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1. 下列代数式中，符合代数式书写要求的有________（填序号）。
①$1\dfrac{1}{3}x^2y$；②$ab÷ c^3$；③$\dfrac{2m}{n}$；④$\dfrac{a^2 - b^2}{5}$；⑤$mb·4$；⑥$-1ab$；⑦$aab$。
①$1\dfrac{1}{3}x^2y$；②$ab÷ c^3$；③$\dfrac{2m}{n}$；④$\dfrac{a^2 - b^2}{5}$；⑤$mb·4$；⑥$-1ab$；⑦$aab$。
答案
解：
根据代数式的书写规则逐一判断：
①带分数与字母相乘时，带分数需化为假分数，不符合书写要求；
②代数式中的除法运算应写成分数形式，不符合书写要求；
③$\dfrac{2m}{n}$符合代数式书写要求；
④$\dfrac{a^2 - b^2}{5}$符合代数式书写要求；
⑤数字与字母相乘时，数字需写在字母前面，乘号省略，不符合书写要求；
⑥系数为$-1$时，数字1省略不写，不符合书写要求；
⑦相同字母相乘应写成幂的形式，不符合书写要求。
综上，符合代数式书写要求的有$\boldsymbol{③④}$。
根据代数式的书写规则逐一判断：
①带分数与字母相乘时，带分数需化为假分数，不符合书写要求；
②代数式中的除法运算应写成分数形式，不符合书写要求；
③$\dfrac{2m}{n}$符合代数式书写要求；
④$\dfrac{a^2 - b^2}{5}$符合代数式书写要求；
⑤数字与字母相乘时，数字需写在字母前面，乘号省略，不符合书写要求；
⑥系数为$-1$时，数字1省略不写，不符合书写要求；
⑦相同字母相乘应写成幂的形式，不符合书写要求。
综上，符合代数式书写要求的有$\boldsymbol{③④}$。
解析
【分析】
本题考查代数式的书写规范，解题时需先牢记代数式的核心书写规则，再将给出的7个代数式逐一与规则对照，判断是否符合要求即可。常用的书写规则有：1.带分数与字母相乘时，带分数要化为假分数；2.除法运算要写成分数形式，不能用“÷”；3.数字与字母相乘时，数字要写在字母前面，乘号省略；4.系数为1或-1时，数字1要省略不写；5.相同字母相乘要写成幂的形式。
【解析】
根据代数式书写规则逐一判断：
①$1\dfrac{1}{3}x^2y$：带分数与字母相乘未化为假分数，不符合书写要求；
②$ab÷ c^3$：除法运算未写成分数形式，仍使用“÷”符号，不符合书写要求；
③$\dfrac{2m}{n}$：除法运算写为分数形式，书写规范，符合要求；
④$\dfrac{a^2 - b^2}{5}$：式子书写符合代数式规范，符合要求；
⑤$mb·4$：数字与字母相乘时，数字未写在字母最前面，不符合书写要求；
⑥$-1ab$：系数为-1时，数字1应省略，不符合书写要求；
⑦$aab$：相同字母相乘未写成幂的形式（应为$a^2b$），不符合书写要求。
综上，符合代数式书写要求的是③④。
【答案】
$\boldsymbol{③④}$
【知识点】
代数式的书写规范
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对代数式书写规则的识记与辨析能力，熟练掌握书写规范是后续正确列代数式、进行整式运算的前提，同学们要牢记常见的书写易错点，避免后续做题出现格式错误。
【难度系数】
0.8
本题考查代数式的书写规范，解题时需先牢记代数式的核心书写规则，再将给出的7个代数式逐一与规则对照，判断是否符合要求即可。常用的书写规则有：1.带分数与字母相乘时，带分数要化为假分数；2.除法运算要写成分数形式，不能用“÷”；3.数字与字母相乘时，数字要写在字母前面，乘号省略；4.系数为1或-1时，数字1要省略不写；5.相同字母相乘要写成幂的形式。
【解析】
根据代数式书写规则逐一判断：
①$1\dfrac{1}{3}x^2y$：带分数与字母相乘未化为假分数，不符合书写要求；
②$ab÷ c^3$：除法运算未写成分数形式，仍使用“÷”符号，不符合书写要求；
③$\dfrac{2m}{n}$：除法运算写为分数形式，书写规范，符合要求；
④$\dfrac{a^2 - b^2}{5}$：式子书写符合代数式规范，符合要求；
⑤$mb·4$：数字与字母相乘时，数字未写在字母最前面，不符合书写要求；
⑥$-1ab$：系数为-1时，数字1应省略，不符合书写要求；
⑦$aab$：相同字母相乘未写成幂的形式（应为$a^2b$），不符合书写要求。
综上，符合代数式书写要求的是③④。
【答案】
$\boldsymbol{③④}$
【知识点】
代数式的书写规范
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对代数式书写规则的识记与辨析能力，熟练掌握书写规范是后续正确列代数式、进行整式运算的前提，同学们要牢记常见的书写易错点，避免后续做题出现格式错误。
【难度系数】
0.8
2.若一个三角形的底边长为a，高为h，
则其面积为。
则其面积为。
答案
解：
根据三角形面积公式，将底边长$a$、高$h$代入，可得其面积为$\frac{1}{2}ah$。
根据三角形面积公式，将底边长$a$、高$h$代入，可得其面积为$\frac{1}{2}ah$。
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形面积的计算公式，明确三角形面积和底、高的数量关系，再将题目给出的底边长$a$、高$h$代入对应公式，即可得到表示面积的代数式。
【解析】
我们已知三角形的面积公式为：$\mathrm{三角形面积}=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}$，
题目中给出三角形的底边长为$a$，高为$h$，将底和高代入上述公式，
可得该三角形的面积为$\frac{1}{2}× a× h=\frac{1}{2}ah$。
【答案】
$\frac{1}{2}ah$
【知识点】
三角形面积公式；列代数式
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对基础几何公式的记忆和用字母表示数量关系的能力，熟练掌握常见图形的面积公式即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形面积的计算公式，明确三角形面积和底、高的数量关系，再将题目给出的底边长$a$、高$h$代入对应公式，即可得到表示面积的代数式。
【解析】
我们已知三角形的面积公式为：$\mathrm{三角形面积}=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}$，
题目中给出三角形的底边长为$a$，高为$h$，将底和高代入上述公式，
可得该三角形的面积为$\frac{1}{2}× a× h=\frac{1}{2}ah$。
【答案】
$\frac{1}{2}ah$
【知识点】
三角形面积公式；列代数式
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对基础几何公式的记忆和用字母表示数量关系的能力，熟练掌握常见图形的面积公式即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
3.一个两位数，十位上的数字是m，个位上的数字是n，这个两位数可表示为。
答案
解：
十位上的数字是m，对应的数值为10m，
个位上的数字是n，对应的数值为n，
因此这个两位数可表示为$10m+n$。
十位上的数字是m，对应的数值为10m，
个位上的数字是n，对应的数值为n，
因此这个两位数可表示为$10m+n$。
解析
【分析】
要表示两位数，首先要明确不同数位的计数单位：十位的计数单位是十，即十位上的数字表示几个十；个位的计数单位是一，即个位上的数字表示几个一。例如两位数47，十位数字是4，对应数值为4×10=40，个位数字是7，对应数值为7，合起来就是40+7=47。本题中十位数字是m，对应数值为10乘m，个位数字是n，对应数值就是n，将两部分相加即可得到两位数的表达式，注意不能直接写成mn，mn表示m与n的乘积，不符合两位数的含义。
【解析】
根据数位的计数规则：
十位上的数字是m，代表m个十，对应的数值为10m；
个位上的数字是n，代表n个一，对应的数值为n；
将两个数位的数值相加，可得这个两位数的表达式为10m + n。
【答案】
$10m+n$
【知识点】
用字母表示数；列代数式；数位的意义
【点评】
本题属于基础题，重点考察数位计数规则和代数式的书写，解题时要注意区分“数字拼接”和“数位数值相加”的区别，避免出现直接写mn的错误，是代数式应用的基础内容。
【难度系数】
0.9
要表示两位数，首先要明确不同数位的计数单位：十位的计数单位是十，即十位上的数字表示几个十；个位的计数单位是一，即个位上的数字表示几个一。例如两位数47，十位数字是4，对应数值为4×10=40，个位数字是7，对应数值为7，合起来就是40+7=47。本题中十位数字是m，对应数值为10乘m，个位数字是n，对应数值就是n，将两部分相加即可得到两位数的表达式，注意不能直接写成mn，mn表示m与n的乘积，不符合两位数的含义。
【解析】
根据数位的计数规则：
十位上的数字是m，代表m个十，对应的数值为10m；
个位上的数字是n，代表n个一，对应的数值为n；
将两个数位的数值相加，可得这个两位数的表达式为10m + n。
【答案】
$10m+n$
【知识点】
用字母表示数；列代数式；数位的意义
【点评】
本题属于基础题，重点考察数位计数规则和代数式的书写，解题时要注意区分“数字拼接”和“数位数值相加”的区别，避免出现直接写mn的错误，是代数式应用的基础内容。
【难度系数】
0.9
4.用火柴棒拼成的图形如图所示，则拼第m个图形需根火柴棒。
答案
解：
观察图形可得：
第1个图形需要火柴棒：$3 = 2×1 + 1$ 根，
第2个图形需要火柴棒：$5 = 2×2 + 1$ 根，
第3个图形需要火柴棒：$7 = 2×3 + 1$ 根，
……
以此类推，第$m$个图形需 $\boldsymbol{2m+1}$ 根火柴棒。
观察图形可得：
第1个图形需要火柴棒：$3 = 2×1 + 1$ 根，
第2个图形需要火柴棒：$5 = 2×2 + 1$ 根，
第3个图形需要火柴棒：$7 = 2×3 + 1$ 根，
……
以此类推，第$m$个图形需 $\boldsymbol{2m+1}$ 根火柴棒。
解析
【分析】
这是一道图形规律探究题，解题时先从已知的前几个图形入手，分别统计每个图形的火柴棒数量，再将数量和对应图形的序号做关联分析，观察数字变化的共性特征，验证规律的一致性后，即可推广得到第m个图形的火柴棒数量表达式。
【解析】
观察图形统计火柴棒数量：
第1个图形需要火柴棒：$3 = 2×1 + 1$ 根；
第2个图形需要火柴棒：$5 = 2×2 + 1$ 根；
第3个图形需要火柴棒：$7 = 2×3 + 1$ 根；
……
可发现规律：第n个图形的火柴棒数量等于序号的2倍加1，因此第$m$个图形需要的火柴棒数量为$2m+1$根。
【答案】
$2m+1$
【知识点】
图形规律探究、列代数式
【点评】
本题属于基础规律探究类题目，核心考查归纳推理能力，解题的关键是准确统计前几个图形的火柴棒数量，找到数量随序号变化的固定规律，即可快速得到对应代数式。
【难度系数】
0.75
这是一道图形规律探究题，解题时先从已知的前几个图形入手，分别统计每个图形的火柴棒数量，再将数量和对应图形的序号做关联分析，观察数字变化的共性特征，验证规律的一致性后，即可推广得到第m个图形的火柴棒数量表达式。
【解析】
观察图形统计火柴棒数量：
第1个图形需要火柴棒：$3 = 2×1 + 1$ 根；
第2个图形需要火柴棒：$5 = 2×2 + 1$ 根；
第3个图形需要火柴棒：$7 = 2×3 + 1$ 根；
……
可发现规律：第n个图形的火柴棒数量等于序号的2倍加1，因此第$m$个图形需要的火柴棒数量为$2m+1$根。
【答案】
$2m+1$
【知识点】
图形规律探究、列代数式
【点评】
本题属于基础规律探究类题目，核心考查归纳推理能力，解题的关键是准确统计前几个图形的火柴棒数量，找到数量随序号变化的固定规律，即可快速得到对应代数式。
【难度系数】
0.75
5.某超市采购了一批商品，每件进价为a元。若要获利25%，则每件商品的零售价应定为元。
答案
解：
每件商品的利润为25%a元，
则零售价为进价与利润的和，即：
$a + 25\%a = 1.25a$
所以每件商品的零售价应定为$\boldsymbol{1.25a}$元。
每件商品的利润为25%a元，
则零售价为进价与利润的和，即：
$a + 25\%a = 1.25a$
所以每件商品的零售价应定为$\boldsymbol{1.25a}$元。
解析
【分析】
解题时首先明确“获利25%”是指利润占进价的25%，计算零售价的核心逻辑是：零售价=进价+利润。第一步先根据进价和利润率算出每件商品的利润，第二步将进价与利润相加合并，即可得到零售价的代数式。
【解析】
已知每件商品进价为a元，获利25%，则每件商品的利润为25%a元。
零售价为进价与利润的和，因此列式为：
$a + 25\%a = (1+0.25)a = 1.25a$
【答案】
$\boldsymbol{1.25a}$
【知识点】
列代数式；销售利润问题计算
【点评】
本题是基础的实际应用类代数式列写题目，解题关键是明确利润率的计算基数为商品进价，掌握售价、进价、利润率三者的数量关系就能轻松求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确“获利25%”是指利润占进价的25%，计算零售价的核心逻辑是：零售价=进价+利润。第一步先根据进价和利润率算出每件商品的利润，第二步将进价与利润相加合并，即可得到零售价的代数式。
【解析】
已知每件商品进价为a元，获利25%，则每件商品的利润为25%a元。
零售价为进价与利润的和，因此列式为：
$a + 25\%a = (1+0.25)a = 1.25a$
【答案】
$\boldsymbol{1.25a}$
【知识点】
列代数式；销售利润问题计算
【点评】
本题是基础的实际应用类代数式列写题目，解题关键是明确利润率的计算基数为商品进价，掌握售价、进价、利润率三者的数量关系就能轻松求解。
【难度系数】
0.9
6.今年植树节时，某校有305名同学参加了植树活动，其中有$\frac{2}{5}$的同学每人植树a棵，其余同学每人植树2棵，他们植树的总棵数为（用含a的式子表示）。
答案
解：
植树a棵的同学人数为：$305×\frac{2}{5}=122$，这部分同学植树总棵数为$122a$。
其余同学的人数为：$305 - 122 = 183$，这部分同学植树总棵数为$183×2=366$。
因此他们植树的总棵数为$\boldsymbol{122a + 366}$。
植树a棵的同学人数为：$305×\frac{2}{5}=122$，这部分同学植树总棵数为$122a$。
其余同学的人数为：$305 - 122 = 183$，这部分同学植树总棵数为$183×2=366$。
因此他们植树的总棵数为$\boldsymbol{122a + 366}$。
解析
【分析】
要求植树总棵数，需先将总植树量拆分为两部分计算：一是植a棵的同学的植树总量，二是植2棵的同学的植树总量。首先计算第一部分的学生人数，再乘每人植树棵数得到该部分总棵数；接着算出剩余学生人数，乘2得到第二部分总棵数；最后将两部分相加即可得到总棵数的代数式。
【解析】
1. 计算植树a棵的同学人数：$305×\frac{2}{5}=122$人，该部分总植树棵数为$122× a=122a$。
2. 计算剩余同学人数：$305-122=183$人，该部分每人植树2棵，总棵数为$183×2=366$棵。
3. 两部分相加得到总植树棵数：$122a+366$。
【答案】
$\boldsymbol{122a + 366}$
【知识点】
列代数式、分数乘法运算、整式加法
【点评】
本题结合植树场景考查代数式的列写，解题关键是理清题目中的数量关系，拆分计算两部分的植树总量再合并，属于基础题型，运算时注意数值计算的准确性即可。
【难度系数】
0.85
要求植树总棵数，需先将总植树量拆分为两部分计算：一是植a棵的同学的植树总量，二是植2棵的同学的植树总量。首先计算第一部分的学生人数，再乘每人植树棵数得到该部分总棵数；接着算出剩余学生人数，乘2得到第二部分总棵数；最后将两部分相加即可得到总棵数的代数式。
【解析】
1. 计算植树a棵的同学人数：$305×\frac{2}{5}=122$人，该部分总植树棵数为$122× a=122a$。
2. 计算剩余同学人数：$305-122=183$人，该部分每人植树2棵，总棵数为$183×2=366$棵。
3. 两部分相加得到总植树棵数：$122a+366$。
【答案】
$\boldsymbol{122a + 366}$
【知识点】
列代数式、分数乘法运算、整式加法
【点评】
本题结合植树场景考查代数式的列写，解题关键是理清题目中的数量关系，拆分计算两部分的植树总量再合并，属于基础题型，运算时注意数值计算的准确性即可。
【难度系数】
0.85
7.如图,请用字母表示图中阴影部分的面积。
答案
解：
大长方形的面积为 $ ab $，
内部空白小长方形的面积为 $ mn $，
阴影部分的面积等于大长方形面积减去空白小长方形的面积，因此阴影部分的面积为 $ ab - mn $。
大长方形的面积为 $ ab $，
内部空白小长方形的面积为 $ mn $，
阴影部分的面积等于大长方形面积减去空白小长方形的面积，因此阴影部分的面积为 $ ab - mn $。
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，可知阴影部分的面积为大长方形面积减去中间空白小长方形的面积。我们只需先依据“长方形面积=长×宽”的公式，分别求出大长方形和空白小长方形的面积，再将两个面积作差，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
首先计算大长方形的面积：大长方形的长为$a$，宽为$b$，根据长方形面积公式，可得大长方形面积为$ab$；
再计算内部空白小长方形的面积：小长方形的长为$m$，宽为$n$，可得其面积为$mn$；
阴影部分的面积等于大长方形面积减去空白小长方形的面积，因此阴影部分的面积为$ab - mn$。
【答案】
$ab - mn$
【知识点】
长方形面积计算；列代数式；组合图形面积求解
【点评】
本题是组合图形面积计算的基础题，核心解题方法是作差法，只要掌握基本图形的面积公式，理清图形各部分的构成关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先观察图形特征，可知阴影部分的面积为大长方形面积减去中间空白小长方形的面积。我们只需先依据“长方形面积=长×宽”的公式，分别求出大长方形和空白小长方形的面积，再将两个面积作差，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
首先计算大长方形的面积：大长方形的长为$a$，宽为$b$，根据长方形面积公式，可得大长方形面积为$ab$；
再计算内部空白小长方形的面积：小长方形的长为$m$，宽为$n$，可得其面积为$mn$；
阴影部分的面积等于大长方形面积减去空白小长方形的面积，因此阴影部分的面积为$ab - mn$。
【答案】
$ab - mn$
【知识点】
长方形面积计算；列代数式；组合图形面积求解
【点评】
本题是组合图形面积计算的基础题，核心解题方法是作差法，只要掌握基本图形的面积公式，理清图形各部分的构成关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
8. 提升题 如图，将一张正方形纸片剪成四个大小相同的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个大小相同的小正方形……如此进行下去。
(1)完成下表：
| 剪的次数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 正方形个数 | | |
| | | | … |
(2)如果剪100次，共剪出个小正方形。
(3)如果剪n次，共剪出个小正方形。
(1)完成下表：
| 剪的次数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 正方形个数 | | |
| | | | … |(2)如果剪100次，共剪出个小正方形。
(3)如果剪n次，共剪出个小正方形。
答案
解：
(1) 剪1次，正方形个数为4；
剪2次，正方形个数为4+3=7；
剪3次，正方形个数为7+3=10；
剪4次，正方形个数为10+3=13；
剪5次，正方形个数为13+3=16；
剪6次，正方形个数为16+3=19；
表格依次填入：4，7，10，13，16，19。
(2) 当剪100次时，正方形个数为3×100+1=301，共剪出$\boldsymbol{301}$个小正方形。
(3) 如果剪$n$次，共剪出$\boldsymbol{3n+1}$个小正方形。
(1) 剪1次，正方形个数为4；
剪2次，正方形个数为4+3=7；
剪3次，正方形个数为7+3=10；
剪4次，正方形个数为10+3=13；
剪5次，正方形个数为13+3=16；
剪6次，正方形个数为16+3=19；
表格依次填入：4，7，10，13，16，19。
(2) 当剪100次时，正方形个数为3×100+1=301，共剪出$\boldsymbol{301}$个小正方形。
(3) 如果剪$n$次，共剪出$\boldsymbol{3n+1}$个小正方形。
解析
【分析】
解题时先观察操作的变化规律：初始有1个正方形，第1次剪会将1个正方形变为4个，总数比之前增加3个；后续每一次剪都是将其中1个小正方形剪成4个，因此每剪1次，正方形的总个数都会固定增加3个，属于公差为3的等差数列规律。第一问按照每次加3的规律依次计算对应次数的正方形个数；第二问先推导通用规律再代入n=100计算；第三问根据规律总结出含n的代数式即可。
【解析】
(1) 剪1次时，正方形个数为4；
剪2次时，总数为$4+3=7$；
剪3次时，总数为$7+3=10$；
剪4次时，总数为$10+3=13$；
剪5次时，总数为$13+3=16$；
剪6次时，总数为$16+3=19$；
因此表格从左到右依次填入：4，7，10，13，16，19。
(2) 由规律可得剪n次的正方形总个数为$3n+1$，当$n=100$时，总个数为$3×100+1=301$。
(3) 结合每次剪增加3个的特征，推导得剪n次时，正方形总个数为$3n+1$。
【答案】
(1) 4，7，10，13，16，19；
(2) 301；
(3) $3n+1$
【知识点】
图形规律探究，代数式表示规律，代数式求值
【点评】
本题是规律探究类的典型基础题，解题核心是抓住每次操作后正方形数量的固定增量，通过特殊情况的特征归纳出通用规律，能有效锻炼逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察操作的变化规律：初始有1个正方形，第1次剪会将1个正方形变为4个，总数比之前增加3个；后续每一次剪都是将其中1个小正方形剪成4个，因此每剪1次，正方形的总个数都会固定增加3个，属于公差为3的等差数列规律。第一问按照每次加3的规律依次计算对应次数的正方形个数；第二问先推导通用规律再代入n=100计算；第三问根据规律总结出含n的代数式即可。
【解析】
(1) 剪1次时，正方形个数为4；
剪2次时，总数为$4+3=7$；
剪3次时，总数为$7+3=10$；
剪4次时，总数为$10+3=13$；
剪5次时，总数为$13+3=16$；
剪6次时，总数为$16+3=19$；
因此表格从左到右依次填入：4，7，10，13，16，19。
(2) 由规律可得剪n次的正方形总个数为$3n+1$，当$n=100$时，总个数为$3×100+1=301$。
(3) 结合每次剪增加3个的特征，推导得剪n次时，正方形总个数为$3n+1$。
【答案】
(1) 4，7，10，13，16，19；
(2) 301；
(3) $3n+1$
【知识点】
图形规律探究，代数式表示规律，代数式求值
【点评】
本题是规律探究类的典型基础题，解题核心是抓住每次操作后正方形数量的固定增量，通过特殊情况的特征归纳出通用规律，能有效锻炼逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7
