登录
1.在频数直方图中，与小长方形的高成正比的是()
A.组数
B.频数
C.组距
D.数据总数
A.组数
B.频数
C.组距
D.数据总数
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆频数直方图中各要素的对应关系：我们知道小长方形的高由频数和组距共同决定，公式为小长方形的高=频数÷组距。正比例的判定是两个相关联的量，比值为定值时二者成正比。同一幅频数直方图中各组组距是固定值，因此我们只需判断哪个量和高的比值为定值即可，再逐一排除错误选项就能得到答案。
【解析】
在频数直方图中，小长方形的高的计算公式为：$\mathrm{小长方形的高}=\frac{\mathrm{频数}}{\mathrm{组距}}$。
绘制同一幅频数直方图时，各组的组距是固定相等的定值，即$\frac{\mathrm{小长方形的高}}{\mathrm{频数}}=\frac{1}{\mathrm{组距}}$为定值，因此小长方形的高与频数成正比。
对各选项逐一分析：
A. 组数是数据分组的个数，与小长方形的高无正比关系，排除；
C. 由公式可知，当频数固定时高与组距成反比，组距本身是固定值，不符合正比要求，排除；
D. 数据总数是所有组频数的总和，与单个小长方形的高无正比关系，排除。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 频数直方图的性质
2. 正比例关系判定
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对频数直方图核心构成要素的理解，熟练掌握小长方形的高、频数、组距三者的关系即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆频数直方图中各要素的对应关系：我们知道小长方形的高由频数和组距共同决定，公式为小长方形的高=频数÷组距。正比例的判定是两个相关联的量，比值为定值时二者成正比。同一幅频数直方图中各组组距是固定值，因此我们只需判断哪个量和高的比值为定值即可，再逐一排除错误选项就能得到答案。
【解析】
在频数直方图中，小长方形的高的计算公式为：$\mathrm{小长方形的高}=\frac{\mathrm{频数}}{\mathrm{组距}}$。
绘制同一幅频数直方图时，各组的组距是固定相等的定值，即$\frac{\mathrm{小长方形的高}}{\mathrm{频数}}=\frac{1}{\mathrm{组距}}$为定值，因此小长方形的高与频数成正比。
对各选项逐一分析：
A. 组数是数据分组的个数，与小长方形的高无正比关系，排除；
C. 由公式可知，当频数固定时高与组距成反比，组距本身是固定值，不符合正比要求，排除；
D. 数据总数是所有组频数的总和，与单个小长方形的高无正比关系，排除。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 频数直方图的性质
2. 正比例关系判定
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对频数直方图核心构成要素的理解，熟练掌握小长方形的高、频数、组距三者的关系即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2.一组数据的频数直方图如图所示，图中一至四组各长方形的高的比为$2:4:3:1$。已知第一组的频数是40，那么第二组的频数比第四组的频数多________，这组数据共有________个。
答案
$\boldsymbol{60}$；$\boldsymbol{200}$
解析
【分析】
频数直方图中，各组小长方形的高的比等于各组的频数之比。已知一至四组长方形高的比为2:4:3:1，即四组的频数比也为2:4:3:1。已知第一组频数为40，对应比例中的2份，我们先计算出1份对应的频数，再分别求出第二组、第四组的频数，计算两者的差值；最后用总份数乘1份对应的频数，即可得到数据的总个数。
【解析】
解：
∵ 频数直方图中各组长方形高的比等于各组频数之比，
∴ 一、二、三、四组的频数之比为2:4:3:1。
∵ 第一组的频数是40，对应比例中的2份，
∴ 1份对应的频数为：$40÷2=20$。
第二组的频数为：$4×20=80$，
第四组的频数为：$1×20=20$，
则第二组的频数比第四组多：$80-20=60$。
这组数据的总个数为：$(2+4+3+1)×20=10×20=200$。
【答案】
$60$；$200$
【知识点】
频数直方图的性质，频数的计算
【点评】
本题是频数直方图的基础应用题，解题核心是明确直方图中小长方形高的比与频数比的对应关系，结合比例关系即可快速计算结果，是统计部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
频数直方图中，各组小长方形的高的比等于各组的频数之比。已知一至四组长方形高的比为2:4:3:1，即四组的频数比也为2:4:3:1。已知第一组频数为40，对应比例中的2份，我们先计算出1份对应的频数，再分别求出第二组、第四组的频数，计算两者的差值；最后用总份数乘1份对应的频数，即可得到数据的总个数。
【解析】
解：
∵ 频数直方图中各组长方形高的比等于各组频数之比，
∴ 一、二、三、四组的频数之比为2:4:3:1。
∵ 第一组的频数是40，对应比例中的2份，
∴ 1份对应的频数为：$40÷2=20$。
第二组的频数为：$4×20=80$，
第四组的频数为：$1×20=20$，
则第二组的频数比第四组多：$80-20=60$。
这组数据的总个数为：$(2+4+3+1)×20=10×20=200$。
【答案】
$60$；$200$
【知识点】
频数直方图的性质，频数的计算
【点评】
本题是频数直方图的基础应用题，解题核心是明确直方图中小长方形高的比与频数比的对应关系，结合比例关系即可快速计算结果，是统计部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
3.某校在植树节当天组织各班级开展植树活动，事后统计了各班级的植树数量，并绘制成如图所示的频数直方图（每组包含前一个数值，不包含后一个数值）。根据统计结果，下列说法错误的是（填序号）。
①共有24个班级参加植树活动；②有4个班级植树数量少于25棵；③该频数直方图的组距为5棵；④有3个班级都种了45棵树。
①共有24个班级参加植树活动；②有4个班级植树数量少于25棵；③该频数直方图的组距为5棵；④有3个班级都种了45棵树。
答案
解：
① 计算总班级数：$4+5+7+5+3=24$，该说法正确；
② 植树数量少于25棵的对应$[20,25)$组，频数为4，该说法正确；
③ 组距为$25-20=5$棵，该说法正确；
④ 最后一组为$[40,45)$，每组包含前一个数值、不包含后一个数值，因此这3个班级的植树数量满足$40≤ x＜45$，不存在种了45棵树的班级，该说法错误。
故答案为：$\boldsymbol{④}$。
① 计算总班级数：$4+5+7+5+3=24$，该说法正确；
② 植树数量少于25棵的对应$[20,25)$组，频数为4，该说法正确；
③ 组距为$25-20=5$棵，该说法正确；
④ 最后一组为$[40,45)$，每组包含前一个数值、不包含后一个数值，因此这3个班级的植树数量满足$40≤ x＜45$，不存在种了45棵树的班级，该说法错误。
故答案为：$\boldsymbol{④}$。
解析
【分析】
解决本题首先要明确频数直方图的含义：横轴代表植树数量的分组，纵轴代表对应分组的班级数（即频数），同时注意题目给出的分组规则“每组包含前一个数值，不包含后一个数值”，接下来我们逐个验证四个说法的正误：先将所有组的频数相加得到总班级数验证①；找植树数量少于25棵对应的组，看该组频数验证②；用相邻两组的下限差值计算组距验证③；结合分组“含前不含后”的规则判断最后一组的取值范围，验证④即可。
【解析】
我们对四个说法逐一判断：
① 总班级数为各组频数之和：$4+5+7+5+3=24$（个），该说法正确；
② 植树数量少于25棵的是$[20,25)$这一组，对应频数为4，即有4个班级满足，该说法正确；
③ 组距为相邻两组下限的差值：$25-20=5$（棵），该说法正确；
④ 最后一组的范围是$[40,45)$，按照分组规则，该组班级的植树数量满足$40≤ x＜45$，不存在种了45棵树的班级，该说法错误。
综上，错误的是④。
【答案】
$\boldsymbol{④}$
【知识点】
频数直方图，组距，频数
【点评】
本题重点考查对频数直方图的理解与应用，解题的核心是读懂统计图中横纵轴的含义，以及分组的取值规则，其中“含前不含后”的分组要求是判断第④个说法的关键，避免因忽略该规则出错。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确频数直方图的含义：横轴代表植树数量的分组，纵轴代表对应分组的班级数（即频数），同时注意题目给出的分组规则“每组包含前一个数值，不包含后一个数值”，接下来我们逐个验证四个说法的正误：先将所有组的频数相加得到总班级数验证①；找植树数量少于25棵对应的组，看该组频数验证②；用相邻两组的下限差值计算组距验证③；结合分组“含前不含后”的规则判断最后一组的取值范围，验证④即可。
【解析】
我们对四个说法逐一判断：
① 总班级数为各组频数之和：$4+5+7+5+3=24$（个），该说法正确；
② 植树数量少于25棵的是$[20,25)$这一组，对应频数为4，即有4个班级满足，该说法正确；
③ 组距为相邻两组下限的差值：$25-20=5$（棵），该说法正确；
④ 最后一组的范围是$[40,45)$，按照分组规则，该组班级的植树数量满足$40≤ x＜45$，不存在种了45棵树的班级，该说法错误。
综上，错误的是④。
【答案】
$\boldsymbol{④}$
【知识点】
频数直方图，组距，频数
【点评】
本题重点考查对频数直方图的理解与应用，解题的核心是读懂统计图中横纵轴的含义，以及分组的取值规则，其中“含前不含后”的分组要求是判断第④个说法的关键，避免因忽略该规则出错。
【难度系数】
0.8
4.一组数据中的最大值为169，最小值为143。若绘制频数直方图时要求组距为3，则组数为。
答案
$\boldsymbol{9}$
解析
【分析】
要确定频数直方图的组数，首先需要计算这组数据的极差（最大值与最小值的差），再用极差除以组距得到商，由于组数必须是正整数，且所有数据都要分到对应的组里，若计算结果不是整数，需要向上取整，不能用四舍五入的方法取整。
【解析】
第一步：计算极差，极差 = 最大值 - 最小值 = $169 - 143 = 26$
第二步：计算组数，用极差除以组距：$26 ÷ 3 \approx 8.67$
因为组数必须为整数，且剩余的少量数据也需要单独分为一组，所以需要向上取整，可得组数为9。
【答案】
$\boldsymbol{9}$
【知识点】
1. 极差的计算
2. 频数直方图组数确定
【点评】
本题考查频数直方图绘制时组数的确定，易错点是对计算结果直接采用四舍五入取整，解题时需注意组数要向上取整，确保所有数据都被包含在分组内。
【难度系数】
0.7
要确定频数直方图的组数，首先需要计算这组数据的极差（最大值与最小值的差），再用极差除以组距得到商，由于组数必须是正整数，且所有数据都要分到对应的组里，若计算结果不是整数，需要向上取整，不能用四舍五入的方法取整。
【解析】
第一步：计算极差，极差 = 最大值 - 最小值 = $169 - 143 = 26$
第二步：计算组数，用极差除以组距：$26 ÷ 3 \approx 8.67$
因为组数必须为整数，且剩余的少量数据也需要单独分为一组，所以需要向上取整，可得组数为9。
【答案】
$\boldsymbol{9}$
【知识点】
1. 极差的计算
2. 频数直方图组数确定
【点评】
本题考查频数直方图绘制时组数的确定，易错点是对计算结果直接采用四舍五入取整，解题时需注意组数要向上取整，确保所有数据都被包含在分组内。
【难度系数】
0.7
5. 提升题 为弘扬传统文化，某校开展了“传承传统文化，阅读经典名著”的活动，并举行了经典名著知识竞赛。为了解七年级学生（七年级有8个班，共320名学生）的阅读效果，综合实践调查小组开展了一次调查研究。
【收集数据】
(1)调查小组计划选取40名学生的竞赛成绩（百分制）作为样本，下列抽样方法中，合理的是（）
A. 抽取七年级1班、2班各20名学生的竞赛成绩组成样本
B. 抽取各班竞赛成绩较好的40名学生的竞赛成绩组成样本
C. 从年级中按学号随机选取40名学生的竞赛成绩组成样本
【整理数据】
调查小组从年级中按学号随机选取40名学生，统计他们的竞赛成绩，其中竞赛成绩x在80分及以上的具体分数如下：
90,92,81,82,95,86,88,89,86,93,
97,100,80,81,86,89,82,85,98,90,
97,100,84,87,92,96。
整理数据，得到如下不完整的频数分布表和频数直方图。
(2)请补全以上频数分布表和频数直方图。
【描述数据】
(3)哪个分数段的学生人数最多？哪个分数段的学生人数最少？结合上述统计数据，请为经典名著阅读活动提出一些合理化的建议。
【收集数据】
(1)调查小组计划选取40名学生的竞赛成绩（百分制）作为样本，下列抽样方法中，合理的是（）
A. 抽取七年级1班、2班各20名学生的竞赛成绩组成样本
B. 抽取各班竞赛成绩较好的40名学生的竞赛成绩组成样本
C. 从年级中按学号随机选取40名学生的竞赛成绩组成样本
【整理数据】
调查小组从年级中按学号随机选取40名学生，统计他们的竞赛成绩，其中竞赛成绩x在80分及以上的具体分数如下：
90,92,81,82,95,86,88,89,86,93,
97,100,80,81,86,89,82,85,98,90,
97,100,84,87,92,96。
整理数据，得到如下不完整的频数分布表和频数直方图。
(2)请补全以上频数分布表和频数直方图。
【描述数据】
(3)哪个分数段的学生人数最多？哪个分数段的学生人数最少？结合上述统计数据，请为经典名著阅读活动提出一些合理化的建议。
答案
解：
(1) C
(2) 总样本容量为40，结合已知条件统计得：
$70≤ x＜80$的频数为10，
$80≤ x＜90$的频数为14，
$90≤ x≤100$的频数为12。
补全频数分布表对应空格依次填入：10，14，12。
补全频数直方图：在80~90分数段绘制高度对应纵轴14的长方形，在90~100分数段绘制高度对应纵轴12的长方形。
(3) $80≤ x＜90$分数段的学生人数最多，$60≤ x＜70$分数段的学生人数最少。
建议：对成绩偏低的学生开展经典名著入门导读活动，分层设置阅读任务；定期举办名著故事分享会、经典片段演绎等趣味活动，提升学生阅读积极性；设置阅读打卡激励机制，引导学生养成长期阅读经典的习惯。
(1) C
(2) 总样本容量为40，结合已知条件统计得：
$70≤ x＜80$的频数为10，
$80≤ x＜90$的频数为14，
$90≤ x≤100$的频数为12。
补全频数分布表对应空格依次填入：10，14，12。
补全频数直方图：在80~90分数段绘制高度对应纵轴14的长方形，在90~100分数段绘制高度对应纵轴12的长方形。
(3) $80≤ x＜90$分数段的学生人数最多，$60≤ x＜70$分数段的学生人数最少。
建议：对成绩偏低的学生开展经典名著入门导读活动，分层设置阅读任务；定期举办名著故事分享会、经典片段演绎等趣味活动，提升学生阅读积极性；设置阅读打卡激励机制，引导学生养成长期阅读经典的习惯。
解析
【分析】
1. 第(1)题：判断抽样方法是否合理的核心是抽样需满足随机性、代表性，样本要能反映全体七年级学生的成绩情况，不能偏向特定群体，逐一分析选项即可得出结果。
2. 第(2)题：先统计给出的80分及以上的成绩，分别数出落在80≤x＜90、90≤x≤100两个分数段的数量得到对应频数，再结合总样本容量40，即可算出70≤x＜80的频数，补全频数分布表后，根据频数数值补全直方图对应长方形的高度即可。
3. 第(3)题：比较各分数段的频数大小，就能确定人数最多和最少的分数段；建议结合低分段学生的实际情况，从提升阅读兴趣、分层设置任务等角度提出合理方案即可。
【解析】
(1) 选项A仅抽取1、2班学生，无法代表全年级8个班的整体水平，不具有代表性；选项B抽取成绩较好的学生，样本偏向高分群体，不满足随机性要求；选项C按学号随机选取40名学生，符合随机抽样的要求，样本可代表全年级学生的成绩情况，因此选C。
(2) 统计已知的80分及以上成绩：
落在$80≤x＜90$的成绩共有14个，因此该段频数为14；
落在$90≤x≤100$的成绩共有12个，因此该段频数为12；
总样本容量为40，结合$60≤x＜70$分数段的频数为4，可得$70≤x＜80$的频数为$40-4-14-12=10$。
据此补全频数分布表，再在频数直方图中，将80~90分数段的长方形高度画到对应纵轴14的位置，90~100分数段的长方形高度画到对应纵轴12的位置即可。
(3) 对比各分数段频数：$14＞12＞10＞4$，因此$80≤x＜90$分数段人数最多，$60≤x＜70$分数段人数最少。结合统计结果，可针对不同水平的学生设置差异化的阅读活动，提升整体阅读效果。
【答案】
(1) C
(2) 补全频数分布表对应空格依次填入：10，14，12。补全频数直方图：在80~90分数段绘制高度对应纵轴14的长方形，在90~100分数段绘制高度对应纵轴12的长方形。
(3) $80≤x＜90$分数段的学生人数最多，$60≤x＜70$分数段的学生人数最少。建议：对成绩偏低的学生开展经典名著入门导读活动，分层设置阅读任务；定期举办名著故事分享会、经典片段演绎等趣味活动，提升学生阅读积极性；设置阅读打卡激励机制，引导学生养成长期阅读经典的习惯。
【知识点】
抽样调查的可靠性；频数分布表；频数直方图
【点评】
本题结合传统文化阅读的实际场景考查统计相关知识，贴近学生生活，既考查了抽样判断、频数统计、图表补全等基础能力，也引导学生利用统计结果解决实际问题，提升数据分析应用意识。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)题：判断抽样方法是否合理的核心是抽样需满足随机性、代表性，样本要能反映全体七年级学生的成绩情况，不能偏向特定群体，逐一分析选项即可得出结果。
2. 第(2)题：先统计给出的80分及以上的成绩，分别数出落在80≤x＜90、90≤x≤100两个分数段的数量得到对应频数，再结合总样本容量40，即可算出70≤x＜80的频数，补全频数分布表后，根据频数数值补全直方图对应长方形的高度即可。
3. 第(3)题：比较各分数段的频数大小，就能确定人数最多和最少的分数段；建议结合低分段学生的实际情况，从提升阅读兴趣、分层设置任务等角度提出合理方案即可。
【解析】
(1) 选项A仅抽取1、2班学生，无法代表全年级8个班的整体水平，不具有代表性；选项B抽取成绩较好的学生，样本偏向高分群体，不满足随机性要求；选项C按学号随机选取40名学生，符合随机抽样的要求，样本可代表全年级学生的成绩情况，因此选C。
(2) 统计已知的80分及以上成绩：
落在$80≤x＜90$的成绩共有14个，因此该段频数为14；
落在$90≤x≤100$的成绩共有12个，因此该段频数为12；
总样本容量为40，结合$60≤x＜70$分数段的频数为4，可得$70≤x＜80$的频数为$40-4-14-12=10$。
据此补全频数分布表，再在频数直方图中，将80~90分数段的长方形高度画到对应纵轴14的位置，90~100分数段的长方形高度画到对应纵轴12的位置即可。
(3) 对比各分数段频数：$14＞12＞10＞4$，因此$80≤x＜90$分数段人数最多，$60≤x＜70$分数段人数最少。结合统计结果，可针对不同水平的学生设置差异化的阅读活动，提升整体阅读效果。
【答案】
(1) C
(2) 补全频数分布表对应空格依次填入：10，14，12。补全频数直方图：在80~90分数段绘制高度对应纵轴14的长方形，在90~100分数段绘制高度对应纵轴12的长方形。
(3) $80≤x＜90$分数段的学生人数最多，$60≤x＜70$分数段的学生人数最少。建议：对成绩偏低的学生开展经典名著入门导读活动，分层设置阅读任务；定期举办名著故事分享会、经典片段演绎等趣味活动，提升学生阅读积极性；设置阅读打卡激励机制，引导学生养成长期阅读经典的习惯。
【知识点】
抽样调查的可靠性；频数分布表；频数直方图
【点评】
本题结合传统文化阅读的实际场景考查统计相关知识，贴近学生生活，既考查了抽样判断、频数统计、图表补全等基础能力，也引导学生利用统计结果解决实际问题，提升数据分析应用意识。
【难度系数】
0.7
