若设 $x^2 - 2x = y$，则原方程化为关于 $y$ 的整式方程是()。

A.$y^2 + 8y + 7 = 0$
B.$y^2 - 8y - 7 = 0$
C.$y^2 + 8y - 7 = 0$
D.$y^2 - 8y + 7 = 0$

2. D

设$x^2 - 2x = y$，则原方程可化为$y + \frac{7}{y} = 8$。
方程两边同乘$y$，得$y^2 + 7 = 8y$，移项可得$y^2 - 8y + 7 = 0$。
D

3. 某市去年 GDP 比前年增长了 $10\%$，预计今年比去年增长 $x\%$，若要这几年 GDP 平均年增长率为 $7\%$，则 $x\%$需满足的关系是()。

A.$10\% + x\% = 7\%$
B.$(1 + 10\%)(1 + x\%) = 2(1 + 7\%)$
C.$10\% + x\% = 2×7\%$
D.$(1 + 10\%)(1 + x\%) = (1 + 7\%)^2$

3. D

设前年GDP为$a$。
去年GDP为$a(1 + 10\%)$。
今年GDP为$a(1 + 10\%)(1 + x\%)$。
两年平均年增长率为$7\%$，则两年后GDP为$a(1 + 7\%)^2$。
所以$(1 + 10\%)(1 + x\%) = (1 + 7\%)^2$。
D

二、填空题
4. 一块长方形菜地的面积是 $120m^2$，如果它的长减少 $2m$，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是m。

4. 12

设原菜地的长为$x$m，因为长减少$2$m变成正方形，所以宽为$(x - 2)$m。
根据长方形面积公式可得：$x(x - 2) = 120$
展开得：$x^2 - 2x - 120 = 0$
因式分解得：$(x - 12)(x + 10) = 0$
解得：$x_1 = 12$，$x_2 = -10$（长度不能为负，舍去）
所以原菜地的长是$12$m。

5. 某产品每件的生产成本为 $50$ 元，销售价为 $65$ 元，经市场预测，接下来的第一个月销售价格将下降 $10\%$，第二个月又将回升 $5\%$。若要使两个月以后每件的销售利润不变，设每个月平均降低成本的百分率为 $x$，根据题意可列方程。

5. $ 65(1 - 10\%)(1 + 5\%) - 50(1 - x)^2 = 65 - 50 $

【分析】
首先，解题核心是抓住“两个月以后每件的销售利润不变”这一等量关系，分步骤梳理各量的变化：
1. 先计算原销售利润：原销售价减去原生产成本，即$65-50$；
2. 推导两个月后的销售价：第一个月售价下降10%，变为$65(1-10\%)$，第二个月在该价格基础上回升5%，因此两个月后的售价为$65(1-10\%)(1+5\%)$；
3. 推导两个月后的生产成本：每月平均降低成本的百分率为$x$，则一个月后成本为$50(1-x)$，两个月后成本为$50(1-x)^2$；
4. 依据“利润=售价-成本”，结合两个月后利润与原利润相等的条件，即可列出方程。
【解析】
1. 计算原销售利润：$65 - 50$；
2. 计算两个月后的销售价格：
第一个月售价下降10%后为$65(1 - 10\%)$，第二个月在该价格基础上回升5%，故两个月后的售价为$65(1 - 10\%)(1 + 5\%)$；
3. 计算两个月后的生产成本：
每月平均降低成本的百分率为$x$，则两个月后生产成本为$50(1 - x)^2$；
4. 根据“两个月后销售利润与原利润相等”，结合利润公式列方程：
$65(1 - 10\%)(1 + 5\%) - 50(1 - x)^2 = 65 - 50$
【答案】
$65(1 - 10\%)(1 + 5\%) - 50(1 - x)^2 = 65 - 50$
【知识点】
一元二次方程的应用、利润问题、增长率问题
【点评】
本题聚焦一元二次方程在利润与增长率问题中的综合应用，关键是准确分析售价的两次浮动和成本的连续降低变化，核心是紧扣“利润不变”这一等量关系。需注意降低率的表达式为$(1 - x)^n$（$n$为变化次数），回升率为$(1 + 增长率)$，避免在价格和成本的变化计算中出错。
【难度系数】
0.6

6. 据某品牌电动车经销商统计，该品牌电动车一月销售 $150$ 辆，三月销售 $216$ 辆，若该品牌电动车每辆的进价为 $2300$ 元，售价为 $2800$ 元，一月至三月销量的月增长率相同，则该品牌电动车销售量的月增长率为，该经销商一月至三月共盈利元。

6. $ 20\% $ 273000

设该品牌电动车销售量的月增长率为$x$。
由题意得：$150(1+x)^2 = 216$
$(1+x)^2 = 1.44$
$1+x = \pm1.2$
解得$x_1 = 0.2 = 20\%$，$x_2 = -2.2$（不合题意，舍去）
二月销量：$150×(1 + 20\%) = 180$辆
总销量：$150 + 180 + 216 = 546$辆
每辆盈利：$2800 - 2300 = 500$元
总盈利：$546×500 = 273000$元
20%；273000

三、解答题
7. 解下列方程：
(1) $\frac{4}{x} = \frac{1}{x - 1} + 1$；
(2) $x^2 + 3x - \frac{20}{x^2 + 3x} = 8$。

7. (1) $ x = 2 $ (2) $ x_1 = -1 $，$ x_2 = -2 $，$ x_3 = 2 $，$ x_4 = -5 $

(1) 解：方程两边同乘$x(x - 1)$，得$4(x - 1) = x + x(x - 1)$，展开得$4x - 4 = x + x^2 - x$，化简得$x^2 - 4x + 4 = 0$，即$(x - 2)^2 = 0$，解得$x = 2$。经检验，$x = 2$是原方程的解。
(2) 解：设$y = x^2 + 3x$，则原方程化为$y - \frac{20}{y} = 8$，两边同乘$y$得$y^2 - 8y - 20 = 0$，因式分解得$(y - 10)(y + 2) = 0$，解得$y_1 = 10$，$y_2 = -2$。
当$y = 10$时，$x^2 + 3x = 10$，即$x^2 + 3x - 10 = 0$，因式分解得$(x + 5)(x - 2) = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = -5$。
当$y = -2$时，$x^2 + 3x = -2$，即$x^2 + 3x + 2 = 0$，因式分解得$(x + 1)(x + 2) = 0$，解得$x_3 = -1$，$x_4 = -2$。
经检验，$x_1 = -1$，$x_2 = -2$，$x_3 = 2$，$x_4 = -5$都是原方程的解。