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1.《九章算术》“均输”章有类似算题：今
有粮囤，先存入粟米48斛，取出25
斛，又存入32斛，再取出17斛。若以
存入为+、取出为−，则最终粮囤中粟
米的变化量为。
有粮囤，先存入粟米48斛，取出25
斛，又存入32斛，再取出17斛。若以
存入为+、取出为−，则最终粮囤中粟
米的变化量为。
答案
解：根据题意，将各次操作对应数值相加：
$\begin{aligned}&(+48) + (-25) + (+32) + (-17)\\=&48 - 25 + 32 - 17\\=&23 + 32 - 17\\=&55 - 17\\=&38\end{aligned}$
最终粮囤中粟米的变化量为$\boldsymbol{+38}$斛（即增加38斛）。
$\begin{aligned}&(+48) + (-25) + (+32) + (-17)\\=&48 - 25 + 32 - 17\\=&23 + 32 - 17\\=&55 - 17\\=&38\end{aligned}$
最终粮囤中粟米的变化量为$\boldsymbol{+38}$斛（即增加38斛）。
解析
【分析】
首先明确题目规定的正负规则：存入为正，取出为负，最终变化量就是所有操作对应正负数的和。第一步先把每次存、取操作转化为对应的有理数：存入48斛对应+48，取出25斛对应-25，存入32斛对应+32，取出17斛对应-17；第二步按照有理数加减混合运算的法则计算这些数的和，结果的正负对应总量增加或减少，数值就是具体变化量。
【解析】
根据题意，将各次操作对应数值相加计算变化量：
$\begin{aligned}&(+48) + (-25) + (+32) + (-17)\\=&48 - 25 + 32 - 17\\=&23 + 32 - 17\\=&55 - 17\\=&38\end{aligned}$
结果为正，说明最终粮囤粟米总量增加，变化量为+38斛。
【答案】
+38斛（或增加38斛）
【知识点】
正负数的实际应用、有理数加减混合运算
【点评】
本题结合古代数学典籍的经典算题设置场景，既渗透传统文化，又考查基础的有理数运算应用能力，解题关键是准确把实际操作转化为对应正负数值，再按运算法则逐步计算即可。
【难度系数】
0.9
首先明确题目规定的正负规则：存入为正，取出为负，最终变化量就是所有操作对应正负数的和。第一步先把每次存、取操作转化为对应的有理数：存入48斛对应+48，取出25斛对应-25，存入32斛对应+32，取出17斛对应-17；第二步按照有理数加减混合运算的法则计算这些数的和，结果的正负对应总量增加或减少，数值就是具体变化量。
【解析】
根据题意，将各次操作对应数值相加计算变化量：
$\begin{aligned}&(+48) + (-25) + (+32) + (-17)\\=&48 - 25 + 32 - 17\\=&23 + 32 - 17\\=&55 - 17\\=&38\end{aligned}$
结果为正，说明最终粮囤粟米总量增加，变化量为+38斛。
【答案】
+38斛（或增加38斛）
【知识点】
正负数的实际应用、有理数加减混合运算
【点评】
本题结合古代数学典籍的经典算题设置场景，既渗透传统文化，又考查基础的有理数运算应用能力，解题关键是准确把实际操作转化为对应正负数值，再按运算法则逐步计算即可。
【难度系数】
0.9
2.某集团公司对下属甲、乙两个工厂上半年的经营情况进行了统计，数据如下表所示（“+”表示盈利，“-”表示亏损，单位：万元）。甲厂上半年比乙厂多盈利万元。
答案
$\boldsymbol{2.4}$
解析
【分析】
要计算甲厂上半年比乙厂多盈利的金额，首先需分别求出甲、乙两厂上半年的总盈利，再用甲厂总盈利减去乙厂总盈利即可。首先明确表格中正数表示盈利、负数表示亏损，总盈利为各月经营数据的和，结合有理数加减运算法则计算即可。
【解析】
首先计算甲厂上半年总盈利：
$\begin{aligned}&(-0.2)+(-0.3)+(+1.0)+0.0+(+1.2)+(+1.3)\\=&-0.5 + 1.0 + 0 + 1.2 + 1.3\\=&0.5 + 2.5\\=&3.0 \ (\mathrm{万元})\end{aligned}$
再计算乙厂上半年总盈利：
$\begin{aligned}&(-0.7)+(-0.3)+(-1.8)+0.0+(+1.8)+(+1.6)\\=&-1.0 -1.8 + 0 + 1.8 + 1.6\\=&-2.8 + 3.4\\=&0.6 \ (\mathrm{万元})\end{aligned}$
则甲厂比乙厂多盈利：$3.0 - 0.6 = 2.4$（万元）
【答案】
$\boldsymbol{2.4}$
【知识点】
正负数的实际意义，有理数的加减运算
【点评】
本题结合经营盈亏的实际场景考查有理数的运算，解题核心是正确理解正负数的实际含义，计算时注意符号的处理，避免因符号错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.8
要计算甲厂上半年比乙厂多盈利的金额，首先需分别求出甲、乙两厂上半年的总盈利，再用甲厂总盈利减去乙厂总盈利即可。首先明确表格中正数表示盈利、负数表示亏损，总盈利为各月经营数据的和，结合有理数加减运算法则计算即可。
【解析】
首先计算甲厂上半年总盈利：
$\begin{aligned}&(-0.2)+(-0.3)+(+1.0)+0.0+(+1.2)+(+1.3)\\=&-0.5 + 1.0 + 0 + 1.2 + 1.3\\=&0.5 + 2.5\\=&3.0 \ (\mathrm{万元})\end{aligned}$
再计算乙厂上半年总盈利：
$\begin{aligned}&(-0.7)+(-0.3)+(-1.8)+0.0+(+1.8)+(+1.6)\\=&-1.0 -1.8 + 0 + 1.8 + 1.6\\=&-2.8 + 3.4\\=&0.6 \ (\mathrm{万元})\end{aligned}$
则甲厂比乙厂多盈利：$3.0 - 0.6 = 2.4$（万元）
【答案】
$\boldsymbol{2.4}$
【知识点】
正负数的实际意义，有理数的加减运算
【点评】
本题结合经营盈亏的实际场景考查有理数的运算，解题核心是正确理解正负数的实际含义，计算时注意符号的处理，避免因符号错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.8
3. 提升题 如图，将－3，2，－1，0，1，－2，3，－4分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的四个数字之和都相等。若图中△，⊙分别表示一个数，则△－⊙的值为。
答案
$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{-4}$
解析
【分析】
首先计算所有待填数字的总和，由于内外两圈的数字之和相等，可求出每圈的公共和，横、竖直线上四个数的和也等于这个公共和。再通过竖线上已知的三个数求出中间的⊙，接着利用内圈的和求出横线左侧中间的数，最后对剩余两个可填入△的数值分情况计算差值即可。
【解析】
第一步：计算8个待填数的总和：
$-3+2+(-1)+0+1+(-2)+3+(-4)=-4$
第二步：求公共和。
因为内外两圈的和相等，所以每圈的和为$-4÷2=-2$，同理横、竖直线上四个数的和也为$-2$。
第三步：求⊙的值。
竖线上的四个数和为$-2$，列等式：
$3+(-2)+⊙+(-4)=-2$
化简得：$-3+⊙=-2$，解得$⊙=1$。
第四步：求横线左侧中间的数。
内圈四个数的和为$-2$，列等式：
$-2+0+\mathrm{左中间数}+1=-2$
化简得：$-1+\mathrm{左中间数}=-2$，解得左中间数$=-1$。
第五步：计算△-⊙的可能值。
已用的数为$3、-2、0、-4、1、-1$，剩余未用的数为$2$和$-3$，对应△和外圈最右侧的数，且两数和为$-1$，符合外圈和的要求：
①当$△=2$时，$△-⊙=2-1=1$；
②当$△=-3$时，$△-⊙=-3-1=-4$。
【答案】
$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{-4}$
【知识点】
有理数加减运算、数字填图规律、分类讨论
【点评】
本题是有理数加减的综合应用类题目，解题核心是先推导公共和，再逐步求出固定位置的数值，最后对剩余可选值分类计算，注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
首先计算所有待填数字的总和，由于内外两圈的数字之和相等，可求出每圈的公共和，横、竖直线上四个数的和也等于这个公共和。再通过竖线上已知的三个数求出中间的⊙，接着利用内圈的和求出横线左侧中间的数，最后对剩余两个可填入△的数值分情况计算差值即可。
【解析】
第一步：计算8个待填数的总和：
$-3+2+(-1)+0+1+(-2)+3+(-4)=-4$
第二步：求公共和。
因为内外两圈的和相等，所以每圈的和为$-4÷2=-2$，同理横、竖直线上四个数的和也为$-2$。
第三步：求⊙的值。
竖线上的四个数和为$-2$，列等式：
$3+(-2)+⊙+(-4)=-2$
化简得：$-3+⊙=-2$，解得$⊙=1$。
第四步：求横线左侧中间的数。
内圈四个数的和为$-2$，列等式：
$-2+0+\mathrm{左中间数}+1=-2$
化简得：$-1+\mathrm{左中间数}=-2$，解得左中间数$=-1$。
第五步：计算△-⊙的可能值。
已用的数为$3、-2、0、-4、1、-1$，剩余未用的数为$2$和$-3$，对应△和外圈最右侧的数，且两数和为$-1$，符合外圈和的要求：
①当$△=2$时，$△-⊙=2-1=1$；
②当$△=-3$时，$△-⊙=-3-1=-4$。
【答案】
$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{-4}$
【知识点】
有理数加减运算、数字填图规律、分类讨论
【点评】
本题是有理数加减的综合应用类题目，解题核心是先推导公共和，再逐步求出固定位置的数值，最后对剩余可选值分类计算，注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
4.小明和小红玩数学游戏，游戏规则如下:长方形表示加，圆表示减，最终计算结果较小者获胜。请你根据下图列式计算，小明和小红谁获胜？
答案
解：
小明的计算结果：
-4.5 + 3.2 - 1.1 + 1.4
= (-4.5 - 1.1) + (3.2 + 1.4)
= -5.6 + 4.6
= -1
小红的计算结果：
-8 + 2 - (-6) + (-7)
= -8 + 2 + 6 - 7
= (-8 - 7) + (2 + 6)
= -15 + 8
= -7
因为-7 ＜ -1，小红的计算结果更小。
答：小红获胜。
小明的计算结果：
-4.5 + 3.2 - 1.1 + 1.4
= (-4.5 - 1.1) + (3.2 + 1.4)
= -5.6 + 4.6
= -1
小红的计算结果：
-8 + 2 - (-6) + (-7)
= -8 + 2 + 6 - 7
= (-8 - 7) + (2 + 6)
= -15 + 8
= -7
因为-7 ＜ -1，小红的计算结果更小。
答：小红获胜。
解析
【分析】
解题首先要明确游戏规则：圆形内的数做减法运算（即数的前面加负号），长方形内的数做加法运算（即数的前面加正号）。第一步先分别对小明、小红的四个数字按照规则列出对应的有理数加减混合算式；第二步利用有理数加法的交换律和结合律简便计算两个算式的结果；第三步比较两个结果的大小，结果更小的一方获胜。
【解析】
计算小明的计算结果：
根据规则列式：$\begin{split}&-4.5 + 3.2 - 1.1 + 1.4\\=& (-4.5 - 1.1) + (3.2 + 1.4)\\=& -5.6 + 4.6\\=& -1\end{split}$
计算小红的计算结果：
根据规则列式：$\begin{split}&-8 + 2 - (-6) + (-7)\\=& -8 + 2 + 6 - 7\\=& (-8 - 7) + (2 + 6)\\=& -15 + 8\\=& -7\end{split}$
比较结果：因为$-7 ＜ -1$，小红的计算结果更小，因此小红获胜。
【答案】
小红获胜
【知识点】
有理数加减混合运算；有理数大小比较
【点评】
本题结合趣味游戏场景考查有理数加减运算的实际应用，解题核心是准确理解规则，将图形信息转化为正确的运算式子，计算时需注意正负号的处理，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确游戏规则：圆形内的数做减法运算（即数的前面加负号），长方形内的数做加法运算（即数的前面加正号）。第一步先分别对小明、小红的四个数字按照规则列出对应的有理数加减混合算式；第二步利用有理数加法的交换律和结合律简便计算两个算式的结果；第三步比较两个结果的大小，结果更小的一方获胜。
【解析】
计算小明的计算结果：
根据规则列式：$\begin{split}&-4.5 + 3.2 - 1.1 + 1.4\\=& (-4.5 - 1.1) + (3.2 + 1.4)\\=& -5.6 + 4.6\\=& -1\end{split}$
计算小红的计算结果：
根据规则列式：$\begin{split}&-8 + 2 - (-6) + (-7)\\=& -8 + 2 + 6 - 7\\=& (-8 - 7) + (2 + 6)\\=& -15 + 8\\=& -7\end{split}$
比较结果：因为$-7 ＜ -1$，小红的计算结果更小，因此小红获胜。
【答案】
小红获胜
【知识点】
有理数加减混合运算；有理数大小比较
【点评】
本题结合趣味游戏场景考查有理数加减运算的实际应用，解题核心是准确理解规则，将图形信息转化为正确的运算式子，计算时需注意正负号的处理，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
5.快递分拣机器人从网络火到现实生活中。据介绍,这些机器人不仅可以自动规划最优路线,将包裹准确放入相应的格口,还会感应避让障碍物、自动归队取包裹,没电的时候还会自己找充电桩充电。每台分拣机器人每小时可以分拣1.8万件包裹,大大提高了分拣效率。某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹,但实际每天的分拣量与计划相比会有出入。下表是该仓库10月份第三周分拣包裹的情况(超过计划量记为正,未达计划量记为负):
(1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期,最少的一天是星期,最多的一天比最少的一天多分拣万件包裹。
(2)该仓库本周实际一共分拣包裹多少万件(列式并计算)?
(1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期,最少的一天是星期,最多的一天比最少的一天多分拣万件包裹。
(2)该仓库本周实际一共分拣包裹多少万件(列式并计算)?
答案
解：
(1) 对比表格中的偏差数据：$+8＞+5＞+4＞-1＞-3＞-4＞-6$，可知分拣包裹数量最多的一天是星期六，最少的一天是星期日。
最多的一天比最少的一天多分拣：
$(20+8)-(20-6)=14$（万件）
答案依次为：六，日，14。
(2) 计算本周实际总分拣量：
$\begin{aligned}&20×7 + (+4) + (-3) + (-4) + (+5) + (-1) + (+8) + (-6)\\=&140 + 4 - 3 - 4 + 5 - 1 + 8 - 6\\=&140 + 3\\=&143\end{aligned}$
答：该仓库本周实际一共分拣包裹143万件。
(1) 对比表格中的偏差数据：$+8＞+5＞+4＞-1＞-3＞-4＞-6$，可知分拣包裹数量最多的一天是星期六，最少的一天是星期日。
最多的一天比最少的一天多分拣：
$(20+8)-(20-6)=14$（万件）
答案依次为：六，日，14。
(2) 计算本周实际总分拣量：
$\begin{aligned}&20×7 + (+4) + (-3) + (-4) + (+5) + (-1) + (+8) + (-6)\\=&140 + 4 - 3 - 4 + 5 - 1 + 8 - 6\\=&140 + 3\\=&143\end{aligned}$
答：该仓库本周实际一共分拣包裹143万件。
解析
【分析】
（1）首先明确表格中正数代表超过计划日分拣量20万件的部分，负数代表低于计划日分拣量的部分，要找分拣量最多和最少的日期，只需比较7个偏差值的大小：偏差值最大的对应分拣最多的日期，偏差值最小的对应分拣最少的日期；计算最多比最少多的分拣量时，可直接用最大偏差减去最小偏差，计划量20万会相互抵消，计算更简便。
（2）计算本周实际总分拣量时，可先算出7天的计划总分拣量，再将每天的偏差值求和，两者相加即可得到实际总量，该方法比单独计算每天分拣量再求和更简便，符合有理数加减简便运算的逻辑。
【解析】
(1) 对比偏差值大小：$+8＞+5＞+4＞-1＞-3＞-4＞-6$，可知最大偏差为+8，对应星期六，最小偏差为-6，对应星期日，因此分拣量最多的是星期六，最少的是星期日。
最多的一天比最少的一天多分拣：$(+8)-(-6)=8+6=14$（万件）
(2) 本周计划总分拣量为$20×7=140$万件，加上偏差总和得到实际总量：
$\begin{aligned}&20×7 + (+4) + (-3) + (-4) + (+5) + (-1) + (+8) + (-6)\\=&140 + 4 - 3 - 4 + 5 - 1 + 8 - 6\\=&140 + 3\\=&143\end{aligned}$
【答案】
(1) 六，日，14
(2) 该仓库本周实际一共分拣包裹143万件。
【知识点】
正负数的实际应用，有理数加减混合运算
【点评】
本题结合生活实际考查正负数的意义和有理数加减运算，解题核心是理解正负数表示相反意义的量，掌握有理数加减的运算规则，计算时注意正负号的处理即可，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
（1）首先明确表格中正数代表超过计划日分拣量20万件的部分，负数代表低于计划日分拣量的部分，要找分拣量最多和最少的日期，只需比较7个偏差值的大小：偏差值最大的对应分拣最多的日期，偏差值最小的对应分拣最少的日期；计算最多比最少多的分拣量时，可直接用最大偏差减去最小偏差，计划量20万会相互抵消，计算更简便。
（2）计算本周实际总分拣量时，可先算出7天的计划总分拣量，再将每天的偏差值求和，两者相加即可得到实际总量，该方法比单独计算每天分拣量再求和更简便，符合有理数加减简便运算的逻辑。
【解析】
(1) 对比偏差值大小：$+8＞+5＞+4＞-1＞-3＞-4＞-6$，可知最大偏差为+8，对应星期六，最小偏差为-6，对应星期日，因此分拣量最多的是星期六，最少的是星期日。
最多的一天比最少的一天多分拣：$(+8)-(-6)=8+6=14$（万件）
(2) 本周计划总分拣量为$20×7=140$万件，加上偏差总和得到实际总量：
$\begin{aligned}&20×7 + (+4) + (-3) + (-4) + (+5) + (-1) + (+8) + (-6)\\=&140 + 4 - 3 - 4 + 5 - 1 + 8 - 6\\=&140 + 3\\=&143\end{aligned}$
【答案】
(1) 六，日，14
(2) 该仓库本周实际一共分拣包裹143万件。
【知识点】
正负数的实际应用，有理数加减混合运算
【点评】
本题结合生活实际考查正负数的意义和有理数加减运算，解题核心是理解正负数表示相反意义的量，掌握有理数加减的运算规则，计算时注意正负号的处理即可，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
