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6. 提升题＞如图，半径为10 cm、高为30 cm的圆柱形水桶中装满了水，为了节约用水，乐乐同学准备分次使用。他先将桶中的水倒满4个底面半径为3 cm、高为5 cm的圆柱形杯子，再将剩下的水倒入长、宽、高分别为50 cm，20 cm，10 cm的长方体容器内，水会溢出来吗？若没有溢出来，求出长方体容器内水的高度(π取3，容器的厚度不计)。
答案
解：
计算圆柱形水桶内水的总体积：
$V_{\mathrm{水桶}} = π × 10^2 × 30 = 3 × 100 × 30 = 9000\ (\mathrm{cm}^3)$
计算4个圆柱形杯子的总容积：
$V_{\mathrm{杯子总}} = 4 × (π × 3^2 × 5) = 4 × (3 × 9 × 5) = 540\ (\mathrm{cm}^3)$
剩余水的体积为：
$V_{\mathrm{剩余}} = 9000 - 540 = 8460\ (\mathrm{cm}^3)$
长方体容器的总容积为：
$V_{\mathrm{长方体}} = 50 × 20 × 10 = 10000\ (\mathrm{cm}^3)$
因为$8460 ＜ 10000$，所以水不会溢出来。
设长方体容器内水的高度为$x\ \mathrm{cm}$，可得：
$50 × 20 × x = 8460$
$1000x = 8460$
$x = 8.46$
答：水不会溢出来，长方体容器内水的高度为8.46 cm。
计算圆柱形水桶内水的总体积：
$V_{\mathrm{水桶}} = π × 10^2 × 30 = 3 × 100 × 30 = 9000\ (\mathrm{cm}^3)$
计算4个圆柱形杯子的总容积：
$V_{\mathrm{杯子总}} = 4 × (π × 3^2 × 5) = 4 × (3 × 9 × 5) = 540\ (\mathrm{cm}^3)$
剩余水的体积为：
$V_{\mathrm{剩余}} = 9000 - 540 = 8460\ (\mathrm{cm}^3)$
长方体容器的总容积为：
$V_{\mathrm{长方体}} = 50 × 20 × 10 = 10000\ (\mathrm{cm}^3)$
因为$8460 ＜ 10000$，所以水不会溢出来。
设长方体容器内水的高度为$x\ \mathrm{cm}$，可得：
$50 × 20 × x = 8460$
$1000x = 8460$
$x = 8.46$
答：水不会溢出来，长方体容器内水的高度为8.46 cm。
解析
【分析】
要判断水是否会溢出，核心是抓住水的体积在转移过程中保持不变的特点，按以下思路推导：第一步先计算圆柱形水桶中原有水的总体积；第二步计算4个小圆柱形杯子总共装走的水的体积，用总体积减去倒走的体积得到剩余水的体积；第三步计算长方体容器的总容积，将剩余水的体积和长方体容积比较，若剩余体积小于容积则水不会溢出；最后剩余的水倒入长方体后，水的体积等于长方体底面积乘水的高度，据此即可求出容器内水的高度。
【解析】
首先根据圆柱体积公式$V=π r^2h$，计算圆柱形水桶内水的总体积：
$V_{\mathrm{水桶}} = π × 10^2 × 30 = 3 × 100 × 30 = 9000\ (\mathrm{cm}^3)$
再计算4个圆柱形杯子的总容积：
$V_{\mathrm{杯子总}} = 4 × (π × 3^2 × 5) = 4 × (3 × 9 × 5) = 540\ (\mathrm{cm}^3)$
倒满杯子后剩余水的体积为：
$V_{\mathrm{剩余}} = 9000 - 540 = 8460\ (\mathrm{cm}^3)$
接下来根据长方体体积公式$V=长×宽×高$，计算长方体容器的总容积：
$V_{\mathrm{长方体}} = 50 × 20 × 10 = 10000\ (\mathrm{cm}^3)$
因为$8460 ＜ 10000$，所以水不会溢出来。
设长方体容器内水的高度为$x\ \mathrm{cm}$，根据倒入长方体的水的体积等于剩余水的体积，列方程得：
$50 × 20 × x = 8460$
$1000x = 8460$
解得$x = 8.46$
【答案】
水不会溢出来，长方体容器内水的高度为8.46 cm。
【知识点】
圆柱体积计算，长方体体积计算，等积变形
【点评】
本题解题的关键是抓住水转移前后总体积不变的特点，结合圆柱、长方体的体积公式逐步推导即可，解题时要注意数值代入准确，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
要判断水是否会溢出，核心是抓住水的体积在转移过程中保持不变的特点，按以下思路推导：第一步先计算圆柱形水桶中原有水的总体积；第二步计算4个小圆柱形杯子总共装走的水的体积，用总体积减去倒走的体积得到剩余水的体积；第三步计算长方体容器的总容积，将剩余水的体积和长方体容积比较，若剩余体积小于容积则水不会溢出；最后剩余的水倒入长方体后，水的体积等于长方体底面积乘水的高度，据此即可求出容器内水的高度。
【解析】
首先根据圆柱体积公式$V=π r^2h$，计算圆柱形水桶内水的总体积：
$V_{\mathrm{水桶}} = π × 10^2 × 30 = 3 × 100 × 30 = 9000\ (\mathrm{cm}^3)$
再计算4个圆柱形杯子的总容积：
$V_{\mathrm{杯子总}} = 4 × (π × 3^2 × 5) = 4 × (3 × 9 × 5) = 540\ (\mathrm{cm}^3)$
倒满杯子后剩余水的体积为：
$V_{\mathrm{剩余}} = 9000 - 540 = 8460\ (\mathrm{cm}^3)$
接下来根据长方体体积公式$V=长×宽×高$，计算长方体容器的总容积：
$V_{\mathrm{长方体}} = 50 × 20 × 10 = 10000\ (\mathrm{cm}^3)$
因为$8460 ＜ 10000$，所以水不会溢出来。
设长方体容器内水的高度为$x\ \mathrm{cm}$，根据倒入长方体的水的体积等于剩余水的体积，列方程得：
$50 × 20 × x = 8460$
$1000x = 8460$
解得$x = 8.46$
【答案】
水不会溢出来，长方体容器内水的高度为8.46 cm。
【知识点】
圆柱体积计算，长方体体积计算，等积变形
【点评】
本题解题的关键是抓住水转移前后总体积不变的特点，结合圆柱、长方体的体积公式逐步推导即可，解题时要注意数值代入准确，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
7. 提升题 为庆祝教师节，今年教师节当天，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送教师。如果规定向东为正，向西为负，那么出租车的行程如下（单位：km）：+15，-4，+13，-10，-12，+3，-13，-17。
(1)将最后一位教师送到目的地时，小王距发车地的距离是多少？
(2)已知小王的出租车每千米耗油量为0.08 L，这天上午他的出租车共耗油多少升？
(3)若出租车的收费标准是：5 km内（含5 km）只收取起步价8元；超过5 km，则每超过1 km加收1.2元。请你通过计算说明小王当天上午共免收教师多少元车费。
(1)将最后一位教师送到目的地时，小王距发车地的距离是多少？
(2)已知小王的出租车每千米耗油量为0.08 L，这天上午他的出租车共耗油多少升？
(3)若出租车的收费标准是：5 km内（含5 km）只收取起步价8元；超过5 km，则每超过1 km加收1.2元。请你通过计算说明小王当天上午共免收教师多少元车费。
答案
解：
(1) 计算所有行程的代数和：
$\begin{aligned}&(+15)+(-4)+(+13)+(-10)+(-12)+(+3)+(-13)+(-17)\\=&15-4+13-10-12+3-13-17\\=&-25\end{aligned}$
$|-25|=25$
答：小王距发车地的距离是25 km。
(2) 计算所有行程的绝对值之和：
$\begin{aligned}&|+15|+|-4|+|+13|+|-10|+|-12|+|+3|+|-13|+|-17|\\=&15+4+13+10+12+3+13+17\\=&87\ (\mathrm{km})\end{aligned}$
总耗油量：$87×0.08=6.96\ (\mathrm{L})$
答：这天上午他的出租车共耗油6.96 L。
(3) 逐次计算每趟行程的应收车费：
行程15 km：$8+(15-5)×1.2=20$ 元
行程4 km：8 元
行程13 km：$8+(13-5)×1.2=17.6$ 元
行程10 km：$8+(10-5)×1.2=14$ 元
行程12 km：$8+(12-5)×1.2=16.4$ 元
行程3 km：8 元
行程13 km：$8+(13-5)×1.2=17.6$ 元
行程17 km：$8+(17-5)×1.2=22.4$ 元
总免收车费：
$20+8+17.6+14+16.4+8+17.6+22.4=124\ (\mathrm{元})$
答：小王当天上午共免收教师124元车费。
(1) 计算所有行程的代数和：
$\begin{aligned}&(+15)+(-4)+(+13)+(-10)+(-12)+(+3)+(-13)+(-17)\\=&15-4+13-10-12+3-13-17\\=&-25\end{aligned}$
$|-25|=25$
答：小王距发车地的距离是25 km。
(2) 计算所有行程的绝对值之和：
$\begin{aligned}&|+15|+|-4|+|+13|+|-10|+|-12|+|+3|+|-13|+|-17|\\=&15+4+13+10+12+3+13+17\\=&87\ (\mathrm{km})\end{aligned}$
总耗油量：$87×0.08=6.96\ (\mathrm{L})$
答：这天上午他的出租车共耗油6.96 L。
(3) 逐次计算每趟行程的应收车费：
行程15 km：$8+(15-5)×1.2=20$ 元
行程4 km：8 元
行程13 km：$8+(13-5)×1.2=17.6$ 元
行程10 km：$8+(10-5)×1.2=14$ 元
行程12 km：$8+(12-5)×1.2=16.4$ 元
行程3 km：8 元
行程13 km：$8+(13-5)×1.2=17.6$ 元
行程17 km：$8+(17-5)×1.2=22.4$ 元
总免收车费：
$20+8+17.6+14+16.4+8+17.6+22.4=124\ (\mathrm{元})$
答：小王当天上午共免收教师124元车费。
解析
【分析】
(1) 第一问求小王距发车地的距离，已知向东为正、向西为负，所有行程的代数和可表示最终位置相对于发车地的方向和偏移量，偏移量的绝对值就是距发车地的距离，因此先将所有行程数据相加，再对结果取绝对值即可。
(2) 第二问求总耗油量，耗油量仅与行驶总路程有关，和行驶方向无关，因此需要先计算所有行程的绝对值之和得到总行驶路程，再乘每千米耗油量就能得到总耗油量。
(3) 第三问求总免收车费，即所有行程正常收费的总和，需按照分段计费规则逐趟计算每趟的车费：行程不超过5km（含5km）收8元起步价；超过5km时，车费=8元+超出5km部分的里程×1.2元/km，最后将8趟的车费相加即为总免收金额。
【解析】
(1) 计算所有行程的代数和：
$\begin{aligned}&(+15)+(-4)+(+13)+(-10)+(-12)+(+3)+(-13)+(-17)\\=&15-4+13-10-12+3-13-17\\=&-25\end{aligned}$
距发车地的距离为$|-25|=25$（km）
(2) 计算所有行程的绝对值之和得到总路程：
$\begin{aligned}&|+15|+|-4|+|+13|+|-10|+|-12|+|+3|+|-13|+|-17|\\=&15+4+13+10+12+3+13+17\\=&87\ (\mathrm{km})\end{aligned}$
总耗油量：$87×0.08=6.96\ (\mathrm{L})$
(3) 逐次计算每趟行程的应收车费：
行程15 km：$8+(15-5)×1.2=20$ 元
行程4 km：8 元
行程13 km：$8+(13-5)×1.2=17.6$ 元
行程10 km：$8+(10-5)×1.2=14$ 元
行程12 km：$8+(12-5)×1.2=16.4$ 元
行程3 km：8 元
行程13 km：$8+(13-5)×1.2=17.6$ 元
行程17 km：$8+(17-5)×1.2=22.4$ 元
总免收车费：
$20+8+17.6+14+16.4+8+17.6+22.4=124$（元）
【答案】
(1) 小王距发车地的距离是25 km；
(2) 这天上午出租车共耗油6.96 L；
(3) 小王当天上午共免收教师124元车费。
【知识点】
正负数的实际应用、绝对值的性质、有理数混合运算
【点评】
本题结合生活场景命题，既考查了正负数、绝对值的基础应用，也考查了分段计费的实际计算能力，解题时要注意区分位移和路程的计算差异，分段计费需逐趟计算避免求和出错。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问求小王距发车地的距离，已知向东为正、向西为负，所有行程的代数和可表示最终位置相对于发车地的方向和偏移量，偏移量的绝对值就是距发车地的距离，因此先将所有行程数据相加，再对结果取绝对值即可。
(2) 第二问求总耗油量，耗油量仅与行驶总路程有关，和行驶方向无关，因此需要先计算所有行程的绝对值之和得到总行驶路程，再乘每千米耗油量就能得到总耗油量。
(3) 第三问求总免收车费，即所有行程正常收费的总和，需按照分段计费规则逐趟计算每趟的车费：行程不超过5km（含5km）收8元起步价；超过5km时，车费=8元+超出5km部分的里程×1.2元/km，最后将8趟的车费相加即为总免收金额。
【解析】
(1) 计算所有行程的代数和：
$\begin{aligned}&(+15)+(-4)+(+13)+(-10)+(-12)+(+3)+(-13)+(-17)\\=&15-4+13-10-12+3-13-17\\=&-25\end{aligned}$
距发车地的距离为$|-25|=25$（km）
(2) 计算所有行程的绝对值之和得到总路程：
$\begin{aligned}&|+15|+|-4|+|+13|+|-10|+|-12|+|+3|+|-13|+|-17|\\=&15+4+13+10+12+3+13+17\\=&87\ (\mathrm{km})\end{aligned}$
总耗油量：$87×0.08=6.96\ (\mathrm{L})$
(3) 逐次计算每趟行程的应收车费：
行程15 km：$8+(15-5)×1.2=20$ 元
行程4 km：8 元
行程13 km：$8+(13-5)×1.2=17.6$ 元
行程10 km：$8+(10-5)×1.2=14$ 元
行程12 km：$8+(12-5)×1.2=16.4$ 元
行程3 km：8 元
行程13 km：$8+(13-5)×1.2=17.6$ 元
行程17 km：$8+(17-5)×1.2=22.4$ 元
总免收车费：
$20+8+17.6+14+16.4+8+17.6+22.4=124$（元）
【答案】
(1) 小王距发车地的距离是25 km；
(2) 这天上午出租车共耗油6.96 L；
(3) 小王当天上午共免收教师124元车费。
【知识点】
正负数的实际应用、绝对值的性质、有理数混合运算
【点评】
本题结合生活场景命题，既考查了正负数、绝对值的基础应用，也考查了分段计费的实际计算能力，解题时要注意区分位移和路程的计算差异，分段计费需逐趟计算避免求和出错。
【难度系数】
0.6
