8. 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 $250$ 元，每桶水的进价是 $5$ 元，规定销售单价不得高于 $12$ 元，也不得低于 $7$ 元，经调查发现日均销售量 $p$（单位：桶）与销售单价 $x$（单位：元）的函数图象如图所示。
(1) 求日均销售量 $p$ 关于销售单价 $x$ 的函数表达式；
(2) 若该经营部希望日均获利 $1350$ 元，则销售单价应定为多少？

8. (1) $ p = -50x + 850 $ (2) 9 元

(1) 设日均销售量$p$关于销售单价$x$的函数表达式为$p=kx+b$。
由图可知，当$x=7$时，$p=500$；当$x=12$时，$p=250$。
将$(7,500)$，$(12,250)$代入$p=kx+b$，得：
$\begin{cases}7k + b = 500 \\12k + b = 250\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程：$7k + b-(12k + b)=500 - 250$，即$-5k=250$，解得$k=-50$。
将$k=-50$代入$7k + b = 500$，得$7×(-50)+b=500$，$-350 + b=500$，解得$b=850$。
所以函数表达式为$p=-50x + 850$。
(2) 每桶水的利润为$(x - 5)$元，日均销售量为$p=-50x + 850$桶，固定成本为$250$元。
日均获利$W=(x - 5)p - 250=(x - 5)(-50x + 850)-250$。
令$W=1350$，则：
$(x - 5)(-50x + 850)-250=1350$
展开得：$-50x^2 + 850x + 250x - 4250 - 250=1350$
合并同类项：$-50x^2 + 1100x - 4500=1350$
移项：$-50x^2 + 1100x - 5850=0$
两边同时除以$-50$：$x^2 - 22x + 117=0$
因式分解：$(x - 9)(x - 13)=0$
解得$x_1=9$，$x_2=13$。
因为销售单价不得高于$12$元，所以$x=13$舍去。
故销售单价应定为$9$元。

9. 某市计划在一个空地上搭建临时展厅，如图所示，展厅分为三个区，长方形 $BFHG$ 为互动区，长方形 $CDEF$ 为主展区，正方形 $AGHE$ 为接待区。已知各区围墙总长 $810m$，主展区的围墙长度等于接待区与互动区的围墙长度之和。
(1) 设 $AE = xm$，用含 $x$ 的代数式表示：$DE =$m，$AB =$m；
(2) 若长方形 $BFHG$ 的面积为 $6075m^2$，求 $AE$ 的长。

(1) $\dfrac{3}{2}x$; $270 - 2x$
(2) 由(1)知，$AE = x$，$AB = 270 - 2x$，$DE = \dfrac{3}{2}x$。
因为$AGHE$是正方形，所以$AG = AE = x$，则$GB = AB - AG = (270 - 2x) - x = 270 - 3x$。
互动区$BFHG$是长方形，$BH = DE = \dfrac{3}{2}x$，$GB = 270 - 3x$，其面积为$GB × BH = 6075$，即：
$(270 - 3x) × \dfrac{3}{2}x = 6075$
化简得：
$(270 - 3x)x = 4050$
$270x - 3x^2 = 4050$
$x^2 - 90x + 1350 = 0$
$(x - 45)(x - 30) = 0$
解得$x = 45$或$x = 30$。
当$x = 30$时，$GB = 270 - 3 × 30 = 180$，$BH = \dfrac{3}{2} × 30 = 45$，面积为$180 × 45 = 8100 ≠ 6075$，舍去。
当$x = 45$时，$GB = 270 - 3 × 45 = 135$，$BH = \dfrac{3}{2} × 45 = 67.5$，面积为$135 × 67.5 = 6075$，符合题意。
所以$AE$的长为$45m$。

(1) $\dfrac{3}{2}x$; $270 - 2x$
(2) 由(1)知，$AE = x$，$AB = 270 - 2x$，$DE = \dfrac{3}{2}x$。
因为$AGHE$是正方形，所以$AG = AE = x$，则$GB = AB - AG = (270 - 2x) - x = 270 - 3x$。
互动区$BFHG$是长方形，$BH = DE = \dfrac{3}{2}x$，$GB = 270 - 3x$，其面积为$GB × BH = 6075$，即：
$(270 - 3x) × \dfrac{3}{2}x = 6075$
化简得：
$(270 - 3x)x = 4050$
$270x - 3x^2 = 4050$
$x^2 - 90x + 1350 = 0$
$(x - 45)(x - 30) = 0$
解得$x = 45$或$x = 30$。
当$x = 30$时，$GB = 270 - 3 × 30 = 180$，$BH = \dfrac{3}{2} × 30 = 45$，面积为$180 × 45 = 8100 ≠ 6075$，舍去。
当$x = 45$时，$GB = 270 - 3 × 45 = 135$，$BH = \dfrac{3}{2} × 45 = 67.5$，面积为$135 × 67.5 = 6075$，符合题意。
所以$AE$的长为$45m$。